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优 翼 课 件 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 八年级数学下（ BS） 教学课件 小结与复习 第一章 三角形的证明 (4)_、底边上的中线和底边上的高互相重 合， 简称“三线合一” . 顶角平分线 (3)两个 _相等，简称“等边对等角” ; 底角 (2)轴对称图形 ,等腰三角形的 顶角平分线所在的直线 是它的对称轴 ; 一、等腰三角形的性质及判定 1.性质 (1)两腰相等 ; 要点梳理 2.判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形 ; (2)如果一个三角形中有两个角相等 ,那么这两个角 所对的边也相等 （简写成“ _”） . 等角对等边 二、等边三角形的性质及判定 1.性质 等边三角形的三边都相等 ; 等边三角形的三个内角都相等 ,并且每一个角都 等于 _; 是 轴对称图形 ，对称轴是三条高所在的直线 ; 任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高 互相重合，简称“三线合一” . 60 2.判定 三条边都相等的三角形是等边三角形 . 三个角都相等的三角形是等边三角形 . 有一个角是 60 的 _是等边三角形 . 等腰三角形 (5)在直角三角形中， 30 的角所对的直角边等 于斜边的一半 . 直角三角形的性质定理 1 直角三角形的两个锐角 _. 互余 直角三角形的判定定理 1 有两个角 _的三角形是直角三角形 . 互余 三、直角三角形 勾股定理表达式的常见变形： a2 c2 b2, b2 c2 a2， . 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是 a,b(且 a b)，那么，当第三边 c是斜边时， c _； 当 a是斜边时，第三边 c _. 四、勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别 为 a、 b，斜边为 c ，那么一定有 . 平方 注意 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要 分清直角边和斜边 2 2 2 2 2 2,c a b a c b b c a a2 b2 c2 22ab 22ab 五、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、 b、 c有关系： a2 b2 ， 那么这个三角形是直角三角形 利用此定理判定直角三角形的一般步骤： (1)确定最大边； (2)算出最大边的平方与另两边的 ； (3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等， 则说明这个三角形是 三角形 到目前为止判定直角三角形的方法有： (1)说明三角形中有一个角是 ； (2)说明三角形中有两边互相 ； (3)用勾股定理的逆定理 平方和 直角 直角 垂直 注意 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写 出 a2 b2 c2之类的错误 c2 1互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命 题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题 的 ，那么这两个命题叫做互逆命题 2逆命题 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改 成 ，并将结论改成 ，便可以得到原 命题的逆命题 结论 条件 结论 条件 六、逆命题和互逆命题 3逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么， 它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一 个叫做另一个的 定理 注意 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有 逆定理如“对顶角相等”就没有逆定理 逆 1.线段垂直平分线的性质定理： 线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等 . 2.逆定理： 到线段两端点的距离相等的点在 线段的垂直平分线上 . 七、线段的垂直平分线 3常见的基本作图 (1)过已知点作已知直线的 ； (2)作已知线段的垂直 线 垂线 平分 4.三角形的三边的垂直平分线的性质： 三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点 的距离相等 . 1.性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等 . 2.判定定理： 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平 分线 . 