《连续介质力学》PPT课件

连续介质力学基础 连续介质力学基础 王新峰 18号楼 714房间 Email: 连续介质力学基础 评分标准 考试： 70 平时： 30 总计： 100 连续介质力学基础 理论力学： 研究物体机械运动一般规律。刚体在空 间的位置随时间的变化 静力学 ：物体在力系作用下平衡的普遍规律。 运动学 ：以几何的观点研究物体的运动，不考虑 作用于物体上的力。 动力学 ：作用在物体上的与物体运动的关系。 连续介质力学基础 材料力学： 研究简单结构（杆件）在简单载荷作用下的 刚度、强度和稳定性。 基本假设： 连续性；均匀性；各向同性 扭转和弯曲的平面假设； 连续介质力学基础 弹性力学： 基本假设： 假设材料是连续的 假设材料是完全弹性的 假设物体变形是微小的 假设材料是均匀性的和各向同性的 连续介质力学基础 连续介质力学： 是以 连续介质假设 为基础的众多力学学科 的总称。 （如：流体力学、水利学、气体力学、 弹性 力学、塑性力学、爆炸力学等） 力学是研究物质运动，以及引起该运动的力 的学科。力学是建立在时间，空间，力，能 量以及物质这些概念的基础之上的。 绪 论 连续介质力学基础 连续介质 物 质 构 造 理 论 离散体模型：物体是由大量的、具有确定物理性质的、 彼此相互吸引而聚集在一起的几何点的集合所组成。 连续统模型：用场的概念去描述物体的几何点，而不 必区分构成该物体的一个个粒子间的差异。 绪 论 连续介质力学基础 连续介质 密度： 1 nn nP n n V n V MP n 0 lim)( 若所设空间内各点都能这也定义密度，则认为质量是连续分布的 绪 论 连续介质力学基础 连续介质 如果一个物体的质量、动量、能量密度在数学 意义上存在，这个物质就是一个物质连续统 （连续介质）。 这样一个物质连续统的力学就是连续介质力学。 附加限制条件：只要始终保持含有足够多的粒 子，而不至于使极限值不存在或者发生突跃 绪 论 连续介质力学基础 连续介质 密度： 1 nn nP 若所设空间内各点都能这也定义密度，则认为质量是连续分布的 绪 论 当 n 时， Vn的极限趋于一个有限的正数 连续介质力学基础 连续介质力学中的“基元” 物体： 在某一确定的瞬时，物体具有一定的几何形状， 并具有一定的质量。 物体由质点构成，质点占据 非常小的确定空间，具有非常小的确定质量。 物体可以抽象成各种模型：如质点、刚体、弹塑性 体、流体、颗粒等；按几何性质还可分为质点、一 维的弦和杆、二维的板壳及三维的块体。 绪 论 连续介质力学基础 连续介质力学中的“基元” 质量： 质量是物体运动惯性的度量，对于有限体和理想 化的质点，它是个有限数。质量是物体的基本属 性，没有不具质量的物体。 质量服从质量守恒定律，不能被消灭，也不能无中 生有。和物体的形态相对应，质量可分为点质量、 线分布质量、面分布质量和体分布质量。 绪 论 连续介质力学基础 连续介质力学中的“基元” 时空系： 时间和空间是运动物体的客观存在形式。空间 表示物体的形状、大小和相互位置关系；时间 表示物体运动过程的顺序。 为描述物体的运动，需要在时间和空间中选取一特 定的标架，作为描述物体运动的的基准，这种标架 称为时空系。 绪 论 连续介质力学基础 连续介质力学中的“基元” 运动： 物体状态或各种参数随时间的变化过程称为运动。 物体运动是构成物体质点的运动的有机总和。物体 的运动须满足某些一般的规律，如质量、动量、能 量和电荷等的守恒定律 绪 论 连续介质力学基础 连续介质力学中的“基元” 动量： 动量是物体机械运动的度量，质点的线动量等于 其质量和运动速度的乘积。动量是矢量，服从矢 量运算规则，物体的总动量是各部分动量的矢量和 力： 物体线动量的变化率等与作用于其上的合力，力是改 变物体运动的原因。力是矢量，服从矢量运算规则。 绪 论 连续介质力学基础 连续介质力学中的“基元” 功和能： 力和沿力方向的位移的乘积称为功。能量是一 个抽象的概念。能量是纯量服从能量守恒和转 化定律，它不能无中生有，也不能被消灭。系 统的总能量是其各部分能量之和。 绪 论 连续介质力学基础 连续介质力学中的“基元” 温度和热： 温度是物体冷热程度的度量。由于存在温 度差，从一个物体流向另一个物体的能量以 热的形式表现出来。 熵： 熵是在热力学第二定律的数学表述中引进的一个 状态函数，它是可加函数，系统的熵等于各部分 熵的和。它最重要的特性是：系统熵的变化永远 不小于系统由环境中得到的热量与得到此一热量 时热力学温度的比值。 绪 论 连续介质力学基础 连续介质定义下的应力 温度和热： 温度是物体冷热程度的度量。由于存在温 度差，从一个物体流向另一个物体的能量以 热的形式表现出来。 熵： 熵是在热力学第二定律的数学表述中引进的一个 状态函数，它是可加函数，系统的熵等于各部分 熵的和。它最重要的特性是：系统熵的变化永远 不小于系统由环境中得到的热量与得到此一热量 时热力学温度的比值。 绪 论 连续介质力学基础 连续介质力学的基本方程 一、适用于所有物体，构成自然界的基本规律。 二、各种物体特有的规律，即各自的本构方程。 如质量守恒、能量守恒、牛顿运动定律和保证物 体自身完整性的连续性条件或遵循一定规则的间 断性条件等。 本构方程是各种介质相互区别的标志，是在相同 环境中，物体具有不同运动的原因。 虽然不同的介质具有不同的本构关系，但本构关 系本身必需满足一些共同的准则，如时空无差异 性原则、热力学第二定律等。 绪 论 连续介质力学基础 基元 基本规律 本构方程 连 续 介 质 力 学 体 系 数学方法 实验方法 工 程 实 际 问 题 绪 论 连续介质力学基础 主要研究内容 张量初步（张量的概念、坐标变换、张量运算等） 运动和变形（关于物体变形和运动的几何描述） 基本定律（如质量守恒、动量守恒等以及热力学定律） 本构关系（本构公理以及典型简单物质的本构方程） 绪 论 连续介质力学基础 矢量与张量 矢量及其代数运算 矢量定义： 在三维 Euclidean空间中，矢量是具有大小与方向 且满足一定规则的实体。 