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2023届黑龙江省哈尔滨市校高三下学期开学检测数学试题一、单选题1定义集合运算：，设集合，则集合的所有元素之和为A1B0CD【答案】B【分析】由xA，yB得到，x有3种可能性，y有2种可能性，故xy共有6种可能性，然后再将重复的排除掉一次，便可得到AB中的元素，进而相加可得答案【详解】解因为，所以的可能取值为-1,0,1同理，的可能取值为所以的所有可能取值为（重复的只列举一次）：所以所有元素之和为0，故选B【点睛】“新定义”问题的关键是要读懂新定义，本题以集合为载体，定义了一个新的集合运算，但其本质还是考查集合中元素之间的关系及其元素的性质2若虚数是关于的方程(，)的一个根，则（）A29BCD3【答案】B【分析】先把代入方程，然后根据复数相等的条件可求，再根据模长公式即可求解.【详解】解：由题意可得，所以，故，则.故选：B.【点睛】本题考查实系数方程的复数根，考查复数的模，解决实系数方程的复数根的方法是复数根代入方程利用复数相等的定义求解3某地气象局统计，当地某日刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则该地在刮风天里，下雨的概率为（）ABCD【答案】B【分析】利用条件概率公式求解【详解】解：记事件A为“当地某日刮风”，事件B为“当地某日下雨”，则由题意可得,所以,所以该地在刮风天里，下雨的概率为，故选：B4是棱长为2的正方体，分别为的中点，过的平面截正方体的截面面积为（）ABCD【答案】C【分析】首先根据条件画出截面，判断截面是边长为的正六边形，从而计算截面的面积.【详解】如图，分析正方体结构可以得知,该截面为一个边长为的正六边形，此正六边形分成6个全等的三角形，所以其面积为.故选：C.5一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，24层为八角鼓腹锥顶状，56层呈葫芦状，712层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，108则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（）一百零八塔全景A第5行，呈葫芦状B第6行，呈葫芦状C第7行，呈宝瓶状D第8行，呈宝瓶状【答案】C【分析】根据题意算出佛塔依山势自上而下前6行的总数，然后确定编号为26的佛塔所在层数和塔体形状即可.【详解】因为，故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶状故选：C6一名同学有2本不同的数学书，3本不同的物理书，现要将这些书放在一个单层的书架上如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则不同放法的种数为（）A24B12C120D60【答案】A【分析】根据题意，分3步分析：先将2本不同的数学书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个整体，最后将两个整体全排列，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意，要求不使同类的书分开，即同类的书相邻，先将2本不同的数学书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个整体，最后将两个整体全排列，有种不同放法，故选：A7为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【答案】A【分析】通过辅助角公式化简，利用三角函数平移判断即可【详解】故选：A.8中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=ABCD【答案】C【详解】试题分析：由余弦定理得：，因为，所以，因为，所以，因为，所以，故选C.【解析】余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.二、多选题9设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A是偶函数B是奇函数C是奇函数D是偶函数【答案】CD【分析】根据函数奇偶性的定义逐一判断即可.【详解】因为函数的定义域都为R，所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，因为是奇函数，是偶函数，所以，对于A，因为，所以函数是奇函数，故A错误；对于B，因为，所以函数是偶函数，故B错误；对于C，因为，所以函数是奇函数，故C正确；对于D，因为，所以函数是偶函数，故D正确.故选：CD.10如图，在正方体中，点M，N分别在棱AB和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（）AB平面C线段BN长度的最大值为D三棱锥体积不变【答案】ACD【分析】以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立坐标系，设出动点M，N的坐标，利用空间向量运算判断选项A，B，C，利用等体积法的思想判断选项D即可得解.【详解】在正方体中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，设M(3,y,0)，N(3,3,z)，而则，对于A选项：，则，A正确；对于B选项：，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；对于C选项：，则线段BN长度，当且仅当时取“=”，C正确；对于D选项：不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而，三棱锥体积为定值，即D正确.故选：ACD11已知曲线C的方程为，点P是C上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N，则的面积可能为（）A73B76C68D72【答案】ABD【解析】设，求出，求出的坐标和的最小值，得到的面积的最小值，即得解.【详解】设，则设，则，直线的方程为，则点M的坐标为，直线的方程为，则点N的坐标为所以，当且仅当，即时等号成立从而面积的最小值为.故选：ABD【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性、直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式. （5）利用数形结合分析解答.12若，则下列结论中正确的有（）ABCD【答案】AD【分析】直接根据利用二项式定理将其展开，再结合二项式系数的性质对四个选项依次分析即可求解【详解】，对于A，令，则，故A正确.对于B，于是，而，故B错误.对于C，令，则，于是，故C错误.对于D，令，则.因为，所以，故D正确.故选：AD.三、填空题13设函数，则函数的递减区间是_.