3.三角形的三条内角平分线的性质： 三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的 距离相等 . 八、角平分线的性质与判定 考点一 等腰（等边）三角形的性质与判定 例 1 如图所示，在 ABC中， AB=AC,BD AC于 D. 求证 ： BAC = 2 DBC. A B C D 1 2 E 【 分析 】 根据等腰三角形“三线合一”的 性质，可作顶角 BAC的平分线，来获取 角的数量关系 . 考点讲练 A B C D 1 2 E 证明：作 BAC的平分线 AE,交 BC于点 E,如图所示， 则 1 1 = 2 = .2 BAC AB=AC, AE BC. 2+ ACB=90 . BD AC, DBC+ ACB=90 . 2= DBC. BAC= 2 DBC. 等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它 们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形 的特殊情形 等边三角形的性质与判定应用也很广泛， 有一个角是 30 的直角三角形的性质是证明线段之间 的倍份关系的重要手段 . 方法总结 1. 如图，在 ABC中， AB=AC时， (1) AD BC， _= _;_=_. (2) AD是中线， _ _; _= _. (3) AD是角平分线， _ _;_=_. B A C D BAD CAD BD CD AD BC BAD CAD AD BC BD CD 针对训练 例 2 在 ABC中，已知 BD是高， B 90， A、 B、 C的对边分别是 a、 b、 c，且 a 3， b 4， 求 BD的长 解： B 90 ， b 是斜边， 则在 Rt ABC中，由勾股定理，得 又 S ABC bBD ac， 2 2 2 24 3 7 ,c b a 6 7 3 7 . 84 acBD b 12 12 考点二 勾股定理 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先 用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简 便在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边， 如在本例中不要受勾股数 3， 4， 5的干扰 方法总结 2已知一个直角三角形的两边长分别为 3和 4， 则第三边长的平方是（ ） A.25 B.14 C.7 D.7或 25 针对训练 D 例 3 已知在 ABC中， A， B， C的对边分 别是 a， b， c， a n2 1， b 2n， c n2 1(n 1)， 判断 ABC是否为直角三角形 考点三 勾股定理的逆定理 解：由于 a2 b2 (n2 1)2 (2n)2 n4 2n2 1， c2 (n2 1)2 n4 2n2 1， 从而 a2 b2 c2， 故可以判定 ABC是直角三角形 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是 直角三角形的一般步骤：先判断哪条边最大； 分别用代数方法计算出 a2 b2和 c2的值 (c边最大 )； 判断 a2 b2和 c2是否相等，若相等，则是直角三角 形；若不相等，则不是直角三角形 方法总结 3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形 的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的 有 _ 针对训练 (2)(4) 例 4 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命 题并判断它们的真假 (1)如果 a 0，那么 ab 0； (2)如果点 P到线段 AB两端点的距离相等，那么 P在 线段 AB的垂直平分线上 解： (1)原命题是真命题 原命题的逆命题是： 如果 ab 0，那么 a 0.逆命题为假 (2)原命题是真命题 原命题的逆命题是： 如果 P在线段 AB的垂直平分线上，那么 点 P到线段 AB两端点的距离相等其逆命题也是真命题 考点四 命题与逆命题 针对训练 4.写出下列命题的逆命题，并判断其真假： （ 1）若 x=1，则 x2=1；（ 2） 若 |a|=|b|，则 a=b. 解： （ 1）逆命题： 若 x2=1，则 x=1是假命题 . （ 2） 逆命题： 若 a=b，则 |a|=|b|是真命题 . 解： AD 是 BC 的垂直平分线， AB =AC， BD=CD. 点 C 在 AE 的垂直平分线上， AC =CE, AB=AC=CE, AB+BD=DE. 例 5 如图 ， AD是 BC的垂直平分线 ， 点 C 在 AE 的 垂直平分线上 ， AB， AC， CE 的长度有什么关系 ？ AB+BD与 DE 有什么关系 ？ A B C D E 考点五 线段的垂直平分线 5.