矢量满足以下规则： 1、相等：两个矢量具有相同的模和方向则称两个矢量相等。 2、矢量和：按照平行四边形法则定义矢量和，同一空间的 两个矢量之和仍为该空间的矢量。 （矢量和满足交换律和结合律） 连续介质力学基础 矢量与张量 矢量及其代数运算 3、数乘矢量：设 a、 b为实数，矢量 乘实数 a仍为同一空间 的矢量，记作 。 u uav 其含义是： 是与 共线且模为 的 a倍。 uv u 数乘矢量和满足分配律和结合律 分配律 vauavua ubuauba )( )( 结合律 uabuba )( 连续介质力学基础 矢量与张量 矢量及其代数运算 由矢量关于求和与数乘的封闭性可知，属于同一空间的矢量 组 （ i=1， 2， ， I）的线性组合 仍为该空间的矢量。 iu I i ii ua 1 线性相关：指存在一组不全为零的实数使得 0 1 I i ii ua 0 1 I i ii ua 线性无关：指当且仅当 ai=0时才有 维数：一个矢量空间所包含的最大线性无关矢量的数目称为 该矢量空间的维数。 连续介质力学基础 矢量与张量 矢量的点积 定义两个矢量 与 的点积 vu ),c o s ( vuvuvu 矢量点积服从以下规则 交换律： 分配律： 正定性： Schwartz不等式： uvvu vwuwvuw )( 且当仅当 时 0uu 0u 0uu vuvu 连续介质力学基础 矢量与张量 矢量的叉积 两个矢量 与 的叉积（也称矢积）是垂直于 ， 构成 的平面的另一个矢量。 vu vu zyx zyx vvv uuu kji vuw 不满足交换律： uvvu 满足分配律： vwuwvuw )( 二重叉积有恒等式： wvuvwuwvu )()()( 不满足结合律： wvuwvu )()( 连续介质力学基础 矢量与张量 矢量的混合积 定义三个矢量 ， ， 的混合积是 vu w )()( wvuwvuwvu zzz yyy xxx zyx zyx zyx wvu wvu wvu www vvv uuu 并且有： uvwvwuwuvvuwuwvwvu 混合积的物理意义是以 ， ， 为三个棱边所围成的平行 六面体的体积。 vu w 连续介质力学基础 矢量与张量 指标记法 矢量 指标符号 通常 xi， i=1, n表示一组 n个变量 nxxx ,., 21 符号 i是一个指标，采用指标的符号系统称为指标符号 332211 eueueuu 3 1i ii euu 求和约定 在同一项内的一个指标重复一次时表示对该指标在它 的范围上遍历求和。被求和的指标称为哑标，未被求 和的指标称为自由指标。 连续介质力学基础 矢量与张量 哑标 3 1i ii euu 哑标的符号可同时变换 但如 aibici这样的式子在这个约定中是没有定义的。利 用求和约定时一个指标的重复不应超过一次。 ii euu 3 1m mm euumm euu 连续介质力学基础 矢量与张量 自由指标 无意义 在一个方程的每一项出现的自由指标必须是相同的。 3332321313 3232221212 3132121111 xaxaxay xaxaxay xaxaxay mm xay 11 mm xay 22 mm xay 33 mimi xay ji ba 0 jjii iii dcba cba 连续介质力学基础 矢量与张量 克罗内克符号 (Kronecker delta) ji 0 ji 1 ij mma1 1313212111 aaaa mma2 2323222121 aaaa mma3 3333232131 aaaa imim aa 如果 ， ， 是相互正交的单位矢量，则有 1e 2e 3e ijji ee 连续介质力学基础 矢量与张量 置换符号 (Eddington张量 ) 如果 ， ， 是相互正交的单位矢量且为右手系时 1e 2e 3e 0 1 1 ijk （ i， j， k按 1， 2， 3顺序轮换） （ i， j， k按 1， 2， 3逆序轮换） （ i， j， k任意两个指标相同） 321 eee 132 eee 213 eee kijkji eee 连续介质力学基础 矢量与张量 恒等式 ksjtktjsi s tijk 指标记法的变换 1、代换 2、乘法 3、因式分解 4、缩并 mimi bUa mimi cVb nmnimi cVUa mm bap mm dcq nnmm dcbapq 0 ijij nnT 0)( jijij nT 使两个指标相同从而对它求和的运算称为缩并 连续介质力学基础 矢量与张量 算例 i j k kj j k i ij AA ij i j k i j k ij ii )5( )4( )3( )2( )1( 0 0 6 3 3 xzxzzxzx zyzyyzyz yxyxxyxy xxyyzzzz zzxxyyyy zzyyxxxx E e E e E e E e E e E e E e E e E e 1 ; 1 1 ; 1 1 ; 1 )( 1 )( 1 )( 1 ijkkijij vvEe )1(1 连续介质力学基础 矢量与张量 坐标变换 平移变换 kyy hxx kyy hxx / / / / 或 旋转变换 x y o P x y A B C D c o ss in s inc o s / / yxy yxx c o ss in s inc o s / / yxy yxx jiji xx / c o ss in s inc o s)( ij /jjii xx 连续介质力学基础 矢量与张量 坐标变换 三维情况 具有同样原点的两个右手直角坐标系 / 3/2/1321 , xxxxxx 和 基矢量分别为 / 3/2/1321 , eeeeee 和 一向量 可表示为 x / jj exexx jj 两边与 点乘为 ie )()( / iijj eexeex jj )( / ii eexx jj 若定义 则 jiiee j )( / / jjii xx 若用 点乘有 /ie )()( / ijji eexeex jj jiji xx / 连续介质力学基础 矢量与张量 一般坐标变换 一组独立的变量 x1, x2, x3 可以一点在某一参考标架中的坐标。 