高中数学从普查到抽样

数 字 化 的 时 代 产品的合格率 农作物的产量 从普查到抽样 产品的销售量 某地的气温 自然资源 就业状况 电视台的收视率 0 5 10 15 20 25 30 上海 南京 天津 沈阳 哈尔滨 缺水量/ 我国是世界上的第 13个 贫水国 ,人均淡水占量排 世界第 109位 我国土地沙漠化非常严重 ,全国沙漠化土地面积已超过 174000平方公里 ,并以每年 3400平方公里的速度扩张 . 你知道这些数据是怎么来的吗？ 通过调查获得的 . 怎么调查？ 是对考察对象进行全面调查还是抽样调查？ 妈妈 :“儿子，帮妈妈买盒火柴去。” 妈妈 :“这次注意点，上次你买的火柴好多划不着。 ” 儿子高兴地跑回来。 孩子：“妈妈，这次的火柴全划得着，我 每根 都试 过了。” 这个调查具有 破坏性 ，不可能 每根 试过 ,不能 展开全面调查。 看一看 要了解全国高中生的视力情况： （ 1）对全国所有的高中生进行视力测试； （ 2）对某一所著名中学的高中生进行视力测试； （ 3）在全国按东、南、西、北、中分片，每个区域各抽所 中学，对这 15所中学的全部高中生进行视力测试。 你认为哪种调查方式较适合？ 人们在研究某个自然现象或社会现象时，会遇到 不方便、 不可能 或 不必要 对所有对象作调查的情况， 往往采用抽样调 查的方法。 议一议 属于普查，工作量太大，不方便，没有必要 这种方法缺乏普遍性，不合适。 这种调查具有可操作性及代表性。 议一议 同学们觉得在什么时候用 普查 方式较好 ?什么 时候用 抽样调查 方式较好呢 ? （ 1）当调查的对象个数较少，调查容易进行时，我们一般采 用普查的方式进行。 （ 2）当调查的结果对调查对象具有破坏性时，或者会产生一 定的危害性时，或不大经济可行我们通常采用抽样调查的方式 进行调查。 （ 3）当调查对象的个数较多，调查不易进行时，我们常采用 抽样调查的方式进行调查。 例如，为了了解一批计算器的寿命，我们能将它 们逐一测试吗？很明显，这既不可能也没必要。实践 中，由于所考察的总体中的个体数往往很多，而且许 多考察带有破坏性，因此，我们通常只考察 总体 中的 一个 样本 ，通过样本来了解总体的情况。 进一步，从节约费用的角度考虑，在保证样本估 计总体达到一定的精度的前提下，样本中包含的个体 数越少越好 。 于是，如何设计抽样方法，使抽取的样本能够真 正代表总体，就成为我们要关注的一个关键问题。否 则，如果样本的代表性不好，那么对总体的判断就会 出现错误。因此科学合理地采集样本才能作出客观的 统计推断。 那么，怎样从总体中抽取样本呢？如何表示样本数据？ 如何从样本数据中提取基本信息（样本分布、样本数字特征 等），来推断总体的情况呢？这些正是本章要解决的问题。 数理统计所要解决的问题是如何根据样本来推断总体。 首先必须清楚地知道要收集的数据是什么；其次，我们检验 样本的目的是为了了解总体的情况；再次，我们要知道如何 才能收集到高质量的样本数据。 在抽样调查中要注意什么问题？ 要了解 全国高中生的视力 情况，第三种调查方法：在全国 按东、西、南、北、中分片， 每个区域各抽 3所中学， 对这 15所中学的全部高中生 15000人进行视力测试。 考察对象是什么 ? 在统计中，我们把所要考察的对象的全体叫做总体 全国每位高中学生的 视力情况。 把组成总体的每一个考察的对象叫 做个体 这 15000名学生的视力情 况又组成一个集体 从总体中取出的一部分个体的集体 叫做这个总体的一个样本。 15000 样本中的个体的数目叫做样本 的容量。 、如何刻画一批袋装牛奶的质量是否合格？ 以下变量都可以作为衡量产品质量的指标： （）袋装牛奶的细菌含量；（）袋装牛奶的重量； （）袋装牛奶的蛋白含量；（）袋装牛奶的脂肪含量； （）袋装牛奶的钙含量 、怎样检验“一批袋装牛奶的细菌含量是否超标？”