2023届河北省部分学校高三年级下册学期二月联考数学试题【含答案】

2023届河北省部分学校高三下学期二月联考数学试题一、单选题1集合，则（）ABCD【答案】D【分析】利用分式不等式求解的方法求出集合，然后利用集合的交集进行运算即可.【详解】由，所以集合，所以，故选：D.2复数是虚数单位，则（）A5BC3D【答案】B【分析】根据虚数单位的性质得，再结合复数的乘法运算及复数模的概念即可得到答案.【详解】复数，故选：B.3已知为两个不同平面，为两条不同的直线，下列命题一定成立的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【分析】根据线面平行，垂直的定义和有关判定定理，性质定理以及结论即可逐项判断其真假.【详解】对于A，若，则或，故A错误；对于B，若，则或，故B错误；对于C，若，则或异面，故C错误；对于D，若，则或，又，则，故D正确.故选：D.4已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（）ABCD【答案】C【分析】利用已知条件求解抛物线的焦点坐标，求出M的坐标，然后求解三角形的面积.【详解】抛物线，焦点坐标，准线方程为，设点，由抛物线的定义可知，等于到准线的距离，即，又，故，故，.故选：C.5若，则曲线在处的切线方程为（）ABCD【答案】A【分析】求出原函数的导函数，取，解得，则，求得，可得切点坐标和切线斜率，利用直线方程的点斜式得答案.【详解】，令，解得.所以，则.所以曲线在处的切线方程为，即.故选：.6若，则（）ABCD【答案】B【分析】已知等式切化弦，利用倍角公式化简得，由，代入计算可得.【详解】由，得，即，所以，则.故选：B.7我国古代数学著作孙子算经中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列，若，则的最大值为（）A133B134C135D136【答案】C【分析】计算得到，解不等式得到答案.【详解】所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成等差数列，且首项为2，公差为3，则；所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成等差数列，且首项为2，公差为5，则，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列，组成首项为2，公差为15的等差数列，则，故由，得，故的最大值为135，故选：C8已知函数是奇函数，函数的图象与的图象有4个公共点，且，则（）A2B3C4D5【答案】D【分析】由题意得与都关于点对称，则，由此即可求得结果.【详解】由函数是奇函数，其图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的图象，所以的图象关于点对称，由，可得的图象是由奇函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，所以的图象关于点对称，所以与都关于点对称，所以，所以.故选：D.二、多选题9已知单位向量的夹角为，则使为钝角的一个充分条件是（）ABCD【答案】BC【分析】当时即可判断A，将两边平方，得到，从而求出即可判断B选项，利用向量数量积的运算展开即可判断的值或范围即可得到C选项，由得，当即可判断选项D.【详解】若，则可能为，A选项不是为钝角的充分条件，故A不正确，若，两边平方得，即向量的余弦值为，所以，B选项是为钝角的一个充分条件；故B选项正确，若，则，即向量的余弦值为，所以且为钝角，C选项是为钝角的充分条件，故C选项正确，若，两边平方得，当时满足题意所以不一定为钝角，D不是为钝角的充分条件，故D不正确，故选：BC.10已知双曲线的左右焦点分别为，点是上的动点，则（）AB的离心率不可能是C以为圆心，半径为的圆一定与的渐近线相切D存在点使得是顶角为的等腰三角形【答案】BC【分析】由双曲线的定义判断选项A；由，求的离心率的取值范围判断选项B；求到渐近线的距离与的关系判断选项C；分类讨论是等腰三角形时的条件，验证顶角是否为，判断选项D.【详解】，A选项错误；因为，所以的离心率，B选项正确；设，则到渐近线的距离，C选项正确；由双曲线定义可知，若，则直线的斜率为1且点在的右支上，由可知直线与的右支无交点，所以，若，由对称性易知也不存在点使得是顶角为的等腰三角形，D选项错误，故选:BC.11若函数，则下列结论错误的是（）A的定义域是B的单调递增区间是C的值域是D的图象关于直线对称【答案】AB【分析】由得，解出的范围可判断A；由题知是偶函数，周期是，图象关于对称，时递增，可得的单调递增区间，可判断B；的值域就是在上的取值范围，求解可判断C；的图象关于直线对称，可判断D【详解】由得，所以，由，得的定义域是，故A错误；由，知是偶函数；由，知周期是；从而，用替换，得，知图象关于对称，时，又，单调递增，则的单调递增区间是，故B错误；的值域就是在上的取值范围，当时，又，所以的值域为，故C正确；的图象关于直线对称，故D正确.故选：AB.12国庆节期间某高校学生会联合校团委举行国学知识有奖问答活动，活动一共有两关，以小组为单位参加，每小组3人.