大学物理 第三章 刚体的定轴转动

1 习题精解 3-1 某刚体 绕定轴做匀 速转动， 对 刚体 上距转轴为 r 处的任 意质元的法 向加速度为 和切线 加 速度来 正确的是（ ） A. ， 大小 均 随 时 间 变 化 B. ， 大小 均 保 持 不 变 n a a n a a C. 的大小 变化， 的大小 保持不变 D. 大小保 持不变， 的大小 变化 n a a n a a 解 刚体绕 定轴做匀变 速转动时， 因 为 ， 而 为恒量 ， 所 以 ， 2 , n a r a r = = 0 t = + 故 。 可 见： 的大小 变化， 的大小 保持恒定， 本 题答案为 C. ( ) 2 0 , n a r t a r = + = n a a 3-2 一飞轮以的角 速度 转动 ，转动惯量为 ，现施加一恒 定的 制动 1 300 min r ad 2 5k g m 力矩， 使飞轮在 2s 内停止 转动，则该 恒定制动力 矩的大小为_. 解 飞轮转 动的角速度 为 所以该 恒定制 ( ) 2 0 0 0 1 300 2.5 2 2 60 r ad s t = = = = 动力矩 大小为 。 ( ) 5 2.5 12.5 M J N m = = = 3-3 一飞轮 半径 ， 以 转速 转动， 受 制动 均匀减速， 经 后静 1 r m = 1 1500 min n r = 50 t s = 止 ， 试 求 ： （1 ）角 速 度 和从 制 动 开 始 到 静 止 这 段 时 间 飞 轮 转 过 的 转 数； （2 ）制 动 开 始 后时飞 轮的角速度 ； （ 3 ）在时 飞轮边缘上 一点的速度 和加速度。 25 t s = 解 （1）角加 速度 ( ) 2 0 1500 2 3.14 0 2 60 3.14 50 50 n r ad s t = = = = 从制动 开始到静止 这段时间飞 轮转过的转 数 ( ) 2 2 0 1500 1 1 2 3.14 50 3.14 50 60 2 2 625 2 2 2 3.14 t t N + = = = = 圈 （2）制动 开始后 时飞轮 的角速度 25 t s = ( ) 2 0 1500 2 2 3.14 3.14 25 78.5 60 t n t r ad s = + = + = = （3）在 是飞轮 边缘上一点 的速度和加 速度分别为 25 t s = ( ) ( ) ( ) 1 78.5 1 78.5 v r m s = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 78.5 1 3.14 6.16 10 3.14 n a a n a r n r n r n m s = + = + = + = 3-4 有 A、B 两个半 径相同、质 量也相同的 细圆环，其中 A 环的质 量分布均匀 ，而 B 环的质2 量分布 不均匀。若 两环对过环 心且与环面 垂直轴的转 动惯量分别 为 和 ，则有 （） A J B J A. B. C. D. 无法确 定 和 的相对 大小。 A B J J A B J J A B J J = A J B J 解 因为转动惯量 , 对于细圆环而言，各质元 到转轴的距离均为圆环的半径， 2 m J r dm = d m 即 ， 所以 。故 A,B 两个半 径相同、 质量 也相同的细 圆环， 不 论 r = 恒量 2 2 m J r dm m r = = 其质量 在圆环上如 何分布， 两 环 对过环心且 与环面垂直 轴的转动惯 量 ， 本 题答案 为 A B J J = C 。 3-5 刚体的 转动惯量取 决于_ 、_ 和_ 等 3 各因素 。_ 解 干体的 转动惯量取 决于：刚体 的总质量、 质量的分布 和转轴的位置 3 个元素 。 3-6 如图 3.4 所示，细棒的长为 。设转轴通过棒上离中心距离为 d 的一点并与棒垂直，求 l 棒对此轴的转动惯量 。试说明这一转动惯量与 棒对过棒中心并与此轴平行的转轴的 O J O J 转动惯 量 之间的 关系（此为 平行轴定理 ） 。 