通过方程 把变量 x1, x2, x3 变成一组新的变 量 这就规定了一个坐标变换。 ),( 321 xxxfx ii 321 , xxx 逆变换 ),( 321 xxxgx ii （ 1）在域 R内， fi是单值连续函数，并且具有连续的一阶偏导数 （ 2）在域 R的任意点处，雅克比行列式 0 j i x xJ 连续介质力学基础 矢量与张量 数量、向量和张量的解析定义 一个变量系称之为数量、向量或张量，取决于该变量系 的分量是如何在变量 x1, x2, x3 中定义的，以及当变量 x1, x2, x3 变到 时，它们又是如何变换的。 321 , xxx 如果变量系在变量 xi中只有一个分量 ， 在变量 中只有一 个分量 ，并且在对应点， 和 相等，则称为数量场。 ix ),(),( 321321 xxxxxx 连续介质力学基础 矢量与张量 数量、向量和张量的解析定义 如果变量系在变量 xi中有三个分量 ， 在变量 中有三个分 量 ，并且这些分量满足如下规律，称为向量场或一阶张 量场。 ixi i kiki ikki xxxxxx xxxxxx ),(),( ),(),( 321321 321321 如果变量系在变量 xi中有 9个分量 ， 在变量 中有 9个分 量 ，并且这些分量满足如下规律，称为二阶张量场。 ixijT ijT njmimnij jnimmnij xxxTxxxT xxxTxxxT ),(),( ),(),( 321321 321321 连续介质力学基础 矢量与张量 商法则 是一向量，设已知乘积 A(i, j, k) （对 i按求和约定求和） 产生 Ajk类型的张量， A(i, j, k) = Ajk 那么即证明 A(i, j, k)是 Aijk类型的张量。 ii i 转置张量 如果保持基矢量顺序不变，而调换张量分量的指标顺序， 得到一个新的张量称为原张量的转置张量 lkjii j k l ggggTT lkjij i k l ggggTS lkjik j i l ggggTR RST 连续介质力学基础 矢量与张量 张量的对称化与反对称化 若调换张量分量指标的顺序而张量保持不变，则称该张量 对于这两个指标具有对称性。 j i k li j k l TT lkjii j k l ggggTT lkjij i k l ggggTS 对称张量 TS 即对称张量与其对应的 转置张量相等 连续介质力学基础 矢量与张量 张量的对称化与反对称化 若调换张量分量指标的顺序后所得到的张量与原张量相差 一符号，则称该张量对于这两个指标具有反对称性。 j i k li j k l TT lkjii j k l ggggTT lkjij i k l ggggTS 反对称张量 TS 连续介质力学基础 矢量与张量 张量的对称化与反对称化 将任一张量 的分量指标中某两个指标顺序互换，得到张 量 ，并按下式构成新张量 对称化运算 T S )(2 1 STA 反对称化运算 将任一张量 的分量指标中某两个指标顺序互换，得到张 量 ，并按下式构成新张量 T S )(21 STB 连续介质力学基础 矢量与张量 张量分析 张量微分算子 ii x kk , 梯度 mlkmklmmlkkl lklkllkk kkkk iiiTiiiTTTg r a d iiuiiuuug r a d iig r a d ,),( ,),( , lkmmklmlkklm kllklkkl iiiTiiTiT iiuiuiu ,),( ,),( 连续介质力学基础 矢量与张量 张量分析 微分 lkmmkl kllk iidxTTxdxdTg r a dTd idxuuxdxdug r a dud ,)( ,)( 散度 lkklmlkklm kklkkl iTiiTiTTd i v uiuiuud i v ,),( ,),( Tk lkl TiTT , 连续介质力学基础 矢量与张量 张量分析 旋度 nkm k nmklmlkklm ml k mlklkkl iiTiiTiTTC u r l iuiuiuuC u r l ,),( ,),( nkl m nmklmmlkkl mk l mlkllkk iiTiiiTT uC u r liuiiuu ,),( ,),( 连续介质力学基础 矢量与张量 二阶张量 二阶张量的特征值、特征向量 正则与退化 行列式不为零的二阶张量称为正则张量，否则称为退化张量。 若 是一个矢量，此矢量在张量 的作用下变换为与自身平 行的一个矢量，即： a T aaT a 即为特征向量 为特征值 连续介质力学基础 矢量与张量 二阶张量 二阶张量的不变量 3 2 1 de t )( 2 1 TT TTTT TTtr ijijjjii ii 连续介质力学基础 矢量与张量 几种特殊的二阶张量 零二阶张量与单位二阶张量 000 000 000 O 100 010 001 I 二阶张量的幂 2 TTT 3 TTTT . . . TTTT n 连续介质力学基础 矢量与张量 几种特殊的二阶张量 反对称二阶张量 0 0 0 2313 2312 1312 所对应的特性方向的单位矢量称为反对称 张量的轴 0,0 21 II 023 I 3 反对称张量的反偶矢量 :21 uu 连续介质力学基础 矢量与张量 二阶张量的分解 1、加法分解 jiij eeTT )(21 TTTN )(21 TTT 球 形 张 量 偏 斜 张 量 jiijTTjiij eeIIeePP 1 1 3 1 3 1 0 3 1 kk ij NP 当 i = j 当 ji jiijijjiij eePNeeDD )( ij kkij ij N NND 3 1 当 i = j 当 ji DPN 连续介质力学基础 矢量与张量 二阶张量的分解 2、乘法分解 定理： 正则的二阶张量必定可以分解为一个正交张量与一个 正张量的点积。 