第3章 习题解答

第3章 习题解答第三章 刚体的定轴转动3.1请思考下面关于刚体转动惯量的问题： （1）刚体的转动惯量与那些因素有关？（2）“一个确定的刚体有确定的转动惯量”这句话对吗？3.2 两大小相同、质量相等的圆盘，一个圆盘的质量均匀分布，另一个圆盘的质量主要集中在圆盘边缘，两圆盘绕通过圆心且垂直于盘面的轴转动。问：（1）如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个圆盘转动的角速度较大？ （2）如果它们的角加速度相同，哪个圆盘受到的力矩大？ （3）如果它们的角动量相等，哪个圆盘转的快？3.3为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能只与外力矩有关，而与内力矩无关？3.7请判断下面物理量中，哪些与参考点的选择有关，哪些与参考点的选择无关： （1）位矢；（2）位移；（3）速度；（4）动量；（5）角动量；（6）力；（7）力矩3.8 一质量为M ，半径为r 的匀质圆盘旋转时，在某一瞬间突然有一片质量为m 的小碎片从圆盘的边缘飞出，则飞轮的转动惯量变为（ ） A 、212Mr B 、21()2M m r - C 、2212Mr mr - D 、不能确定 C3.9在刚体的定轴转动中，如果合外力矩的方向与角速度的方向一致，则以下说法正确的是（ ）A 、合力矩增大时， 物体角速度一定增大；B 、合力矩减小时， 物体角速度一定减小；C 、合力矩减小时，物体角加速度不一定变小；D 、合力矩增大时，物体角加速度不一定增大。 A3.10一匀质圆盘状飞轮，质量为20kg ，半径为30cm ，当它以每分钟60转的速率，绕垂直与圆盘面且通过圆盘圆心的轴转旋转时，其动能为（ ）A 、216.2J B 、28.1J C 、8.1J D 、21.8J D3.11在自由转动着的水平转台的边缘站着一人，当该人从边缘沿径向走到转台中心的过程中，系统的转动动能（ ）A 、不变B 、减小C 、增加D 、先减小后不变 C3.12运动员手握两只哑铃，站在无摩擦旋转的水平平台上，开始时此人两手平握哑铃，人、哑铃、平台组成的系统以角速度旋转，随后，此人将哑铃下垂于身体两侧，在此过程中，下面说法正确的时（ ）A 、角动量守恒，机械能守恒；B 、角动量守恒，机械能不守恒；C 、角动量不守恒，机械能守恒；D 、角动量不守恒，机械能不守恒。 B3.13一根长为 、质量为M 的匀质棒，自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。现有一质量为m 的子弹以水平速度0v 射向棒的中心，并以02v 的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角为090，则0v 的大小为（ ）A B C D 、22163M g mA3.14一质量为m ，半径为R 的匀质薄圆盘，在水平面上绕通过中心且垂直盘面的轴转动。设圆盘与水平面之间的滑动摩擦因素为。若开始以角速度0旋转，问： （1）圆盘停止转动经过多长时间？ （2）上述过程中摩擦力矩所作的功？ 解：（1）摩擦力矩222dM r rdr g g r dr =?=式中，为质量面密度。322022233Rm R M dM g r dr g mg R R =? 而212M I mR =所以22132mg R mR =得角角速度为43g R=故00t =-?，034R t g ?= （2）根据动能定理有2220011024f A I mR =-=- 3.15一根长度为l 均匀木棒，质量为m ，可绕水平轴O 在竖直平面内转动(无摩擦)，开始时棒水平静止放置，当棒在重力的作用下转动到与水平方面成角时，求： (1) 力矩作功；(2) 杆的角的加速度；(3) 杆的角加速度。 解：(1)根据定轴转动力矩作功的计算式z dW M d =式中 0s i n (90)c os 22z M mg mg =-= 所以 0cos sin 22W mg d mg =? (2) 根据定轴转动的转动定理 z M I =式中 213I m = 再利用 cos 2z M mg = 可得 3cos 2g= (3) 利用机械能守恒： 21sin 22I mg = 所以=3.16弹簧、定滑轮和物体的连接如图3-16所示，弹簧的劲度系数为2.0N.m -1；定滑轮的转动惯量是0.5kg.m 2，半径为0.30m ，问：当6.0kg 质量的物体落下0.40m （竖直高度）时，它的速率为多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。 解：当物体落下0.40m 时，物体减少的势能转化为弹簧的势能、物体的动能和滑轮的动能， 即222222121r Iv mv kh mgh +=，将kg m 6=，2/8.9s kgm g =，m h 4.0=，25.0kgm I =，m r 3.0=代入，得 s m v /01.2=3.17如图3-17所示，物体1和2的质量分别为1m 与2m ，滑轮的转动惯量为J ，半径为r ，如物体2与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度a 及绳中的张力1T 和2T (设绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮与转轴无摩擦) 解：以滑轮为研究对象：12T r T r J -= 以物体1为研究对象：111m g T m a -= 以物体2为研究对象：222T m g m a -= 绳子与滑轮间无相对滑动：a r = 联立上面四式，可得2222112212J m r m r T m g J m r m r +=+，2211222212J m r m r T m g J m r m r +=+22122212m r m r a g J m r m r -=+ 3.18一长=0.4m 、质量1M kg =的匀质细棒，可绕水平轴O 在竖直平面内转动，开始时，细棒处于自然竖直状态，现有一质量8m g =的子弹，以200/m s =的速率从A 点射入棒中，A 点与O 点的距离为34 ，如图3-18所示。求： （1）棒开始运动时的角速度； （2）棒的最大偏转角。解：系统绕杆的悬挂点的角动量为21340.48L mvl kgm s -=子弹射入后，整个系统的转动惯量为222054.016931kgm ml Ml I =+=由角动量守恒有s rad IL/88.8= 子弹射入后，且杆仍然垂直时，系统的动能为2122.13W I J =动 当杆转至最大偏转角时，系统动能为零，势能的增加量为()()31241cos 1cos W Mgl mgl ?=-+-势 由机械能守恒，势动W W ?= 得24.94=。 3.19 如图3-19所示，转台绕中心竖直轴以角速度0作匀速转动。转台对该轴的转动惯量J =510-5 kgm 2。现有砂粒以1g/s 的速度落到转台，并粘在台面形成一半径r =0.1m 的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度变为02所花的时间。 解：要使转台角速度变为102，由于砂粒落下时不能改变体系角动量，所以必须要使体系的转动惯量加倍才行，即 J r m =2沙粒。将25105m kg J ?=-和m r 1.0=代入得kg m 3105-?=沙粒所以 s sg kgt 5/11053=?=- 3.20一脉冲星质量为1.51030kg ，半径为20km 。自旋转速为2.1 r/s ，并且以1.010-15r/s 的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。解：脉冲星的转动惯量为 252mr I =转动动能为 2225121r m I W =转动动能的变化率为 225dW d mr dt dt= ()230415250.4 1.510210 2.12 1.0102 1.9910/J s -=?=?由d dt=，t =，得停止自旋所需要的时间为151522.1/ 2.1101.010/r s t s r s-=?