是普 查还 是抽样调查？各有什么优缺点？应该采用哪种方法？ 普查的优点：在普查的过程中不出错的情况下可以得到这批 袋装牛奶的真实细菌含量。 普查的弊病： 、需要打开每一袋牛奶进行检验，结果使得这批牛奶不能 出售，失去了调查这批牛奶的质量的意义； 、普查需要大量的人力、物力和财力； 、当普查的过程中出现很多数据测量、录入等错误时，也 会产生错误的结论。 抽样调查的优点：容易操作，节省人力、物力和财力。 抽样调查的缺点：估计结果有误差。 议一议 为什么说一个好的抽样调查胜过一次蹩脚的普查？ 品尝一勺汤 ,就可以知道一锅汤的味道 ,你知道其中蕴 涵的道理吗 ? 生活中的 “ 数学 ” 高质量的样本数据来自“搅拌均匀”的总体。如果我们 能够设法将总体“搅拌均匀”，那么从中任意抽取一部分 个体的样本，它们含有与总体基本相同的信息。 范例 在 1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志的工 作人员做了一次民意测验，调查 Alf Landon 和 Franklin Delano Roosevelt中谁将当选下一届总统。为了了解公众 意向，调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批 人发了调查表（ 注意在 1936年电话和汽车只有少数富人拥 有 ），通过分析收回的调查表，显示 Alf Landon非常受欢 迎。于是此杂志预测 Alf Landon将在选举中获胜。 实际选举结果正好相反，最后 Franklin Delano Roosevelt在选举中获胜。其数据如下： 候选人 预测结果 选举结果 Landon 57 38 Roosevelt 43 62 思 考 你认为预期结果出错的原因是什么？ 原因是：用于统计推断的样本来自少数富人，只能代 表富人的观点，不能代表全体选民的观点（样本不具有代 表性）。 像本例中这样容易得到的样本称为方便样本。如果使 用“方便样本”，那么得出与事实不符的结论的可能性就 会大大增加。 结论：在抽样时不能只图方便。如果只从一些容易得 到的个体中抽取样本，那么所得到的样本只是一个“方便 样本”，“方便样本”的代表性差，基本这种方便样本得 出的结论就会与事实相左。 中央电视台需要在我市调查“春节联欢晚会”的收视率。 （ 1）每个看电视的人都要被问到吗？ （ 2）对我校学生的调查结果能否作为该节目的收视率？ （ 3）你认为对不同社区、年龄层次、文化背景的人所做调查的结 果会一样吗？ 答 （ 1） 中央电视台在调查时不可能问到每一个看电视的人 。 （ 2） 对一所中学学生的调查结果不能作为该节目的收视率 ， 因为只有中学生 ， 缺乏代表性 。 （ 3） 不同社区 、 年龄层次 、 文化背景的人所做调查的结果 不一样 ， 因为他们的兴趣 、 爱好等方面情况相距甚远 。 为了了解学生对学校伙食的满意程度，小红访问了名女生； 小聪访问了名男生；小明访问了名男生和名女生， 其中高一、高二和高三的男生和女生各 8名。你认为小红、小聪、 小明三人的不同抽样方法那一种最好？为什么？ 答：小明的方法最好。小明抽得样本既有男生，又有女生，而 均匀分布在各年级，这样的抽样较具有代表性，反映的情况具 有普遍意义。 1.我们常常根据样本得到结果来推测总体的结果。不同 的抽样可能得到不同的结果。 2.为了使结果更具准确性，抽样时，样本的容量要合 理，样本的个体要有代表性。 练习 1.下列调查工作适合采用普查方式的是 ( ) A.环保部门对淮河水域的水 污染调查 B.电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查 C.检查一批电视机的使用寿命 D.