HQT 1 1 QHT 右极分解 左极分解 连续介质力学基础 应 力 应力的表示法 12 13 11 22 23 21 32 33 31 x1 x2 x3 O T 1 T1 1 = 11 T2 1 = 12 T3 1 = 13 T1 2 = 21 T2 2 = 22 T3 2 = 23 T1 3 = 31 T2 3 = 32 T3 3 = 33 等称为剪应力，其他分量 称为正应力，分量 2312 332211 zzyzx yzyyx xzxyx 连续介质力学基础 应 力 应力的表示法 x1 x2 x3 O 32 33 31 32 33 31 22 23 21 22 23 21 应力正方向 应力始终被认为是位于面元外侧 的部分对位于面元负侧的部分的 单位面积上的作用力。 这样定义与常用的拉伸、压缩和 剪切的定义一致。 连续介质力学基础 应 力 运动定律 动量 x3 x1 x2 O B(t) S )( tB dVv r v，速度为该点处密度为 动量矩 )( tB dVvr F 由牛顿运动定律 M 面 力 体 力 连续介质力学基础 应 力 运动定律 总力 x3 x1 x2 O B(t) S X1dV X2dV X3dV 总力矩 运动方程 BS v dVXdSTF BS v dVXrdSTrM BBS v dVvDtDdVXdST BBS v dVvrdVXrdSTr 连续介质力学基础 应 力 柯西公式 表示面元外部材料对内部材料作用的应力矢量 与表示内部材 料通过同一面元对外部材料的应力矢量 大小相等，方向相反 )(T )(T )()( TT S S )(T )(T BBS v dVvDtDdVXdST 运动方程 0)()( STST 连续介质力学基础 应 力 柯西公式 jij n i nT ),c o s ( 11 xndSdS dSn1 ),c o s ( 22 xndSdS dSn2 ),c o s ( 33 xndSdS dSn3 hdSdV 31 hdSvhdSXdST dSndSndSn n 3 1 3 1)()( )()()( 11 333122211111 3312211111 nnnT n 3322221122 nnnT n 3332231133 nnnT n 连续介质力学基础 应 力 平衡方程 对于非均匀应力场，每个应力分量都是位置的函数 在点 (x1,x2,x3)处，应力 11 (x1,x2,x3) 在点 (x1+dx1,x2,x3)处，应力 11 (x1,x2,x3) 1321 1 11 32111 321111 ),(),( ),( dxxxx x xxx xxdxx 1 1 11 11321111 ),( dxxxxdxx 连续介质力学基础 应 力 平衡方程 0)( )()( 32112131213 3 31 31 3121312 2 21 213211321 1 11 11 dxdxdxXdxdxdxdxdx x dxdxdxdxdx x dxdxdxdxdx x x1方向合力为零 01 3 31 2 21 1 11 X xxx 0 i j ij X x 连续介质力学基础 应 力 平衡方程 绕 x3轴合力矩为零 2112 绕 x2轴合力矩为零 3113 绕 x1轴合力矩为零 2332 jiij 连续介质力学基础 应 力 坐标变换时应力分量的变化 jij n i nT kxn 选为平行于轴若将法矢量 332211 , kkk nnn 则 kjjii kT 轴方向上的分量在矢量 m k xT 332211 m k m k m k km TTT mii kT mikjjikm 连续介质力学基础 应 力 应力边界条件 硬材料 软材料 P B A P B A )1(n )1(nT P B A )2(n )2(nT x z )1()1( )1( jji n i nT )2()2( )2( jji n i nT 0 )2()1( nn TT )2( 33 )1( 33 )2( 32 )1( 32 )2( 31 )1( 31 自由面边界条件： 0313233 连续介质力学基础 主应力和主轴 引言 333231 232221 131211 )( jiij 3 2 1 00 00 00 mikjjikm 特定坐标系 特定的坐标轴称为 主轴 相应的应力分量称为 主应力 主轴所确定的平面称为 主平面 连续介质力学基础 主应力和主轴 平面应力状态 333231 232221 131211 )0( 323133 000 0 0 yxy xyx y x x x y y xy xy 连续介质力学基础 主应力和主轴 平面应力状态 000 0 0 yxy xyx y x x y xy x y 000 0 0 yxy xyx 100 0c o ss i n 0s i nc o s 333231 232221 131211 c o ss in2s inc o s 22 xyyxx c o ss in2c o ss in 22 xyyxy )s i n( c o sc o ss i n)( 22 xyyxxy 连续介质力学基础 主应力和主轴 平面应力状态 c o ss in2s inc o s 22 xyyxx c o ss in2c o ss in 22 xyyxy )s i n( c o sc o ss i n)( 22 xyyxxy )2c os1(21s in 2 )2c os1(21c os 2 2s in2c o s22 xyyxyxx 2s i n2c o s22 xyyxyxy 2s in2c o s2 xyyxxy 0 xy yx xy 22ta n 2 2 m i n m a x 22 xy yxyx 2 2 m a x 2 xy yx 连续介质力学基础 主应力和主轴 