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2023届江西省宜春市丰城高二下学期（重点28、29班）开学质量检测数学试题一、单选题1设集合，若，则（）ABCD【答案】A【分析】根据补集性质,转化再求补集即可.【详解】因为,所以,又因为所以.故选: .2若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（）AB0C1D3【答案】B【分析】转化为最值问题求解，【详解】由题意得在上有解，当时，取最小值，则，故可取的最小整数值为0，故选：B3若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A或BCD或【答案】C【分析】先解二次不等式求得的等价条件，再利用充分不必要条件的性质与数轴法即可求得的取值范围.【详解】因为，所以，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，则，故，所以实数的取值范围为故选：C4已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【分析】分与两种情况，结合函数单调性，奇偶性及，解不等式，求出解集.【详解】偶函数在上单调递减，则在单调递增，因为，则当时，即，故或，解得：或，或与取交集得：，则当时，即故，解得：，与取交集，解集为空集，综上：不等式的解集为故选：D5定义：若函数的图象上有不同的两点AB，且AB两点关于原点对称，则称点对是函数的一对“镜像”，点对与看作同一对“镜像点对”，已知函数，则该函数的“镜像点对”有（）对.A1B2C3D4【答案】B【分析】作出函数的图像，再作出关于原点的对称图像，利用数形结合即可求解.【详解】函数的图像如图所示，易知函数的“镜像点对”数即函数与函数的图像的交点个数，由图像可得：函数的“镜像点对”有2对.故选：B.6已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的为（）A是偶函数BC的图象关于对称D【答案】D【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D【详解】为奇函数，为偶函数，的图象关于点对称且关于直线对称，所以是周期函数，4是它的一个周期， ，B正确；，是偶函数，A正确；因此的图象也关于点对称，C正确；对任意的，且，都有，即时，所以在是单调递增，D错故选：D【点睛】结论点睛：（1）的图象关于点对称，也关于点对称，则是周期函数，是的一个周期；（2）的图象关于直线对称，也关于直线对称，则是周期函数，是的一个周期；（1）的图象关于点对称，也关于直线对称，则是周期函数，是的一个周期7已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为（）ABC8D63【答案】B【分析】依题意知，该椭圆的焦点，点M在以为圆心，1为半径的圆上，当PF最长时，切线长PM最大，作出图形，即可得到答案【详解】因为，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，又因为，所以，PM为圆的切线，所以当PF最长时，切线长PM最大当点P与椭圆的左顶点重合时，最大，最大值为此时的最大值为故选：B8已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则正实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】由奇偶性求得，化简不等式，并用分离参数法变形为，设，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得的范围【详解】解：已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，则，又，则，由可得，则不等式在上恒成立，转化为：在上恒成立，因为，所以，即，令，则，则，在上是增函数，又在时是增函数，所以，则，又在上恒成立，则则正实数的取值范围是.故选：D二、多选题9下列结论中，所有正确的结论是（）A若，则B若，则函数的最大值为1C若，则的最小值为D若，则的最大值为1【答案】ACD【分析】利用不等式的性质即可判断A；采用配凑法并利用基本不等式即可判断B；将已知化为，进而得出并利用基本不等式即可判断C；直接运用基本不等式即可判断D【详解】对于A：cd0，则cd0，又ab0，则acbd0，acbd，故A正确；对于B，若，得，则函数，当且仅当时等号成立，故B错误；对于C，若，则，所以，当且仅当且，即时等号成立，故C正确；对于D，因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确，故选：ACD10若函数，则下列说法正确的是（）A若，则为偶函数B若的定义域为，则C若，则的单调增区间为D若在上单调递减，则【答案】AB【分析】对于A选项：根据偶函数的定义即可判断；对于B选项：根据二次函数在上恒成立的条件即可判断；对于C选项：求出的定义域，由单调区间和定义域的关系即可判断；对于D选项：根据函数的定义域和复合函数的单调性即可判断.【详解】对于A选项：若，则，其定义域为，又，即为偶函数，所以A选项正确；对于B选项：若的定义域为，则在上恒成立，即，解得：，所以B选项正确；对于C选项：若，则，则，解得：或，即的定义域为，因为，单调区间要以定义域为前提，所以C选项错误；对于D选项：若在上单调递减，则，且，解得：，所以D选项错误；故选：AB.11设正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（）AB与平面所成的角为45C两条平行直线，的距离为1D点到平面的距离为【答案】ACD【分析】利用线面垂直的性质即可判断选项；利用线面的夹角即可判断选项；根据线面垂直和线线平行即可判断选项；利用等体积法即可判断选项.【详解】对于选项，因为为正方体，所以平面，因为平面，所以，又因为为正方形，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，故选项正确；对于选项，因为为正方体，所以平面，则即为直线与平面所成的角，因为正方体的棱长为，所以，所以在中，所以，也即直线与平面所成的角不等于，故选项错误；对于选项，因为且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，则.因为为正方体，所以平面，平面，所以，同理，所以即为两平行线的距离，因为，故选项正确；对于选项，因为是棱长为1的正方体，所以是边长为的正三角形，设点到平面的距离为，由体积相等可得：，也即，所以，则，故选项正确，故选：.12已知函数，为的导函数，则（）A方程只有一个实根B的最小值为C函数的值域为D函数为偶函数【答案】BC【分析】由零点存在定理可知方程不止一个实根；利用的正负，求出的单调性，进而求得的最小值；利用分离常数法，求得，根据指数函数及不等式的性质即可求出函数的值域；，而不符合偶函数的定义.