2021数学分析作业参考答案

数学分析作业参考答案 山东师范大学成人高等教育数学分析课程综合作业（参考答案）一、 选择题(本题共10小题，每题1分, 共10分） 2222224, 01.(,) 0, 0x x y x yf x y x y ?+?+=?+=?在原点间断, 是因为该函数( B ). (A) 在原点无定义。(B) 在原点二重极限不存在。 (C) 在原点有二重极限,但无定义。(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值。2、若2211x y I +=?,22212x y I +=?,22324x y I +=?,则下列关系式成立的是( A ). (A) 123I I I ； (B) 213I I I ； (C) 123I I I3、2222003sin()lim x y x y x y +的值为( C ). (A) 2 (B) 0 (C) 3 (D)不存在 4、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的( A ). (A) 必要非充分的条件 (B) 充分非必要的条件 (C) 充分且必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件5、由曲面z x y =-422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是( D ). (A)d d r r r42 2 2-? (B)204d r? (C) 20 d r?(D)44201 2d d r r r-? 6、设),(z t z y y x f u -=，则=?+?+?+?tuz u y u x u （ D ）. (A) 12f (B) 22f (C) 32f (D) 0 7、函数()33ln y x z +=在（1，1）处的全微分=dz （ C ）。A dy dx +；B ()dy dx +2；C ()dy dx +23； D ()dy dx +3 8、 设D 为：222R y x +，二重积分的值?+Ddxdy y x 22=（ C ）。 A 2R ； B 22R ； C 332R ； D 421R 9、 函数2221zy x u +=在点)1,1,1(处最大方向导数为（ D ）（A ）21； (B) 31； (C)； (D) 31 10、 圆弧1=r 以外与圆弧cos 2=r 以内的平面图形的面积可表示为（ B ）(A)?cos 214 rdr d ； (B) ?cos 21302rdr d ； (C) ?cos 2160rdr d ； (D) ?1cos240rdr d 二、填空题(本题共10小题，每题1分, 共10分）1、函数)ln(22x y yx z -+=的定义域为22(,),1x y y x y x - 2、已知22(,)y f x y x yx +=-,则=),(y x f 2(1)1x y y -+.3、已知 =?+-dx ex 2, 则=?+-dx e x x 21 . 4、函数22(,)1f x y x xy y y =+-+在)32,31(-点取得极值.5、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(+=,则=)0,1(x f 1.6、设xye z =，则=)1,1(dz )(dy dx e + . 7、函数),(y x f 在点),(y x P 的某一邻域内有连续的偏导数，是),(y x f 在该点可微的 充分非必要 条件.8、 交换积分次序：?-1 10),(xdy y x f dx=?-1 10),(ydx y x f dy 9、 已知2221zy x u +=，则=?+?+?222222z uy u x u 010、 球面169222=+z y x 在点12,4,3处的切平面方程为1691243=+z y x 三、简答题(本题共4小题，每题5分, 共20分）1、叙述有界闭域上二元连续函数的有界性与最值性定理、一致连续性定理以及介值性定理。2、叙述隐函数存在唯一性定理。3、叙述二重积分的定义与性质。 4.叙述高斯公式和斯托克斯公式。四计算题(本题共6小题，每题10分, 共60分） 1、计算DI dxdy =?，其中D 由0,1x y y x =及围成。解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)，(0,0)，所围区域如下图。 先对x 后对y 积分：111 12yxI dy dx dx dy =?2、 计算xdxdydz ?，其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1所围成的区域解 画出区域 D ： 0101y xx - x d x d y d z? 11100 x yx dxdy xdz -=? 110 (1)x dxx x y dy -=-?12011(1)224x x dx =-=?3、 计算?d d ,Sz x y 其中 S 是球 面+=2221x y z 在0,0x y 部分并取球面的外侧。解 曲面 S 在第一、五卦限部分的方程分别为 =1122:,:.S z S z它们在 xy 平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分. 因积分是沿1S 的上侧和2S 的下侧进行, 故=+?12d d d d d d SS S z x y z x y z xy(=-?()()d d d xy xy D D x y x y =?()2d xy D x y =?120 2d =.3rr 4、 计算下列第一型曲面积分：22(),Sx y z ds +-?其中S 为1,z = 221.x y + 解: S 由平面构成:2:1,S z = 221.x y +2212222200()(1)(1).2S Dx y z ds x y dxdy d r rdr +-=+-=-?=-? 5、 计算积分22()(),Sy x z dydz x dzdx y xz dxdy -+?其中S 是边长为a 的正方体V 的表面并取外侧.解 ： 应用高斯公式 , 有22()()()Vy x z x y xz dxdydz x y z?-+? ()()a aVy x dxdydz dy y x dx =+=+?2401().2a a ay a dy a =+=?6、 验证曲线积分()()()Ly z dx z x dy x y dz +?与路径无关 , 并求被积表达式的原函数(,)u x y z .解：由于 ,P y z Q z x R x y =+=+=+1,P Q Q R R Py x z y x z?=? 所以曲线积分与路径无关. 取0M M ，从M 沿平行于x 轴的直线到100(,)M x y z ，再沿平行于y 轴的直线到20(,)M x y z ，最后沿平行于z 轴的直线到3(,)M x y z . 于是 0 000(,)()()()xy zx y z u x y z y z ds z x dt x y dr =+?000000000()()()()()()y z x y z x z x y z x y x y z x y z =+-+-+-+,xy xz yz c =+其中000000c x y x z y z =-是一个常数.若取为原点，则得 (,).u x y z xy xz yz =+