主应力 物体内任意点处三个相互正交的平面满足该平面上的应力矢量与 其垂直，则该组平面为 主平面 ，其法线称为 主轴 ，作用在平面上的 正应力称为 主应力 1, 2, 3)(i 0 jjiji n 032213 IIIjiji I1， I2， I3称为应力张量的不变量 连续介质力学基础 主应力和主轴 剪应力 nT n )(n i n in nT )( ijji nn 2 )( 22 n nT 若选主轴为坐标轴 2332222112 )()()( nnnTn 22332222112 )( nnnn 2132123232232222122212 )()()( nnnnnn 0,2/1 321 nnn若 )( 2 1 21 连续介质力学基础 主应力和主轴 应力偏量 ijijij 0 )( 3 1 3 1 3210 ii 应 力 偏 量 平 均 应 力 0 jiji 3 00233 2 2 02 1 3 0 JIJ IJ J 0 ii 主 偏 应 力 应力张量主轴与偏应力张量主轴重合 连续介质力学基础 主应力和主轴 拉梅应力椭球 jij n i nT 将应力张量主轴选为坐标轴 3 2 1 00 00 00 111 nT n 222 nT n 333 nT n 并且 12 32221 nnn 1 )( )( )( )( )( )( 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 nnn TTT 连续介质力学基础 运动与变形 物体的构形与坐标系 构形： 物体在空间占据一定的区域，构成一空间几何图形称 为物体的构形。 B 初始构形 I3 X1 I1 b 现时构形 X2 X3 I2 x1 x2 x3 i3 i2 i 1 O o X(XK) x(x k) u d 连续介质力学基础 运动与变形 物体的构形与坐标系 I3 X1 I1 X2 X3 I2 x1 x2 x3 i3 i2 i 1 O o X(XK) x(x k) u d KLLK II kllk ii kKKkkK IiiI 转移张量 KkKk Ii kkKK iI 连续介质力学基础 运动与变形 物体的构形与坐标系 I3 X1 I1 X2 X3 I2 x1 x2 x3 i3 i2 i 1 O o X(XK) x(x k) u d u kk iuK K IU kKKk Uu kKkK uU lkkKlK LKkKkL 连续介质力学基础 运动与变形 物体的运动 I3 X1 I1 X2 X3 I2 x1 x2 x3 i3 i2 i 1 O o X(XK) x(x k) u d 物质描述 用物质坐标 XK作为自变量来描述物体的变形和运动， 称为物质描述或 Lagrange描述 ),( tXxx ),( tXxx Kkk 连续介质力学基础 运动与变形 物体的运动 I3 X1 I1 X2 X3 I2 x1 x2 x3 i3 i2 i 1 O o X(XK) x(x k) u d 空间描述 用空间坐标 xk作为自变量来描述物体的变形和运动，称 为物质描述或 Lagrange描述 ),( txXX ),( txXX kKK 连续介质力学基础 运动与变形 I3 X1 I1 X2 X3 I2 x1 x2 x3 i3 i2 i 1 O o X(XK) x(x k) u d 物体的运动 u w dXx kkLLkk dXxu KKkKkK DXxU 连续介质力学基础 运动与变形 变形梯度和变形张量 KkkK IiFX xF 物质变形梯度张量 XdFxd KkKk dXFdx LKKL dXdXXdXddL 2 kk dxdxxdxddl 2 LKkLkK dXdXFF kLkKKL FFC 右 Cauchy-Green变形张量 FFC T 连续介质力学基础 运动与变形 变形梯度和变形张量 kK dxFdX Kk 1 KK dXdXXdXddL 2 kk dxdxxdxddl 2 左 Cauchy-Green变形张量 TFFB kKKk iIFx XF 11 空间变形梯度张量 xdFXd 1 lk dxdxFF KlKk 11 kKXF Kk ,1 lklKkKT iiXXFFB ,)( 111 TFFC )( 1 1 1 Piola变形张量 连续介质力学基础 运动与变形 应变张量 LKKL dXdXdL 2 2dl LKKLLKkLkK dXdXCdXdXFF LKKLKL dXdXCdLdl )(22 )(21 KLKLKL CE )(21 ICE Green或 Lagrange应变张量 连续介质力学基础 运动与变形 应变张量 Euler或 Almansi应变张量 lkkl dxdxdl 2 2dL lk dxdxB kl 1 lkkl dxdxBdLdl KL )( 122 )(21 1 klklkl B )(2 1 1 BI 连续介质力学基础 运动与变形 用位移表示的应变张量 kkLLkk dXxu u dXx kMKMkKKk Ux , ),( 2 1 LMKMKLLKKL UUUUE KKkKkK DXxU mKkmkKkK uX , ),(21 lmkmkllkkl uuuu 连续介质力学基础 运动与变形 小应变与小转动 ),( 2 1 ),( 2 1 ),( 2 1 ),( 2 1 00 0 00 0 kllkklkl kllkkl KLLKKLKL KLLKKL uurr uu UURR UUE )(2 1 00000 MLMLMKMKKLKL REREEE )(21 00000 mlmlmkmkklkl rr （ 1）应变和转动都很小 0KLKL EE 0klkl （ 2）应变很小，转动较大 000 2 1 MLMKKLKL RREE 000 2 1 mlmkklkl rr 连续介质力学基础 运动与变形 主应变和主方向 1)()( aM dL dLdl dL dl a 名义或 Lagrange相对伸长 Euler相对伸长 1)( 1)( am