第一关每小组的3个人分别回答问题，过关者才能参加第二关活动，第二关由每小组第一关的过关者共同回答问题，若第二关该小组回答问题过关，可获得500元奖励.已知甲乙丙3人为一组，甲乙丙各自过第一关的概率分别为，若该小组第一关仅1人过关，该小组过第二关的概率为；若该小组第一关有2人过关，该小组过第二关的概率为；若该小组第一关有3人过关，该小组过第二关的概率为，则（）A甲乙丙3人至少有1人在第一关过关的概率为B若甲乙丙3人至少有1人在第一关过关，则甲在第一关过关的概率为C设甲乙丙这一组进入第二关的人数为，则D甲乙丙这一组获得500元奖励的概率为【答案】BCD【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式计算可判断A，由条件概率计算可判断B，分别计算进入第二关人数对应的概率，由期望公式求解可判断C，根据全概率公式计算可判断D.【详解】设“甲乙丙3人至少有1人在第一关过关”，则，故A错误；设“甲在第一关过关”，则，则，所以若甲乙丙3人至少有1人在第一关过关，则甲在第一关过关的概率为，B正确；设“甲乙丙3人有人进入第二关”，其中，则，所以，C正确；设“甲乙丙这一组获得500元奖励”，D正确.故选：BCD.三、填空题13二项式的展开式的常数项是_.【答案】【分析】的展开式的通项为，分别令和，由此能求出的展开式的常数项.【详解】的展开式的常数项是.故答案为：-25.14已知，则的最小值为_.【答案】【分析】由已知得，利用基本不等式求和的最小值.【详解】，当且仅当时取等号，则的最小值为.故答案为：15如图，在三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【分析】由题意可得，平面，设三棱锥的外接球的球心为，底面的中心为，求出，几何法可得外接球的半径，计算表面积即可.【详解】由题知，又，平面，平面.如图，设三棱锥的外接球的球心为，底面的中心为，连接，则平面，且，又，则外接球的半径，所以外接球的表面积为.故答案为：16函数，若关于的方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围为_.【答案】【分析】根据导数分析函数单调性、极值可得函数图象大致变化趋势，令后转化为方程在上两不等根，再由判别式及根的分布求解.【详解】定义域为，当时，当或时，即在上单调递增，在上单调递减，其中，且，令，要想关于的方程有6个不同的实数解，则方程要有两个位于上的根，则，解得或，不妨设方程的两个根为，且，则，由两根均小于，则.令，则有，又，解得.综上，的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用导数对函数变化趋势进行分析，函数先增后减再增，函数值为负，据此转化为只需，有两个不同的符合条件的值，可使得原方程有6个根，其次方程要有两个位于上的根之后，需要根据根的分布对方程系数进行分析得出n的范围是第二个关键点.四、解答题17已知的三个内角所对的边分别是，且.(1)求的周长；(2)求边上的高.【答案】(1)9(2)【分析】（1）运用余弦定理求得c的值即可.（2）运用同角三角函数平方关系求得的值，再运用等面积法求得AB边上的高即可.【详解】（1）在中，由余弦定理得，解得，的周长为.（2），.设边上的高为，则，即，解得.所以AB边上的高为.18已知数列中，且，(1)求证：数列是等比数列；(2)从条件，中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答求数列_的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)证明见解析(2)选：；选：【分析】（1）根据递推公式使用构造法可得的通项公式，然后可得通项，再由等比数列定义可证；（2）选：由分组求和法可得；选：使用错位相减法可得.【详解】（1）因为且，所以当时，所以，即所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，因为，时，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）选：因为，所以，则选：因为，所以，则（i）（ii）（i）（ii）得19小家电指除大功率大体积家用电器（如冰箱洗衣机空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为.年份代码12345市场规模0.91.21.51.41.6(1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；(3)某传媒公司为了了解中国智能小家电消费者年龄分布，随机调查了200名消费者，统计这200名消费者年龄，按照青少年与中老年分为两组，得到如下列联表：青少年中老年合计喜欢购买智能小家电80不喜欢购买智能小家电60合计110200依据的独立性检验，能否认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关？