2023届湖北省新高考高三年级下册学期2月质量检测数学试题【含答案】

2023届湖北省新高考高三下学期2月质量检测数学试题一、单选题1设集合，则（）ABCD【答案】C【分析】根据二次根式的性质，结合正弦函数的值域、集合交集的定义进行求解即可.【详解】由，因为，所以，即，所以.故选：C2已知复数，则（）A1BC2D【答案】D【分析】根据复数的乘除法则求出z的实部和虚部，再求出共轭复数.【详解】 ， ；故选：D.3如图是近十年来全国城镇人口乡村人口随年份变化的折线图（数据来自国家统计局）.根据该折线图判断近十年的情况，下列说法错误的是（）A城镇人口与年份成正相关B乡村人口与年份的样本相关系数接近1C城镇人口逐年增长量大致相同D可预测乡村人口仍呈下降趋势【答案】B【分析】根据折线图可分析城镇人口与年份的关系可判断A，根据相关系数的概念可判断B，根据折线图趋势可判断C,D.【详解】对于A选项，由折线图可知，城镇人口与年份成正相关，A正确；对于B选项，因为乡村人口与年份成负线性相关关系，且线性相关性很强，所以接近B错误；对于C选项，城镇人口与年份成正相关，且线性相关性很强，设线性经验回归方程为，当时，故城镇人口逐年增长量大致相同，C正确；对于D选项，乡村人口与年份成负线性相关关系，可预测乡村人口仍呈现下降趋势，D正确.故选:B.4已知是单位向量，且的夹角为，则的最小值为（）ABC1D【答案】B【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合配方法进行求解即可.【详解】，当时，.故选：B.5已知是偶函数且在上单调递增，则满足的一个值的区间可以是（）ABCD【答案】B【分析】根据偶函数的单调性的性质，结合余弦二倍角公式、余弦函数的性质进行求解即可.【详解】因为是偶函数，故，由，得，由函数在上单调递增，得，则，即，所以，即，当时，当时，当时，当时，所以不合题意，选项B符合.故选：B6已知点，若在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】设，由，化简可得，点既在圆上，也在圆上，所以圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系求解即可.【详解】设，由，得，整理得，即；记圆，则点既在圆上，也在圆上，所以圆与圆有公共点，所以，即，解得.故选：C.7在正四面体中，分别为的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）ABCD【答案】D【分析】方法一：取中点，连接，利用余弦定理求，再利用余弦定理可得求，可求结果；方法二：以为基底，利用向量法求，可求结果.【详解】法一：取中点，连接，则，所以或其补角就是异面直线所成的角. 则设，.故选：D.法二：不妨设正四面体的棱长为2，以为基底，则，则，又，所以，所以所成角的余弦值为.故选：D.8已知，则（）ABCD【答案】A【分析】通过构造函数，利用导数研究单调性的方法比较大小.【详解】，令，则，设，有，所以在上单调递增，即在上单调递增，从而，所以在上单调递增，于是，即；，令，则，所以在上单调递增，于是，即，所以.故选：A.【点睛】方法点睛：构造函数比较大小主要方法有：1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小关系。2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进面找到要比较的数的大小关系。有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围。二、多选题9已知随机变量，若，则（）ABCD【答案】AC【分析】根据正态分布概率曲线的对称性，分别求出选项中的概率即可.【详解】解：由题意可知，则选项A正确；，则选项B错误；，则选项C正确；，则选项D错误.故选：AC10已知，且，则（）A的最小值为4B的最小值为C的最大值为D的最小值为【答案】ACD【分析】结合已知等式，运用基本不等式、配方法逐一判断即可.【详解】，当且仅当，即时取等号，则正确；，即，当且仅当，即时取等号，则B错误；，当，即时，则C正确；，当且仅当时取等号，则D正确.故选：ACD11已知ABCDA1B1C1D1为正四棱柱，底面边长为2，高为4，E，F分别为AA1，BB1的中点则下列说法正确的是（）A直线AD1与平面DCC1D1所成角为B平面AB1D1平面BDC1C直线EF被正四棱柱的外接球截得的弦长为D以D为球心，为半径的球与侧面BCC1B1的交线长为【答案】BCD【分析】对A选项找到即为线面夹角，即可判断；对B选项证明，则得到平面，同理得到平面，利用面面平行的判定定理则可证明；对C选项得到外接球即为正四棱柱外接球，再利用垂径定理得到的长；对D选项得到轨迹为圆，计算弧长即可.