O J 解 如图 3.4 所示， 以过 点垂直 于棒的直线 为轴，沿棒 长方向为 轴，原 点在 O x O 处，在 棒上取一原 长度元 ，则 dx ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 1 12 d O d m m J x dm x dx m l m d l + = = = + 所以 与 之间的 关系为 O J O J 2 O O J J m d = + 3-7 一轻绳 在具有水平 转轴的定滑 轮上， 绳 下挂一 物体， 物 体的质 量为 m ， 此 时滑轮的 角 加 速度为 ， 若 将物体 取下， 而 用大小 等于 ， 方 向向下 的拉绳子， 则 滑 轮的角加速 度将 （ ） m g A. 变大 B. 不变 C. 变小 D. 无法确 定 解 设滑轮 的半径为 ,转动惯 量为 ，如图 3.5 所示。 使用大小等 于 ，方向 向下的力拉 R J m g 绳子时 ，如图 3.5 （a ）,滑轮产 生的角加速 度为 。 m gR J = 绳下段 挂一质量为 m 的物体 时，如图 3.5（b） ， 若 设绳子此时 的拉力为 T ，则 对物体 有： m g T m R = 对滑轮 有： T R J = 此时滑 轮产生的角 加速度为 2 m gR J m R = + 比较可知，用大小等于 ，方向向下的拉力拉绳子时，滑轮产生的角加速度变大，本题 m g3 答案为 A. 3-8 力矩、 功和能量的 单位量纲相 同，它们的 物理意义有 什么不同？ 解 虽然力 矩、功和 能量的单位 量纲相同， 同为 , 但物理 量的量纲相 同，并不 意味 着 2 2 L M T 这些物 理量的物理 意义相同， 力 矩 为矢量 ， 而 功 和能量 均为标量。 力 矩通 过做功的过 程使 物 体的转 动状态发生 变化，以改 变物体所具 有的能量。 3-9 如图 3.6 所示 ， 两 物 体 的 质 量 分 别 为 和 ，滑 轮 的 转 动 惯 量 为 ，半 径 为 r 。若 1 m 2 m J 与桌面 的摩擦系数 为 ， 设 绳子与 滑动间无相 对滑动， 试 求系 统的加速度 a 的大小 及 绳 2 m 子中张 力 和 的大小 。 1 T 2 T 解 分析受 力如图 3.6 所示。 和 可视为 质点， 设其加 速度分别为 和 ， 则由牛顿 运 1 m 2 m 1 a 2 a 动定律 得 1 1 1 1 2 2 2 2 m g T m a T m g m a = = 滑轮作 定轴转动， 则由转动定 律有 1 2 T r T r J = 由于绳 子与滑轮间 无相对滑动 ，所以 1 2 a a a r = = = 联立以上 4 个方程 可得，系统 的加速度 的大小 及绳子中张 力 和 的大小 分别为 a 1 T 2 T 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 , , J J m m m m m m r r a g T m g T m g J J J m m m m m m r r r + + = = = + + + + + + 3-10 如图 3.7 所示。 两 个 半 径不 同 的 同 轴滑 轮 固 定 在一 起 ， 两 滑轮 的 半 径 分别 为 和 ， 1 r 2 r 两个滑 轮的转动惯 量分别为 和 ，绳子 的两端分别 悬挂着两个 质量分别为 和 的物 1 J 2 J 1 m 2 m 体， 设 滑 轮与轴之间 的摩擦力忽 略不计， 滑 轮 与绳子之间 无相对滑动 ， 绳 子的 质量也忽略 不 计，且 绳子不可伸 长。试求两 物体的加速 度的大小和 绳子中张力 的大小。 解 分析受 力如图 3.7 所示。 和 可视为 质点，设其 受绳子的拉 力分别为 和 ，加速 1 m 2 m 1 T 2 T 度分别 为 和 ，则由 牛顿第二运 动定律得 1 a 2 a 1 1 1 1 2 2 2 2 m g T m a T m g m a = = 滑轮作 定轴转动， 则有转动定 律有4 ( ) 1 1 2 2 1 2 T r T r J J = + 由于绳 子与滑轮间 无相对滑动 ，所以 1 1 2 2 , a r a r = = 联立以上 5 个方程 可得，两物 体的加速度 和绳子中的 张力分别为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 m r m r r g a J J m r m r m r m r r g a J J m r m r J J m r m r r m g T J J m r m r J J m r m r r m g T J J m r m r = + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + 3-11 如图 3.8 所示， 质 量为 m ， 长 为 的均匀 细杆， 可 绕通过 其一端 O 的水平 轴转动， 杆 的 l 另一端与质量为 m 的小球固连在一起，当该系统从水平位置有静止转动 角时，系统的角 速度 _ 、动能 _, 此过程 中力矩所做 的功 _. = k E = W = 解 在任意 位置时，受 力分析如图 3.8 所示。 