【答案】【解析】先得出函数的解析式，再运用二次函数的单调性可得答案.【详解】因为，所以，所以函数的递减区间是.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.14已知不等式的解集是，则不等式 的解集是_.【答案】【分析】根据给定的解集求出a，b的值，再代入解不等式即可作答.【详解】依题意，是方程的两个根，且，于是得，解得：，因此，不等式为：，解得，所以不等式 的解集是.故答案为：15已知向量，若，则_.【答案】【解析】根据向量垂直求出m，由模的定义求解即可.【详解】因为,，所以，解得，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，垂直的数量积表示，模的定义，属于中档题.16早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义一中同长也已知O为坐标原点，若，的“长”分别为1，r，且两圆相切，则_【答案】1或3【分析】根据圆的定义，得出和的圆心和半径，再由两圆相切分为内切和外切两种情况，分别得出两半径间的关系，求解即可【详解】由题意，O为坐标原点，根据圆的定义可知，的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为r，因为两圆相切，当两圆外切时，则有，即，当两圆内切时，则有，即，或（舍）所以或3，故答案为：1或3四、解答题17在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足，且(1)若bc，求A的值；(2)求B的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，结合，得到，再由bc求解；（2）由，利用余弦定理得到 ，再利用余弦定理，结合基本不等式求解.【详解】（1）解：因为，所以，即，所以，因为bc，所以，因为，所以（2）因为，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时，即时，取等号因为，所以B的最大值为18已知数列中，.（1）求证：数列是常数数列；（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为.【分析】（1）将递推关系式变形为即可证明；（2）先求出数列的通项公式，再分奇偶讨论求，然后解不等式即可.【详解】（1）由得：，即，即有数列是常数数列；（2）由（1）知：即，当为偶数时，显然无解；当为奇数时，令，解得：，结合为奇数得：的最小值为所以的最小值为【点睛】方法点睛：一般根据递推关系式要证明数列为什么数列，就根据递推关系式同构成要证明的数列的结构即可.对于含有调节数列的结构在求和时一般要分奇偶讨论.19从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率【答案】(1)见解析；（2）.【详解】试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和.试题解析：（）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，.所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.（）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.【解析】离散型随机变量概率分布列及数学期望【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.20如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，底面，E是的中点（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求a的值；（3）在（2）的条件下求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2） 2（3）【分析】（1）根据平面有，利用勾股定理可证明，故平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）以点为原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量方法，由二面角的余弦值为建立方程求得的值.（3）在（2）条件下利用向量求得和平面所成角的正弦值.【详解】（1） 平面平面因为,所以取的中点为，则可得,则所以,所以,所以,又，所以平面.因为平面，所以平面平面（2）以点为原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则.设，则设为面法向量则即，取，设为面的法向量，则，即，取，则依题意，则（3）由（2）可得设直线与平面所成角为，则即直线与平面所成角的正弦值为【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3、求：求出所需平面的法向量4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.21已知椭圆的方程为，是椭圆上的一点，且在第一象限内，过且斜率等于-1的直线与椭圆交于另一点，点关于原点的对称点为（1）证明：直线的斜率为定值；（2）求面积的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用点差法即可求证直线BD的斜率为定值；（2）设直线BD的方程，由SABD2SOBD，将直线BD的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及基本不等式即可求得ABD面积的最大值【详解】（1）设，则，直线的斜率，由，两式相减，由直线，所以，直线的斜率为定值.（2）连结，关于原点对称，所以，由（1）可知的斜率，设方程为.在第三象限，且，到的距离，由，整理得：， ，.当时，取得最大值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，考查转化思想.22已知函数，.（1）求函数的单调递减区间；（2）若存在，当时，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为；（2）.【分析】（1）求出，然后解出不等式即可；（2）首先可得当时，然后分、三种情况讨论，当时，求出的单调性即可.【详解】（1）函数的定义域为，令，解得.所以函数的单调递减区间为.（2）由（1）可知，当时，所以当时，.即不存在满足题意；当时，由，得，对于，有，所以不存在满足题意；当时，令则，令，得，当时，所以在内单调递增，此时，即，所以存在满足题意综上，实数的取值范围是【点睛】方法点睛：对于函数的不等式问题，常利用导数研究其单调性解决.
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