dl dLdl 线 元 伸 长 比 LKKLMM MME )2 11( )()( dLdXM KK 1KLLK MM )1()( LKKLLKKLK MMEMMEM 0)( LKLKL MEE )3,2,1( E主应变 )3,2,1( M主方向 lkklmm mm )2 11( )()( dl dxm k k )3,2,1( 主应变 )3,2,1( m主方向 连续介质力学基础 运动与变形 应变张量的坐标变换 LKKLLKKL XdXdEdXdXEdLdl 2222 KKKK IXdIdXXd LKLK dXQXd LKLNKMKLLKKL dXdXQQEdXdXEdLdl 2222 KLNLMKKL EQQE KLLNKMKL EQQE KLKL EE 0)( KMMPMP QEE 连续介质力学基础 运动与变形 变形张量的主值 023 CCC CCCICC LKKLKL dXdXCdLdl )(22 22 22 )( dL dXdXCdL dLdl LKKLKL dLdXM KK 1KLLK MM LKKLKL MMC )(12 2 C 2 EIC 0)1(21 ICE EC 212 M 特 征 向 量 连续介质力学基础 运动与变形 变形张量的主值 321 MMMP T T T T M M M P 3 2 1 IPP T 2 3 2 2 2 1 00 00 00 TPCP PPC T 2 3 2 2 2 1 00 00 00 定义 PPU T 3 2 1 00 00 00 CPPU T 2 3 2 2 2 1 2 00 00 00 2/1 2/1 )( FFCU T 连续介质力学基础 运动与变形 变形张量的主值 1C PP T 2 3 2 2 2 1 00 00 00 C-1的特征值是 C的倒数 TFFB FFC T 1 )( FCFB T FCFB T 1 MUMUC 2 1211 MUFMUFFCF TTTT 2 mmB 1 mUFm T 连续介质力学基础 运动与变形 变形张量的主值 2/1 2/1 )( TFFBV 321 mmmp T T T T m m m p 3 2 1 Ipp T 2 3 2 2 2 1 00 00 00 TpBp ppB T 2 3 2 2 2 1 00 00 00 定义 ppV T 3 2 1 00 00 00 BppV T 2 3 2 2 2 1 2 00 00 00 连续介质力学基础 运动与变形 变形张量的主值 2 3 2 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 BC BC BC 2 3 2 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 111 111 11 11 11 BC BC BC 1B pp T 2 3 2 2 2 1 00 00 00 B-1的特征值是 B的倒数 连续介质力学基础 运动与变形 变形张量的极分解 RVURF 正交张量，代表纯转动 右 Cauchy-Green伸长张量 左 Cauchy-Green伸长张量 a2 a1 a2 a1 U R a2 a1 b2 b1 VR b2 b1 b2 b1 连续介质力学基础 速度场与协调条件 速度场 在研究流体流动时通常关心的是速度场，物体中每个质点的速度。 每一点的速度可表示为： ),( zyxv ),( zyxv i rvv 0 vc ur lv 2 1 2 1 vc ur lvv 210 刚体运动的速度分解定理 若不考虑变形 连续介质力学基础 速度场与协调条件 速度场 考虑非刚体的连续介质 )( rdrvv 将 在 P0点展成泰勒级数并取一阶 3 3 2 2 1 1 0 dxx vdx x vdx x vvv rdLv 0 j i ij x vL 速度梯度张量 v jijj j i i dxLdxx vdv 连续介质力学基础 速度场与协调条件 速度场 )(21 TLLV )(21 TLL VL 变形速度张量 Euler应变率张量 伸长速率张量 旋率张量 rdrdVvv 0 2112 2 1 1 2 3 3113 1 3 3 1 2 3223 3 2 2 3 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 x v x v x v x v x v x v rdrd rdvc ur lrdVvv 210 连续介质力学基础 速度场与协调条件 协调条件 ),(21 LMKMKLLKKL UUUUE ),(2 1 lmkmkllkkl uuuu 在小变形情况下： 用位移表示的应变张量： ),(21 KLLKKL UUE ),(2 1 kllkkl uu x u xx y v yy )(21 xvyuxy 连续介质力学基础 速度场与协调条件 协调条件 给定偏微分方程组时的可积性问题 ),( yxfxu ),( yxgyu 需满足： x g y f 称为可积性条件或协调方程 xy yy xx x v y u y v x u 2)( 2 3 2 2 yx u y xx 2 3 2 2 xy v x yy yx v yx u yx xy 2 3 2 32 2 yxxy xyyyxx 2 2 2 2 2 2 平面应变状态的协调方程 yx L x L y L xyyyxx 2 2 2 2 2 2 可积性条件 连续介质力学基础 速度场与协调条件 三维应变分量的协调条件 )(21 , ijjiij uu )(21 , i k ljj k liklij uu )(21 , k i jllijkijkl uu )(21 , jikllikjikjl uu )(21 , ijlkk j lijlik uu 0, ikjljlikijklklij 圣维南协调方程 )( 2 zyxxzy xyzxyzxx )( 2 xzyyzxz yzxyzxyy )( 2 yxzzyx zxyzxyzz 2 2 2 22 2 xyyx yyxxxy 2 2 2 22 2 yzzy zzyyyz 222222 zxxz xxzzzx 连续介质力学基础 本构方程 材料性质的描述 描述材料性质的方程称为该材料的 本构方程 。 