【详解】解：对于A，方程，即，显然是方程的一个根，令，由于，根据零点存在定理可知，函数在上有一个零点，因此方程不只有一个实根，A选项错误；对于B，则，令，即，解得，当时，所以在上单调递减，当时，所以在上单调递增，因此的最小值为，B选项正确；对于C，则，所以函数的值域为，C选项正确；对于D，而，所以函数不是偶函数，D选项错误；故选：BC.三、填空题13若函数的定义域为，则函数的定义域为_.【答案】【分析】利用抽象函数定义域的求法及指数函数的单调性求解即可.【详解】对于，因为，所以由的单调性得，即，所以对于，有，即，由的单调性得，解得，所以的定义域为.故答案为：.14已知函数，存在实数满足，则的取值范围是_.【答案】【分析】利用数形结合思想，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】存在，满足，由图像可知，即，的取值范围是，故答案为：【点睛】关键点睛：利用数形结合思想是解题的关键.15已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且到双曲线渐近线的距离为，则抛物线的方程为_.【答案】【分析】根据题意设抛物线方程为,由于双曲线渐近线方程为，利用点到直线的距离公式求得的值，即可得抛物线的方程.【详解】解：已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，则设抛物线方程为：,则抛物线的焦点坐标为，又到双曲线渐近线的距离为，双曲线中，所以，则渐近线方程为：所以，解得或（舍），则抛物线的方程为.故答案为：.16已知球的表面积为，点A、在球的表面上，且，则球心到平面的距离为_.【答案】【分析】球心到平面的距离即为球心到的外心的距离，由余弦定理求得BC，再由正弦定理求得外接圆半径，即可最后由勾股定理的所求距离.【详解】球心在平面的投影为，则球心到平面的距离为，球的表面积为，则球的半径满足，解得，即，则，即为的外心，由余弦定理得，由正弦定理得，外接圆半径，故，故球心到平面的距离为.故答案为：四、解答题17命题：关于的方程有两个相异负根命题：关于的不等式对恒成立(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）用二次函数的性质求命题为真命题时实数的取值范围；（2）先确定命题成立时实数的取值范围，再分类讨论求解得结果.【详解】（1）命题：关于的方程有两个相异负根则，解得：.若命题为真命题，则实数的取值范围为.（2）命题：关于的不等式对恒成立,，解得：.若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，若真假，解得：，若真假，解得：，综上：实数的取值范围为：.18设函数(1)讨论的单调性；(2)当时，若在上恒成立，求a的取值范围【答案】(1)分类讨论，答案见解析.(2)【分析】（1）首先求出函数的导数，对a讨论，根据的正负即可求出函数单调性；（2）利用参数分离将在上恒成立，转化为在上恒成立问题，设，求出在上的最大值，即可得到a的取值范围.【详解】（1）已知，则函数的定义域为，且，当时，在单调递增；当，且时，此时在上是增函数；时，此时在上是减函数综上所述，当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）当时，在上恒成立，即在上恒成立，设，则，当时，为增函数；当时，为减函数，则，a的取值范围为.19已知函数，若对任意的x，y都有(1)求的解析式；(2)设，（）判断并证明的奇偶性；（）解不等式：【答案】(1)；(2).【分析】（1）令，解得，结合，可求出的值，即可求出的解析式；（2）（）由奇函数的定义即可证明为奇函数；（）由题意可得，则，解不等式结合对数函数的定义域即可得出答案.【详解】（1）因为对任意的x，y都有所以令，则，解得：，则，解得：，故.（2）（），的定义域为，关于原点对称，所以为奇函数.（）因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，即，又因为为奇函数，所以，所以，则，所以，则，解得：又因为，解得：.综上：.20如图，在三棱锥中，为的中点，. (1)证明：平面平面；(2)若是边长为的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可得；利用线面垂直判定可证得平面，由面面垂直的判定可得结论；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用二面角的向量求法可构造方程求得的值，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1），为中点，又，平面，平面，平面，平面平面.（2）以为坐标原点，正方向为轴，过作垂直于的直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量，则，令，解得：，；轴平面，平面的一个法向量；二面角的大小为，解得：；，.21已知椭圆的离心率为，以原点为圆心椭圆的短半轴长为半径的与直线相切.(1)求椭圆的方程；(2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求实数的值及的面积.【答案】(1)(2)，的面积为【分析】（1）由题意列方程组求，得椭圆的方程；（2）设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理和，求出实数的值，再利用弦长公式和点到直线距离得到的底和高，求出面积.【详解】（1）由题意知离心率，所以，即.以原点为圆心椭圆的短半轴长为半径的与直线相切，有，所以，故椭圆的方程为.（2）设直线的方程为由，消去得， ， ，解得.，所以，点到直线的距离，所以的面积22已知函数，且恒成立(1)求的最大值；(2)当取得最大值时，设，若有两个零点为，证明：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先求导得，对进行分类讨论，求出，即，进而求得的最大值；（2）由（1）得，则 ，令整理得，作差变形得，要证，即证，代换得，构造，利用导数可证不等式恒成立.【详解】（1）由题意得，当时，在上单增，当时，此时显然不成立；当时，令，得，所以在上单减，在上单增，即，所以，所以，的最大值为；（2）由（1）式可知，即，所以 ，则有两个零点为，即；，所以，两式相减得，即，要证不等式恒成立，等价于，代入得令，所以函数在上单调递增，得证.
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