【详解】A由正四棱柱的结构特征可知，则为直线与平面所成角，直线与平面所成角不等于，故A错误；B由正四棱柱的结构特征可得，则四边形为平行四边形，可得，平面，平面，平面，同理可证平面，又，且平面，平面平面，故B正确；C三棱锥的外接球的表面积，即正四柱的外接球的表面积，外接球的半径为，如下图所示，显然球心距离直线的距离为1，弦长DD到侧面为2，易得交线轨迹与圆相关，设为球与侧面交线轨迹的半径，立体图如下图所示球与侧面的交线轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，平面图如下图所示故交线长为故选：BCD【点睛】本题为立体几何综合题，考察了线面角，面面平行的判定，空间几何体的表面积与体积等知识，需要有一定的空间想象能力，对于一些常见的外接球模型要记住.12过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，若直线的斜率之积为（为常数），则点的轨迹可能是（）A两条直线B圆的一部分C椭圆的一部分D双曲线的一部分【答案】BCD【分析】设出切线方程且斜率为，联立椭圆化简使判别式等于零得到关于等式，根据判别式及二次方程和韦达定理可得的范围及，根据的不同取值分别判断关于方程所对应的轨迹即可.【详解】解：依题意可知直线和直线的斜率存在，设过的椭圆的切线方程为，联立化简可得：，取，即，且有，且上式两根分别为，则上式的判别式，整理得，符合题意，所以，若，则，即点的轨迹是直线（两条）的一部分；若，则，即点的轨迹是直线（两条）的一部分；若且，整理可得，当时，12，轨迹方程可化为，即点的轨迹是圆的一部分；当或时，且，由于，且，所以点的轨迹是椭圆的一部分；当时，表示焦点在轴上的双曲线，由于，所以点的轨迹是双曲线的一部分.故选：BCD【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于求轨迹方程的思路有：(1)已知轨迹，建立合适的轨迹方程，用待定系数求解；(2)未知轨迹，求哪点轨迹设哪点坐标为，根据题意建立关于的等式即可；(3)轨迹不好判断，等式关系不好找时，找要求的轨迹点与题中的定点或定直线之间的定量关系，根据转化找出轨迹特点，建立轨迹方程，用待定系数求解.三、填空题13五名同学站成一排合影，若站在两端，和相邻，则不同的站队方式共有_种.（用数字作答）【答案】24【分析】相邻问题捆绑法，特殊元素优先排，用分步计数完成.【详解】C，相邻，将排在一起并看成一个整体，有2种方法，站两端，有2种方法，与，进行3个元素的全排列，有种方法，故不同的站队方式共有种.故答案为：2414若为锐角，且，则_.【答案】#【分析】根据同角的三角函数关系式，结合诱导公式、二倍角的正弦公式进行求解即可.【详解】因为，又为锐角，所以，所以，故，故答案为：15已知直线和直线是抛物线上一点，则到直线和的距离之和的最小值是_.【答案】【分析】由直线是的准线，得到直线的距离等于，过作于，到直线和直线的距离之和为，当且仅当三点共线时取得最小值利用点到直线的距离公式求解即可【详解】设的焦点为，由直线是的准线，得到直线的距离等于，过作于，如图所示，则到直线和直线的距离之和为.过作于，交于点，因为（当且仅当三点共线时等号成立），所以点到和到的距离之和的最小值就是点到的距离，即所求最小值为.故答案为：16已知函数在区间上有零点，则的最小值为_.【答案】【分析】根据函数零点性质，结合点到直线距离公式，通过构造新函数，利用导数求出最值即可.【详解】设为在上的一个零点，则，所以在直线上，又为坐标原点，易知.令，则，所以在上单调递增，所以.所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点睛：根据点到直线距离公式，结合两点间距离公式，再构造函数求最值是解题的关键.四、解答题17在锐角中，.(1)求；(2)若的面积为，点在线段上，且，求的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据余弦、正弦二倍角公式，结合两角和的正弦公式进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理和基本不等式进行求解即可.【详解】（1）由题意，得.又，所以.所以，即，即，即，由，得，解得.因为为锐角三角形，所以.（2）设内角的对边分别为，则的面积，解得；由，得；在中，由余弦定理得，所以，则.当且仅当，即时，等号成立.此时也是锐角，满足题意.所以的最小值为.18已知等比数列的各项均为正数，的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)设，记的前项和为，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】(1) 设数列的公比为，由，可得，再由，可得，即可得数列的通项公式；(2)由题意可得，从而可得，又由，即可得.【详解】（1）解：设数列的公比为，则，因为是各项均为正数的等比数列，所以，由，得，解得，所以.（2）证明：由（1）知，.因为，所以，即.192022年11月21日第22届世界杯在卡塔尔开幕，是历史上首次在中东国家举办，也是第二次在亚洲国家举办的世界杯足球赛.