本章主要讨论无粘性流体、牛顿粘性流体和理想弹性固体的本构 关系。 其他的本构方程还有描述热传导特性、电阻特性、电磁特性、质 量传递、晶格增长等。 应力 应变关系描述材料的力学性质，因此也是一种本构方程。 连续介质力学基础 本构方程 无粘性流体 从力学上说，流体与固体的区别在于它不能在没有连续变形 的情况下承受剪应力。 定义：流体是一种理想物质，当它做拟刚体运动（包括静止状态）时， 不能承受剪应力。 液体：在承受广泛范围的载荷时，密度变化可以忽略。 一般可分为不可压缩流体和可压缩流体两种概念 不可压缩流体在它所充满的空间具有均匀的密度，称为均质流体。 连续介质力学基础 本构方程 无粘性流体 在通过一点的所有平面上，不仅没有剪应力，而且正应力全部相等。 因此，无粘性流体的应力张量是各向同性的，它的形式为： ijij p P为压力 RTp 理想气体状态方程 对于实际气体或液体 0),( Tpf 对于不可压缩流体 0DtD 连续介质力学基础 本构方程 无粘性流体静力学方程 由平衡方程 0 i j ij f x 如果令 x3垂直向下为正，就有 f1=f2=0, f3= g g x p x p x p 3 2 1 0 0 如果流体作拟刚体运动（变形率 =0），上式修改为包含加速度项 Dt Dvf x i i j ij 连续介质力学基础 本构方程 牛顿流体 牛顿流体是一种粘性流体，其剪应力和变形成正比， 应力 应变关系为： kli j k lijij VDp 若流体是各向同性的 )( jkiljlikkliji j k lD ijijkkijij VVp 2 kkkk Vp )23(3 ijkkijijij VVp 322 0kkV若： ijijij Vp 2 连续介质力学基础 本构方程 胡克弹性固体 kli j k lij C jiij 由于 j i k li j k l CC jiij 由于 kli j k lklijlki j k lij CCC )(2 1 i j l ki j k l CC )6,5,4,3,2,1,( MK C MKMK 连续介质力学基础 本构方程 胡克弹性固体 , 6 )1 , 2 ,( iddWdA ii jiji C 由于 ijij dCdW 由于应变势能与加载过程无关： i i dWdW 沿整个加载变形过程积分 dW，应变势能密度为： jiijCW 2 1 连续介质力学基础 本构方程 胡克弹性固体 ij ji CW 2 对应变势能密度取偏导数： ji ij CW 2 同样有： jiij CC 连续介质力学基础 本构方程 胡克弹性固体 jiijCW 2 1 6226522542243223 2 222 61165115411431132112 2 111 2 1 2 1 CCCCC CCCCCCW 2 666 6556 2 555 64465445 2 444 633653354334 2 333 2 1 2 1 2 1 2 1 C CC CCC CCCC 共 21个独立的弹性常数 连续介质力学基础 本构方程 胡克弹性固体 1、具有一个对称平面 y z x o 44 )(2 1) ( 2 1 z v y w z v y w 55 )(2 1) (2 1 x w z u x w z u 05646533425241514 CCCCCCCC 共 13个独立的弹性常数 连续介质力学基础 本构方程 胡克弹性固体 2、正交各向异性 若还关于 y轴对称 44 )(2 1) (2 1 z v y w z v y w 66 )(2 1) ( 2 1 y u x v y u x v 05645633426241614 CCCCCCCC 共 9个独立的弹性常数 具有两个正交弹性对称面的材料一定对于和 这两个平面垂直的的第三个平面具有对称性 连续介质力学基础 本构方程 胡克弹性固体 3、横观各向同性 1 2 1 2 0, 21 ，其余为 2 1211 2 11 2 12 2 11 )(2 1 2 1 CCCCCW 0,6 其余为 266 2 1 CW )(21 121166 CCC 554423132211 , CCCCCC 共 5个独立的弹性常数 连续介质力学基础 本构方程 胡克弹性固体 4、各向同性 332211 CCC 231312 CCC )(21 1211665544 CCCCC 共 2个独立的弹性常数 连续介质力学基础 本构方程 胡克弹性固体 kli j k lij eC ijkkij ee 2 （ 和 称为拉梅常数） 122112 311331 233223 3333 2222 1111 2 2 2 2 2 2 e e e e e e zzyyxxkk （用应变表示应力的本构方程） 连续介质力学基础 本构方程 胡克弹性固体 ijkkijij vvEe )1(1 122112 311331 233223 11223333 33112222 33221111 1 1 1 )( 1 )( 1 )( 1 E v ee E v ee E v ee v E e v E e v E e 连续介质力学基础 本构方程 胡克弹性固体 胡克定律的其他形式 aaaa K 3 ijij G 2 ijaaijij 3 1 ijaaijij 3 1 是一点处的平均应力aa31 是单位体积的变化aa K称为材料的体积模量 )(2, )23( GG GGE )1(2,)21)(1( vEGvv Ev 连续介质力学基础 各向同性 各向同性概念 力学性质与方向无关的材料称为各向同性材料 各向同性张量：是一种在任意笛卡尔直角坐标系中其 分量值不随坐标的正交转化而变化的张量。 