系统所受的 合外力矩为 3 cos cos cos 2 2 l M m g m gl m gl = + = 则在此 过程中合外 力矩所做的 功为 0 0 3 3 cos sin 2 2 W M d m gl d m gl = = = 系统的 转动惯量为 2 2 2 1 4 3 3 J m l m l m l = + = 于是刚 体定轴转动 的动能定理 可写为 2 2 3 1 4 sin 2 2 3 m gl m l = 所以系 统的角速度 为 ，系统 的动能为 3 sin 2 g l = 2 1 3 sin 2 2 k E J m gl = = 3-12 一个张开双臂手握哑铃坐在转椅上，让转椅转动起来，若此后无外力矩作用，则当此 人收回 双臂时，人 和转椅这一 系统的（ ） 。 A. 转速加 大，转动动 能不变 B. 角动量 加大 C. 转速和 转动动能变 化不清楚 D. 角动量 保持不变 解 因为系统 无 外力 矩的 作 用， 所以 系 统的 角动 量 守恒 ，及 ，当人收 回 双臂 时， 0 J J = 转动系 统的转动惯 量减少，即 ，所以 ，故转 速增大。 0 J J 5 又因为 ，所 以 。因此 转速和转动 动能都增大 ， 2 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 2 k K J E J E J J = = = 0 k k E E 求角动 量守恒。所 以本题的正 确答案为 D 3-13 如图 3.9 所示。 有一半径为 R ，质量为 M 的匀质 盘水平放置 ，可绕通过 盘心的竖直 轴 作定 轴 转 动 ， 圆 盘 对 轴 的 转 动 惯 量 。当 圆 盘 以 角 速 度 转动 时 ， 有 一 质 量为 2 1 2 J M R = 0 的橡皮泥（可视为质点）竖直落在圆盘上，并粘在距转轴 处，如图所示。那么橡皮 m 1 2 R 泥和盘 共同角速度 _. = 解 对于圆 盘和橡皮泥 组成的系统 而言， 所 受的 合外力矩为 零， 所 以系统 的角动量守 恒， 于 是有 2 0 1 2 J J m R = + 因为圆 盘对轴的转 动惯量 2 1 2 J M R = 所以橡 皮泥和盘的 共同角速度 为 0 2 2 M M m = + 3-14 如图 3.10 所示。 以 质 量为 的小球 由一绳子系 着， 以 角 速度 在无摩 擦的水平面 上 ， m 0 绕圆心 O 作半径 为 的圆周 运动。 若 在 通过圆心 O 的绳子 端作用一竖 直向下的拉 力 ， 小 0 r F 球则作 半径为 的 圆 周 运 动 。 试 求 ： （1）小球 新的角速度 ； （ 2）拉力 所做的 功。 0 2 r F 解 （1）在拉 力 拉小球 的过程中， 由于拉力 通过了 轴心，因此 小球在水平 面上转动的 F F 过程中 不受外力矩 的作用，故 其角动量守 恒。于是有 0 0 J J = 即 ( ) 2 2 0 0 0 1 2 m r m r = 小球新 的角速度 。 0 4 = （2 ） 随 着小 球转动角速 度的增加， 其 转 动动能 也在增加， 这 正 是拉力 做功的 结果。 于 是 F 有定轴 转动的转动 定理得拉力 所做的 功为 F 6 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 3 4 2 2 2 2 2 2 W J J m r m r m r = = = 3-15 如图 3.11 所示。A 与 B 两个飞 轮的轴杆可 由摩擦啮合 器使之连接 ，A 轮的转 动惯量 为 ， 开 始时 B 轮静止 ， A 轮以 的转速 转动， 然 后时 A 与B 2 10.0 A J k g m = 1 600 min A n r = 连接， 因而 B 轮得到 加速度而 A 轮减速 ，直到两 轮的转速都 等于 为止 。 