如图，在 ABC中， DE是 AC的垂直平分 线， AC=5厘米， ABD的周长等于 13厘米， 则 ABC的周长是 . A B D E C 18厘米 常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的 点到线段两端的距离相等 ” 进行线段之间的转换来求线段之间 的关系及周长的和差等 ,有时候与等腰三角形的 “ 三线合一” 结合起来考查 . 方法总结 针对训练 6.下列说法： 若点 P、 E是线段 AB的垂直平分线上两点，则 EA EB， PA PB； 若 PA PB， EA EB， 则直线 PE垂直平分线段 AB； 若 PA PB， 则点 P必是线段 AB的垂直平分线上的点； 若 EA EB，则经过点 E的直线垂直平分线段 AB 其中正确的有 （填序号） . 例 6 如图，在 ABC中， AD是角平分线，且 BD = CD, DE AB, DF AC.垂足分别为 E , F. 求证： EB=FC. A B C D E F 【 分析 】 先利用角平分线的性质定理得 到 DE=DF，再利用“ HL”证明 Rt BDE Rt CDF. 考点六 角平分线的性质与判定 A B C D E F 证明： AD是 BAC的角平分线， DE AB, DF AC， DE=DF, DEB= DFC=90 . 在 Rt BDE 和 Rt CDF中， DE=DF， BD=CD， Rt BDE Rt CDF(HL). EB=FC. 8. ABC中 , C=90 , AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,则 点 D到 AB的距离是 . A B C D 3 E 7. 如图， DE AB， DF BG， 垂足分别是 E， F， DE =DF， EDB= 60 ， 则 EBF= 度， BE= . 60 BF E B D F A C G 针对训练 9. 如图所示，已知 ABC中， PE AB交 BC于点 E， PF AC交 BC于点 F， 点 P是 AD上一点，且 点 D到 PE的距离与到 PF的距离 相等，判断 AD是否平分 BAC，并说明理由 解： AD平分 BAC理由如下： D到 PE的距离与到 PF的距离相等， 点 D在 EPF的平分线上 1 2 又 PE AB， 1 3 同理， 2 4 3 4， AD平分 BAC A B C E F D ( 3 4 1 2 P 考点七 本章的数学思想与解题方法 例 7 等腰三角形的周长为 20cm,其中两边的差为 8cm,求这个等 腰三角形各边的长 . 【 分析 】 要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况 . 解：若腰比底边长，设腰长为 xcm,则底边长为 （ x-8)cm， 根据题意 得 2x+x-8=20, 解得 x= , x-8= ; 若腰比底边短，设腰长为 ycm,则底边长为 （ y+8)cm,根据题意得 2y+y+8=20,解得 y=4, y+8=12,但 4+4=812,不符合题意 . 故此等腰三角形的三边长分别为 28 3 4 3 28 cm, 3 28 cm, 3 4cm. 3 分类讨论思想 10.等腰三角形的两边长分别为 4和 6，求它的周长 . 解：若腰长为 6，则底边长为 4，周长为 6+6+4=16； 若腰长为 4，则底边长为 6，周长为 4+4+6=14. 故这个三角形的周长为 14或 16. 针对训练 例 8 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC 6 cm， BC 8 cm， 将 ABC折叠，使点 B与点 A重合， 折痕是 DE，求 CD的长 【分析】 欲求的线段 CD在 Rt ACD中， 但此三角形只知一边，可设法找出另两 边的关系，然后用勾股定理求解 方程思想 解：由折叠知： DA DB， ACD为直角三角形 在 Rt ACD中 ， AC2 CD2 AD2， 设 CD x cm， 则 AD BD (8 x)cm， 代入 式，得 62 x2 (8 x)2， 化简，得 36 64 16x， 所以 x 1.75， 即 CD的长为 1.75 cm. 7 4 方法总结 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边 的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定 理求出未知边，这时往往要列出方程求解 针对训练 11.如图，在矩形纸片 ABCD中， AB=12， BC=5，点 E在 AB上，将 DAE沿 DE折 叠，使点 A落在对角线 BD上的点 A 处，则 AE的长为 . 103 课堂小结 三角形 的证明 等腰三角形 等腰三角形的性质 等腰三角形的判定 勾股定理 等边三角形的性质 等边三角形的判定 直角三角形 直角三角形的性质 两个直角三角形全等的判定（ HL） 直角三角形的判定 等边三角形 勾股定理的逆定理 垂 直 平 分 线 的 性 质 角 平 分 线 的 性 质 课后作业 见章末练习
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