非齐线性微分方程组

5.2 General Theory of Linear ODEs 5.2.2 非齐线性微分方程组 )()( tt fxAx (5.14) 性质 1 )(t 是 (5.14)的解， )()( tt 是 (5.14)的解。 方程组 (5.15)的解，则 如果 )(t 是对应齐次 )()()()( tttt )()()()()( ttttt AfA )()()()( tttt fA 5.2 General Theory of Linear ODEs )()( tt )()()( ttt A 性质 2 )()( tt 和 是 (5.14)的任意两个解， )()( tt 是 (5.14)对应齐次线性方程组 如果 则 (5.15)的解。 )()()()()()( tttttt fAfA 5.2 General Theory of Linear ODEs )(t )(t )(t 都可以 )()()( ttt c 定理 7 设 是 (5.15)的基解矩阵， 是 (5.14)的某 一解，则 (5.14)的任一解 这里 c 是确定的常数列向量。 (5.23) )(t 是 (5.14)的任一解， )()( tt 是齐次方程组 (5.15)的解，因此存在常列向量 c ， 使得 )()( tt c)(t )()()( ttt c 证明 表示为 : 5.2 General Theory of Linear ODEs 已知 (5.15)的基解矩阵 ，则可用 常数变易法 求 )(t )(t )()()( ttt c 的解，则 )()()()()()()()( tttttttt fcAcc )()()( ttt A (5.25) 为了寻求 (5.14)的通解，只要知道 (5.14) 对应齐的 齐线性方程组 (5.15)的 基解矩阵 和 自身的一个解即可。 假设 (5.14)存在形如 (5.14)的特解 而 )()()( ttt fc (5.24) 5.2 General Theory of Linear ODEs tt battdssst 0 0 1 ,)()()( fc 这样， (5.24)变为 0c )( 0t tt battdssstt 0 01 ,)()()()( f 如果 (5.14)有一个形如 (5.24)的解 , 则 )(t (5.26) )()()( ttt fc 1 由 (5.26)决定。 )(t 反之易证明由 (5.26)决定的向量函数 )(t 一定是 (5.14)的解。 5.2 General Theory of Linear ODEs tt battdssstt 0 01 ,)()()()( f (5.26) )()()()()()()( tttdssstt t t ff 11 0 )()()()()()( tdsssttt t t ffA 0 1 )()()()( tttt fA )(t 一定是 (5.14)的解。 反之易证明由 (5.26)决定的向量函数 5.2 General Theory of Linear ODEs 0)( 0t 定理 8 是 (5.15)的基解矩阵，则向量函数 tt dssstt 0 1 )()()()( f (5.27) 如果 )(t 是 (5.14)的解，且满足初始条件 (5.14) 满足初始条件 )( 0t 的解是 tt dssstttt 0 101 )()()()()()( f (5.26) (5.14) 通解 tt dsssttt 0 1 )()()()()( fc 5.2 General Theory of Linear ODEs 例 2 试求下面初值问题的解 2 1 010 11 x xe t xxx 其中, 1 1 0 )(x 解 22 211 xx exxx t 22 211 xx xxx 1 1 2 22 tt t x c e c te x c e 5.2 General Theory of Linear ODEs t tt e tee t 0 )( 基解矩阵 0 1 2 1 c c 1 0 2 1 c c 0 te t t e te tecx 22 tt tececx 211 tt dssstttt 0 101 )()()()()()( f 5.2 General Theory of Linear ODEs t tt e tee t 0 )( s ss s e see e s 0 1 2 1 )( se s 10 1 E )( 01 )(t dsees e tee t ss t tt 0 010 1 1 1 0 ds e e tee t s t tt 0 2 01 1 0 tt dssstttt 0 101 )()()()()()( f 5.2 General Theory of Linear ODEs ds e e tee t s t tt 0 2 01 1 0 0 2 1 2 1 1 1 0 2 t t tt e e tee 1 1 2 1 0 2 )( t t tt e e tee t ttt e eete )( 2 1 )(t t ttt e eete )( 2 1 5.2 General Theory of Linear ODEs 课堂练习： 试求下面初值问题的解 2 1 20 12 x x t t xxx 其中, c o s s in 1 1 0 )(x 5.2 General Theory of Linear ODEs 分析常数变易法 /Analytic of Unknown Function Method/ )()()( ttt c )()()()()()( tcttcttct nnxxx 2211 (5.25) )()()( ttt fc )( )( )( )( )( )( )()()( )()()( )()()( tf tf tf tc tc tc txtxtx txtxtx txtxtx nnnnnn n n 2 1 2 1 21 22221 11211 )()()( )()()( )()()( d e t)( txtftx txtftx txtftx tW nnnn n n k 1 2221 1111 5.2 General Theory of Linear ODEs nk tW tWtc k k ,)( )()( 21 01 ds sW sWtt t t k n k k )( )()()( x )()()( ttt c )()()()()()( tcttcttct nnxxx 2211 是 (5.14)的满足 0)( 0t 的解。 