某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从男女同学中各随机抽取100人，其中喜欢足球的学生占总数的，女同学中不喜欢足球的人数是男同学中不喜欢足球人数的3倍.(1)完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验推断喜欢足球与性别是否有关联？喜欢不喜欢总计男同学女同学总计(2)对200人中不喜欢足球的同学采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，用表示随机抽取的3人中女同学的人数，求的分布列及数学期望.附：【答案】(1)列联表答案见解析，喜欢足球与性别有关联；(2)分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）根据题中数据完成列联表，结合公式进行求解运算判断即可；（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型计算公式、数学期望公式进行求解即可.【详解】（1）男女同学共200人，喜欢足球的学生占总数的，即160人，有40人不喜欢足球，其中女同学是男同学的3倍，所以女同学不喜欢足球的30人，男同学不喜欢足球的10人，所以男同学喜欢足球的90人，女同学喜欢足球的70人，可得列联表.喜欢不喜欢总计男同学9010100女同学7030100总计16040200零假设为：喜欢足球与性别无关联.根据表中数据，计算得到.根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即喜欢足球与性别有关联；（2）按分层抽样，设女同学人，男同学人，则，解得，即从不喜欢足球的同学中抽取9名女同学，3名男同学.的可能取值为，则，所以随机变量的分布列如下表所示：0123故.20如图1，在菱形中，为的中点，.现将沿翻折至，并连接，得到如图2所示的四棱锥，且.(1)证明：；(2)在棱上是否存在点，使得与平面所成的角的正弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）利用余弦定理求边长，勾股定理证明垂直，得，证得平面，从而.（2）建立空间直角坐标系，借助空间向量，利用已知线面角的正弦，求得的值.【详解】（1）证明：在中，由，得，所以，即在空间中.又，所以.连接，在中，；在中，由，得，所以.又，平面，所以平面.又平面，所以.（2）由（1）可知两两垂直，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量令，则.假设棱上存在点，使得与平面所成的角的正弦值为，设，则，所以，整理得，解得.又，所以，故.21已知双曲线的焦距为，直线与交于两点，点是上异于两点的动点，且直线的斜率之积为.(1)求的方程；(2)已知是直线上的动点，过点作两条倾斜角互补的直线分别交于点和点，若，求实数的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出斜率之积，根据焦距及的关系可得方程；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理和弦长公式，分别求出目标长度，可得答案.【详解】（1）由题意，设，所以.由点在双曲线上，得，两式相减，得，即.由题意，得.设的焦距为，则,解得所以的方程为.（2）由题意设，直线，联立化简得.则，判别式，设，则，易知，所以.由题意，得直线，同理可得.所以，可得.22已知函数.(1)当时，恒成立，求的最小值；(2)若关于的方程的两个根分别为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）将移项整理，得到，设，考察函数的值域即可；（2）先判断出，然后辅助证明两个不等式，即可.【详解】（1）设，若恒成立，则恒成立，只需且.因为，所以当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，也是的最大值点，即；又时，所以，所以且，当且仅当且时，.（2）由（1）知，当时，且；由，得，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，也是的最大值点，即，又时，时，.所以当方程有两个根时，必满足.曲线在点处的切线方程为，下面证明：.设，则，所以当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，也是的最大值点，即，所以，即（当且仅当时取等号），所以（故等号取不到），解得；由，当时，所以（故等号取不到），解得，得.曲线过点和点的割线方程为，下面证明.设，则所以当时，；当时，所以在上单调递增，；在上单调递减，所以当时，即）（当且仅当或时取等号），由于，所以，解得；由（1）知，当时，（当且仅当时取等号），由于所以，解得，得.由和，得.【点睛】关键点睛：第二问的难点在于辅助构造出两个函数不等式，这样再利用函数单调性，得到相关不等式，然后进行估计的范围.