i j k li j k l CC 材料是各向同性的，其本构在坐标的正交变换中保持不变 kli j k lij eC kli j k lij eC 连续介质力学基础 各向同性 零阶、 1阶各向同性张量 所有标量都是各向同性的。但不存在一阶各向同性张量。 绕 轴旋转 180度情况 1x 33 22 11 xx xx xx 100 010 001 ij 332211 , AAAAAA ii AA 但各向同性要求 032 AA因此， 同样过程，绕 x2轴旋转 1800，可以得到 A1=0 连续介质力学基础 各向同性 2阶各向同性张量 每一个 2阶各向同性张量都可一化为 的形式 ijp 绕 轴旋转 180度情况 1x 33 22 11 xx xx xx 100 010 001 ij 122112 BBB mnnm 1212 BB 但各向同性要求 012 B因此， 所以， 2阶各向同性张量必须是对角张量 连续介质力学基础 各向同性 绕 轴无限小旋转情况 3x iijijj xdx )( 3 100 01 01 )()( 3 d d d ijijij )()()( 23333 dOBBdBBddB injnmjimijmnjnjnimimij 033 injnmjim BBd ，必须有：对于任意的 01,1 12 Bji 时，可以得出：取 22112,1 BBji 时，可以得出：取 2阶各向同性张量 连续介质力学基础 各向同性 3阶各向同性张量 绕 轴无限小旋转情况 )()( 2 dOuuudu ijps k psi n ks j nsm j ks i msijk m n ps k pskps j nsjns i msimijk udddu )()( 0 ijps k psi n ks j nsm j ks i ms uuu ik i jkijj xdx )( 连续介质力学基础 各向同性 3阶各向同性张量 0 ijps k psi n ks j nsm j ks i ms uuu 取 i=j=1，则有： 取 k=2，有： 0113311221111123132213312 uuuuuuu skssksskskkkk 0 0 1 1 3 1 3 23 1 2 1 1 11 2 22 1 2 u uu uuu 取 k=3，有： 0 0 1 1 2 2 3 12 1 3 1 1 11 3 33 1 3 u uu uuu 连续介质力学基础 各向同性 由于 为各向同性张量 4阶各向同性张量 s k ls i jjkiljlik jkiljlikklij , ij )()( jkiljlikjkiljlikkliji j k lu 证明任何 4阶各向同性张量可表示成如下形式： 如果具有对称性： ijlki j k lj i k li j k l uuuu , )( jkiljlikkliji j k lu 连续介质力学基础 各向同性 4阶各向同性张量 指标 1， 2， 3置换不会影响各向同性张量的分量值： 3 1 1 32 3 3 21 2 2 1 3 1 3 12 3 2 31 2 1 2 3 3 2 22 2 3 31 1 2 2 3 3 3 32 2 2 21 1 1 1 uuu uuu uuu uuu 连续介质力学基础 各向同性 4阶各向同性张量 绕 轴旋转 180度情况 100 010 001 ij 1x 33 22 11 xx xx xx m n p qlqkpjnimi j k l uu 0221312231222 uuu 1221121211221111 , , , uuuu到四个：数值上不同的分量减少 连续介质力学基础 各向同性 4阶各向同性张量 绕 轴无限小旋转情况 3x iijijj xdx )( 3 )()( 23333 dOuuuuduu p q r iisp q i sirp i r siqi q r sipp q r sp q r s 03333 p q r iisp q i sirp i r siqi q r sip uuuu (a) pqrs四个全相等 (b) pqrs三个相等 (c) pqrs两个相等而另外两个不等 (d) pqrs两两相等 连续介质力学基础 各向同性 4阶各向同性张量 (a) pqrs四个全相等 03333 p q r iisp q i sirp i r siqi q r sip uuuu 所有项均为零 (b) pqrs三个相等 01111112212122112 uuuu (c) pqrs两个相等而另外两个不等 (d) pqrs两两相等 311323321221 313123231212 332222331122 333322221111 uuu uuu uuu uuu 0221312231222 uuu 连续介质力学基础 各向同性 4阶各向同性张量 设： 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 u u u 01111112212122112 uuuu 21 1 1 1 u 如果 ，则对应于 i=j， k=l情况 0,0 klijijklu 如果 ，则对应于 情况 0,0 )( jkiljliki j k lu jikjli jiljki , , 如果 ，则对应于 情况 jikjli jiljki , ,0,0 )( jkiljliki j k lu 连续介质力学基础 各向同性 各向同性张量材料 kli j k lij eC 若弹性固体是各向同性的，其本构方程为： jiij 由于 jiklijkl CC jiij 由于 ijlkijkl CC )( jkiljlikkliji j k lC kli j k lij eC ijkkij ee 2 kli j k lijij VDp )( jkiljlikkliji j k lD ijijkkijij VVp 2 对于各向同性粘性流体 连续介质力学基础 各向同性 应力和应变主轴的重合 ijkkijij ee 2 ijijkkijij VVp 2 0)( jjiji v 应