学校给全校学生订做校服前 ,进行尺寸大小的调查 2.为了解全校 4500名学生的课外阅读时间情况 ,从中 抽取 200名学生进行调查，下列说法正确的 ( ) A.总体是 4500名学生 ; B.个体是每个学生 C.样本是 200名学生 ; D. 样本容量是 200. 每个个体在整个抽样过程 中被抽取的概率是否相等？ 思考 分析： 每部分抽取的个体数 样本容量该部分的个体总数 总体中的个体数 应用举例 例 1 填空 : 1 、统计的基本思想方法是 _。 抽样调查常用的方法有 _。 样本容量是指 _. 、简单随机抽样适用的范围是 _. 系统抽样适用的范围是 _. 分层抽样适用的范围是 _. 3、为了了解某地区参加数学竞赛的 1005名学生的数学 成绩 ,打算从中抽取一个容量为 50的样本 ,现用系统抽样 的方法 ,需要从总体中剔除 5个个体 ,在整个过程中 ,每个 个体被剔除的概率和每个个体被抽取的概率分别为 _. 三种抽样方法的应用 用样本估计总体 简单随机抽样 ,系统抽样 ,分层抽样 样本中包含的个体的个数 总体中的个体数较少 总体中的个体数较多 总体由差异明显的几部分组成 A 10 05 50, 10 05 5 .A 1000 50, 1005 1000 .D 10 05 50, 10 05 10 00 .B 10 00 50, 10 05 5 .C 例 2:下列抽取样本的方式是属于哪种抽样方法 ? (1)某市为了了解职工的家庭生产状况 ,先将职工所在的国民经济 行业分成 13类 ,然后每个行业抽 1/100的职工家庭进行调查 ,这 种抽样方法是 _. 分层抽样 (2)某学校高二年级有 15名男篮运动员 ,要从中选出 3人调查学习 负担情况 ,这种抽样方法是 _. 简单随机抽样 (3)某工厂生产的产品 ,用传送带将产品送入包装车间 ,质检员每隔 5分钟从传送带某一位置取一产品进行检测 ,则这种抽样方法是 _. 系统抽样 (4)学校会议厅有 32排座位 ,每排有 40个座位 (座位号为 140 ),一 次报告会坐满了听众 .会后为听取意见 ,留下了座位号为 18的 所有的 32名听众进行座谈 ,则这种抽样方法是 _. 系统抽样 (5)在某一地区搞一市场调查 ,规定在商场门口随机地对一个人进 行询问调查 ,直到调查到事先规定的调查人数为止 ,则这种抽 样方法是 _. 偶遇抽样 说明 :这样的调查与所学的三种抽样方法的区别在于 :事先不知 总体且不能保证每个个体按事先规定的概率入样 . 例 3:填空题 : (1)一个总体的个数为 n,用简单随机抽样的方法 ,抽取一个容量 为 2的样本 ,个体 a第一次未被抽到的概率为 _;个体 a 第一次未被抽到但第二次被抽到的概率为 _;整个抽 样过程中个体 a被抽到的概率为 _. (n-1)/n 1/n 2/n (2)一个总体的 80个个体编号为 0,1,2,79, 并依次将其分成 8个 小组，组号为 0, 1,2,7, 要用 (错位 )系统抽样方法抽取一 个容量为 8的样本 ,即规定先在第 0组随机抽取一个号码 ,记为 m,依次错位地得到后面各组的号码 ,即第 k组中抽取的号码的 个位数为 m+k或 m+k-10(若 m+k10).则在 m=6时 ,所抽到的 8个号码是 _. 注 :简单随机抽样中每一个个体的入样概率为 M/n. 6,17,28,39,40,51,62,73. (3)某县三个镇共有高中生 2000名 ,且这三个镇的高中生人数之 比为 2:3:5,若学生甲被抽到的概率为 1/10,则这三个镇被抽到 的高中生人数分别是 _. 40,60,100. 例 4:某公司下属四个公司 ,且各分公司有员工 180人 ,150人 ,150人 , 120人 ,由于各分公司地域的差异而影响经营效益与员工的消费 水平 ,现要从各分公司抽取 60名员工调查消费情况 ,用什么方法抽 样较好 ,各分公司分别抽多少人 ? 