线性代数课件矩阵的对角化

一一.矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量二二.相似矩阵和矩阵对角化相似矩阵和矩阵对角化三三.向量的内积和施密特正交化向量的内积和施密特正交化四四.实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化第四章第四章 矩阵的对角化矩阵的对角化本章安排本章安排1第一节第一节 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量一一.特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念二二.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质三三.特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法四四.小结小结 思考题思考题2一一.特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念定义定义1 设设 是是 阶方阵，阶方阵，若数若数 和和 维非零列向量维非零列向量使得使得成立，则称成立，则称是方阵是方阵的一个的一个特征值特征值.为方阵为方阵的的对应于特征值对应于特征值的一个特征向量。的一个特征向量。注：注：是方阵。是方阵。（2）特征向量）特征向量 是非零列向量。是非零列向量。3由于由于则则与定义矛盾与定义矛盾.（3）方阵）方阵的与特征值的与特征值对应的特征向量不唯一。对应的特征向量不唯一。（4）一个特征向量只能属于一个特征值。）一个特征向量只能属于一个特征值。如果设如果设同时是同时是的属于特征值的属于特征值的特征向量，即有的特征向量，即有4或或已知已知所以齐次线性方程组所以齐次线性方程组(2)有非零解有非零解或或定义定义 2数数是关于是关于的一个多项式，称为矩阵的一个多项式，称为矩阵的的特征多项式。特征多项式。二二.特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法5称为矩阵称为矩阵 的特征方程。的特征方程。求特征值、特征向量的步骤：求特征值、特征向量的步骤：即为特征值即为特征值;求出求出代入上代入上 式，式，把得到的特征值把得到的特征值求齐次线性方程组求齐次线性方程组的非零解的非零解即为所求特征向向量。即为所求特征向向量。6例例1 求矩阵求矩阵的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.解解第一步：写出矩阵第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值的特征方程，求出特征值.特征值为特征值为第二步：对每个特征值第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组求非零解。求非零解。7齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，系数矩阵系数矩阵自由未知量自由未知量:得基础解系得基础解系:令令常数常数)是对应于是对应于的全部特征向量。的全部特征向量。8当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为常数常数)是对应于是对应于的全部特征向量。的全部特征向量。得基础解系得基础解系9三三.特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质性质性质1 若若 的特征值是的特征值是 ，是是 的对应于的对应于 的特征向量，则的特征向量，则的特征值是的特征值是是任意常数是任意常数)的特征值是的特征值是是正整数是正整数)若若 可逆，则可逆，则 的特征值是的特征值是的特征值是的特征值是且且 仍然是矩阵仍然是矩阵 分别对应于分别对应于 的特征向量。的特征向量。为为 A 的多项式，则的多项式，则 的特征值为的特征值为 10再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤次，就得次，就得（3）当当可逆时，必有可逆时，必有否则否则与题设矛盾。与题设矛盾。由由证明证明11回顾回顾的特征值为的特征值为当当的特征值为的特征值为时时，的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为(4)设设则则12设设 为矩阵为矩阵 的特征值，求的特征值，求 的特征值；的特征值；若若 可逆，求可逆，求 的特征值。的特征值。例例2解解在题设条件下，由性质在题设条件下，由性质1中的中的(4)知，知，的特征值为的特征值为为为 A 的多项式，则的多项式，则 的特征值为的特征值为 由性质由性质1中的（中的（3）知，）知，的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为进而进而的特征值为的特征值为13矩阵矩阵 和和 的特征值相同。的特征值相同。证明证明和和具有相同的特征多项式，因而具有相同的特征值。具有相同的特征多项式，因而具有相同的特征值。性质性质214设设 阶方阵阶方阵 的的 个特征值为个特征值为 则则称为矩阵称为矩阵A的的迹迹.（主对角元素之和）（主对角元素之和）定理定理215解解（1）求：求：（1）A 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。（2）求可逆矩阵）求可逆矩阵 ，使得，使得 为对角阵。为对角阵。例例3 设设得得16自由未知量自由未知量:得基础解系得基础解系17自由未知量自由未知量:得基础解系得基础解系18取取19存在存在本题启示本题启示:问题：问题：矩阵矩阵 是否唯一？矩阵是否唯一？矩阵 是否唯一？是否唯一？2.提供了一种求提供了一种求 的方法的方法.其中其中 为对角阵。为对角阵。1.通过求通过求A的特征值的特征值,特征向量特征向量,有可能把有可能把A写成写成20则则是方阵是方阵 的的 个特征值，个特征值，依次是与之对应的特征向量。依次是与之对应的特征向量。如果如果 各不相等，各不相等，则则 线性无关。线性无关。即，方阵即，方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。的属于不同特征值的特征向量线性无关。证明：证明：设常数设常数 使得使得定理定理3 设设21把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得等号左边第二个矩阵的行列式为等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，行列式，当当 各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。类推之，有类推之，有22等号两边同时右乘它的逆矩阵，有等号两边同时右乘它的逆矩阵，有即即又因为又因为 为特征向量，为特征向量，所以所以线性无关。线性无关。231.属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量属于这个特征值的特征向量3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值。能属于不同的特征值。注意注意因为，如果设因为，如果设同时是同时是的属于特征值的属于特征值的特征向量，即有的特征向量，即有与定义矛盾与定义矛盾.24内容小结内容小结求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：1.计算计算的特征多项式的特征多项式2.求特征方程求特征方程的全部根的全部根就是就是的全部特征值；的全部特征值；3.对于特征值对于特征值求齐次方程组求齐次方程组的非零解，就是对应于的非零解，就是对应于的特征向量的特征向量.25思考与练习思考与练习例例1 1（19941994年（年（II)6II)6分）分）设设是是 n 阶方阵，阶方阵，矩阵，计算行列式矩阵，计算行列式知识点链接知识点链接是是的的 n 个特征值，个特征值，是是 n 阶单位阶单位解解26例例2 向量向量是矩阵是矩阵 的属于特征值的属于特征值 的特征向量。的特征向量。知识点链接知识点链接27例例3 3 设设 是是 的特征向量，的特征向量，则则 的值为的值为 .（A A）5 5，2 2 （B B）1 1，-3 -3 （C C）-3-3，1 1（D D）2 2，5 5 28例例4 4 设设矩矩阵阵 的属于特征的属于特征值值 的特征向量是的特征向量是 则则 是矩是矩阵阵 的特征的特征值值.29例例5 5 设矩阵设矩阵 可逆，向量可逆，向量 是矩阵是矩阵 的一个特征向量，的一个特征向量，是是 对应的特征值，其中对应的特征值，其中 是矩阵是矩阵 的伴随矩阵的伴随矩阵.试求试求 和和 的值的值.20032003年考研题年考研题30作业作业P184 1.(3)(5)5.(1)8.10.11.31