nkds sW sWtc t t k k ,)( )()( 21 0 5.2 General Theory of Linear ODEs 推论 3 )(),(,),(),( tftatata n21 是区间 bta 上的连续函数， )(,),(),( txtxtx n21 是对应齐次方程 011 xtaxtax nnn )()( )()( 的基本解组，那么，非齐次线性方程（ 5.28） )()()( )()( tfxtaxtax nnn 11 (5.21) (5.28) 如果 满足初始条件 ,)(,)(,)( )( batttt n 00100 000 的解为 应用到 n阶线性方程 5.2 General Theory of Linear ODEs )()()( )()()( )()()( d e t)( )()()( txtxtx txtxtx txtxtx tW n n nn n n 11 2 1 1 21 21 )()( )()( )()( d e t)( txtx txtx txtx tW nnn n n k 1 0 0 1 221 111 dssf sxsxsxW sxsxsxWtxt n k t t n nk k )()(,),(),( )(),(),()()( 1 21 21 0 (5.29) 5.2 General Theory of Linear ODEs (5.28)的常数变易公式是 dssf sxsxsxW sxsxsxWtxt n k t t n nk k )()(,),(),( )(),(),()()( 1 21 21 0 (5.28)的通解可以表示为 )()()()( ttxctxctxcx nn 2211 思考 1 推论 3的推导过程 2 到目前为止 n 阶线性方程求特解的方法有多少？ 5.2 General Theory of Linear ODEs 当 n=2时，公式 (5.29)就是 t t t t dssf sxsxW sxsxW tx dssf sxsxW sxsxW txt 0 0 21 212 2 21 211 1 )( )(),( )(),( )( )( )(),( )(),( )()( )()( )()(),( sxsx sxsxsxW 2 2 2 211 1 0 )( )( )()(),( sx sx sxsxsxW 1 1 1 212 1 0 5.2 General Theory of Linear ODEs 因此，当 n=2时常数变易公式变为 dssf sxsxW sxtxsxtxt t t )( )(),( )()()()()( 0 21 2112 而通解就是 )()()( 2211 ttxctxcx 这里 任意常数。 21 ,cc (5.31) (5.32) 5.2 General Theory of Linear ODEs 利用公式 (5.31)来求方程的一个解， 例 3 tg txx 解 ttxttx s in)(,c o s)( 21 的一个特解。 121 tt tttxtxW c o ss in s inc o s)(),( 0 xx 试求方程 易知对应的齐线性方程 的基本解组为 , dssfsxsxW sxtxsxtxt t )()(),( )()()()()( 0 21 2112 s d sststt t a n)s inc o sc o s( s in 0 5.2 General Theory of Linear ODEs 注意，因为 sint是对应的齐线性方程的解，所以函数 t g tttt s e clnc o s)( 也是原方程的一个解。 tt s d ssts d st 00 t a ns inc o ss ins in s d sststt t a n)s inc o sc o s( s in 0 )t a ns e cln( s inc o s)c o s(s in tttttt 1 t g tttt s e clnc o ss in 作业 P.202, 第 6, 8， 9(a) 题。 5.2 General Theory of Linear ODEs 求 齐次线性方程组 的解的另一方法： 消元法 22 211 xx xxx 保留一个未知函数 x1，消掉另一个未知函数 x2 211 xxx 211 xxx 112 xxx 111 2 xxx 02 111 xxx tt tececx 211 ttttt tecectecececx 212212 tecx 22 1 1 2 22 tt t x c e c t e x c e 5.2 General Theory of Linear ODEs 求 非齐次线性方程组 的另一方法： 消元法 22 211 xx exxx t 保留一个未知函数 x1，消掉另一个未知函数 x2 texxx 211 texxx 211 texxx 112 texxx 22 111 texxx 22 111 tt tececx 211 tttt tttt eetecec etecececx 2 1 2 1 21 2212 tecx 22 te 2 1 5.2 General Theory of Linear ODEs ttt etececx 2 1 211 tecx 22 ）ttt eetex ( 2 1 1 tex 2 1 1 0 )(x 1 2 1 2 1 c c 5.2 General Theory of Linear ODEs 利用消元法，求下列方程组的通解 t xx xx s in 1 1 12 21 213 132 321 xxx xxx xxx 练习： 12 211 2 xx xxx