解 :用分层抽样的方法较好 . 设各分公司分别抽取 (人 ),抽取总数 n=60人 ,各公 司员工总数为 N=180+150+150+120=600人 . 4321 , nnnn .1260 600 120 1560 600 150 1560 600 150 ;1860 600 180 43 21 人人； 人；人 nn nn 例 5:从 2004名同学中抽取一个容量为 20的样本 ,试叙述系统抽样 的步骤 . 解 :(1)采用随机的方式给个体编号 :1,2,2004. (2)剔除 4个个体 . (3)分段 :由于 20:2000=1:100,故将总体分为 20个部分 ,其中每 一部分 100个个体 . (4)在第一部分随机抽取一个号码 ,比如 66号 ; (5)起始号加上各段中所含的个体数 ,如 166,266,. 注 :从 N个编号中抽取 n个号码入样 ,考虑用系统抽样的方式抽样 , 则抽样的间隔为 N/n. 练习 1:从 50名学生中抽取 10名学生对他们的身高进行检测 ,应采 用哪种方法抽样 ?写出抽样过程 . 解 :用简单随机抽样较好 . 将 50名学生的学号写在形状、大小相同的号签上 ,然后将这些 号签放在同一盒子中进行均匀搅拌 ,抽签时 ,每次抽出一个号签 , 连续抽取 10次 ,则所抽得的 10个号签上的学生学号所对应着选 出的 10个学生 . 练习 2:某高校有一万名大学生 ,从中抽取 100名学生进行健康检查 , 采用哪种方法抽样较好 ?写出抽样过程 . 解 :由于总体个数为 10000,数量较大 ,因而采用系统抽样法 . 具体过程如下 : (1)采用随机的方式将总体中的个体编号 1,2,3,10000. (2)把整个总体分成 10000/100=100组 ; (3)在第一组中用简单随机抽样确定一个起始个体编号 m; (4)将 m+100,m+200,m+9900 分别到第 2,3,100 个编号从 而获得整个样本 . 练习 3:一个地区有 5个乡镇 ,人口 3万 ,其人口比例为 3:2:5:2:3,要 从 3万人中抽取 300人进行某种疾病的发病分析 .已知这种 疾病与不同的地理位置及水土有关 ,问应采用哪种抽样方 法 ?并写出具体过程 . 解 :因为疾病与不同的地理位置及水土有关 ,因而不同乡镇的发病 情况差异明显 ,因而采用分层抽样方法 . 具体过程如下 : (1)将 3万人分成 5层 ,每个乡镇一层 ; (2)按照样本容量与总体容量的比例及各乡镇的人口比例随机 抽取各乡镇应抽取的样本 ,通过计算 ,易知各乡镇应抽取的 样本数分别为 60,40,100,40,60个 . (3)将 300个人组成一起 ,即得到一组样本 . 练习 4:光明中学有高一学生 400人 ,高二学生 320人 ,高三学生 400 人 ,以每人被抽取的概率为 0.2,向该中学抽取一个容量为 n 的样本 ,则 n=_. 224 2)我们所学的三种抽样方法都是事先规定每个个体的入样概率相等 (一般的分层抽样可规定不同层有不同的入样概率 ,我们所学的分层 抽样严格地讲 ,称为按比例分层抽样 ).这体现了这三种抽样方法的客 观性和公平性 . 3)简单随机抽样是系统抽样与分层抽样的基础 ;系统抽样与分层 抽样是简单随机抽样的发展 . 例 5:某中学有学生 2000名 ,为了了解学生的学习情况 ,抽 5%的学 生进行调查 ,你将如何设计抽样方法 ? 解 :根据不同的要求可有不同的抽样方法 . 现在抽 5%的学生 ,一般来说 ,一个班级的人数在 5060, 用系统 抽样方法每个班可抽到 2 3人 ,可以采用系统抽样 . 若抽样比例少于 2%,而学校有文、理分班或快、慢分班等学生 学习程度不一致的情形 ,应采用分层抽样 .