参考数据：参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.附：0.100.0100.0012.7066.63510.828【答案】(1)答案见解析(2)(3)是否喜欢购买智能小家电与年龄有关.【分析】（1）利用已知数据计算相关系数，然后判断与的线性相关程度即可，（2）利用公式计算相关量即可得回归方程；（3）完成列联表，根据给定数据判断得出结论.【详解】（1）由已知得，.因为与的相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（2）由题可得，故关于的经验回归方程为.（3）由题意可得如下列联表：青少年中老年合计喜欢购买智能小家电8030110不喜欢购买智能小家电306090合计11090200所以，所以认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关.20如图，在三棱柱中，底面是等腰三角形，点是棱的中点，.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）取的中点，连接，确定，得到平面，得到证明.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）取的中点，连接，则.，故，即，平面，故平面，又平面，平面平面.（2）如图，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则令，则，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则令，则，平面的一个法向量为，二面角的正弦值为.21已知函数.(1)证明：函数存在两个极值点，且有；(2)试比较函数的极大值与极小值之和与3的大小，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)极大值与极小值之和小于3，理由见解析【分析】（1）对函数求导，构造函数，再次对函数求导，利用函数导数性质及零点存在性定理进行证明，（2）由（1）可得函数的极值，构造新函数求导利用函数性质即可说明理由.【详解】（1）证明：由题可知的定义域为，因为，所以，令，则，当时，；当时，则在上单调递减，在上单调递增.又，则在上有且仅有一个零点.即在上有且仅有一个零点，又因为，所以在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个零点，综上，时，；时，；时，所以函数存在两个极值点.设，则，则在上为单调递增函数，由，知，从而有，化简可得，又因为，两式相减，可得，即，所以成立.（2）由（1）可知，为极大值，为极小值.由，得，从而有.令，则有，令,当时，所以在上单调递减，即在上单调递减，由，知，所以在上单调递增，所以，所以函数的极大值与极小值之和小于3.【点睛】方法点睛:函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相当大，主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.22已知椭圆C：，经过圆O：上一动点P作椭圆C的两条切线切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点(1)求证：M，O，N三点共线；(2)求OAB面积的最大值【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据圆的对称性，设在第一象限，讨论、斜率不存在或为0、斜率存在且不为0两种情况，再设切线方程并联立椭圆，由及韦达定理，求证即可证结论.（2）同（1）设在第一象限，讨论、斜率不存在或为0、斜率存在且不为0两种情况，分别求OAB面积情况，注意斜率存在且不为0时，根据P在、上求直线的方程，再联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式得到关于所设参数的表达式，最后应用基本不等式求范围确定面积的最大值.【详解】（1）由圆的对称性，不妨设在第一象限，若斜率不存在，则直线为，所以，则另一条切线为(即斜率为0)，此时；若、斜率存在且不为0时，设切线方程为，联立椭圆方程有，整理得，所以，整理得，且，所以，又，故，即；综上，有，又M，N两点圆O上，即，由圆的性质知：是圆O的直径，所以M，O，N三点共线，得证；（2）同（1），由圆的对称性，设在第一象限，当时，；当时，、斜率都存在且不为0，令为，联立椭圆并整理得：，由，整理得，所以，又在椭圆上，则，故，所以直线的方程为，化简得，即；同理可得：直线的方程为，又在直线、直线上，则，所以直线的方程为，联立椭圆方程可得：，又，则，故，所以，又不共线，而O到直线的距离，所以，令，且，即或，所以，则，当且仅当时等号成立，此时；综上，当时OAB面积的最大值.【点睛】关键点点睛：第二问，分类讨论切线、斜率情况分别求三角形面积，在斜率存在且不为0时，设点坐标及切线方程求直线、，再由在直线上求直线关于m、n的方程，联立椭圆及在圆上，结合韦达定理、弦长公式等求三角形面积表达式，最后应用基本不等式求范围.