1 200 min A B n r = 求 ： （1）B 轮的转 动惯量 ； （ 2 ）在啮 合过程中损 失的机械能 。 B J 解 （1） 两 飞 轮在轴方向 啮和时， 轴 向 受的力 不产生转动 力矩， 所 以两飞 轮构成的系 统角 动 量守恒 。于是有 ( ) A A A B A B J J J = + 所以 B 轮的转 动惯量为 ( ) 2 20.0 A A B A A B B A A A B A B n n J J J k g m n = = = （2）有两 飞轮在啮和 前后转动动 能的变化可 得啮和过程 中系统损失 的机械能为 ( ) ( ) 2 2 4 1 1 1.31 10 2 2 A A A B A B E J J J J = + = 3-16 质量为 ， 长 为 的均匀 细棒， 可 绕垂直与 棒的一端的 水平轴无摩 擦的转动 。 0.06 k g 0.2 m 若将此 棒放在水平 位置， 然 后任其开 始转动， 试 求： （1）开 始 转 动 时 的 角 加 速 度 ； （2） 落 到 竖 直 位 置 时 的 动 能 ； （3）落至 竖直位置时 对转轴的角 动量。 解 根据题 意作图 3.12. （1）开始 转动是角加 速度为 ( ) 2 2 3 2 73.5 1 2 3 l m g M g r ad s J l m l = = = = （2）在下 落过程中， 系统（棒和 地球）受的 重力为保守 力，轴的支 持力始终不 做功，因此 系统的 机械能守恒 ，所以落到 竖直位置时 的动能为 ( ) 2 1 0.06 2 2 l E J m g J = = = （3）因为 ，所以落至竖直位置时对转轴的角速度为 ，故落至竖 2 1 2 2 l J m g = m gl J = 直位置 是对转轴的 角动量 ( ) 2 3 2 3 2 1 1 9.7 10 3 3 m gl L J J m gl m l m gl k g m s = = = = = 3-17 如图 3.13 所示。 一均匀细棒 长为 ，质量为 m ，可绕 通过端点 的水平 轴在竖直平 面 l O 内无摩 擦的转动。 棒 在 水平位 置时释放， 当 它 落到竖 直位置时与 放在地面上 一静止的物 体 碰7 撞。该物体与地面之间的摩 擦系数为 ，其质量也为 m ，物体滑行 s 距离后停止。求碰撞 后杆的 转动动能。 解 根据题 意可知此题 包含 3 个物理 过程。 第一过 程为均匀细 棒的下落过 程。 在 此过程 中， 以 棒和地 球构成的系 统为研究对 象， 棒 受 的 重力为 保守力，轴 对棒的支持 力始终不做 功，所以系 统的机械能 守恒，则 2 2 1 1 2 2 3 l m g m l = 第二过 程为均匀细 棒与物体的 碰撞过程。 在此过程中 ，以棒和物 体构成的系 统为研究对 象， 物体所 受的摩擦力 对转轴 的力矩 与碰撞的冲 力矩相比较 可忽略， 所 以系统的 角动量守恒 ， O 则 2 2 1 1 3 3 m l m l m v l = + 其中 为碰撞 后瞬时棒的 角速度， 为碰撞 后瞬时物体 与棒分离时 物体的速率 。 v 第三过 程为分离以 后的过程。 对于棒而言 ，棒以角速 度 继续转 动；对于物 体而言，物 体在水 平面内仅受 摩擦力的作 用，由质点 的动能定律 得 2 1 2 m v m gs = 联立以上 3 个方程 可得碰撞后 杆的转动动 能为 ( ) 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 3 6 k E m l m gl gs = = 3-18 如图 3.14 所示， 一劲度系数为 k 的轻弹 簧与一轻柔 绳相连，该 跨过一半径为 R ，转动 惯量为 J 的定滑轮，绳的另一端悬挂 一质量 为 m 的物体，开始时弹簧无伸长 ，物体由静止 释放。 滑 轮 与轴之 间的摩擦可 以忽略不计 ， 当 物体下落 h 时， 试 求 物体的速度 ， （ 1） 用 牛 v 顿定律 和转动定律 求解； （2）用守 恒定律求解 。 解 （1）用牛 顿定律和转 动定律求解 。 建立坐 标系及受力 分析如图 3.14 所示。 则由牛顿定 律和转动定 律得 对于物 体有： 1 m g T m a = 对于滑 轮有： ( ) 1 2 T T R J = 对于弹 簧有： 2 T k x = 物体的 加速度与滑 轮边缘的切 向加速相同 ，即 a R = 联立以上 4 个方程 可得 2 m g k x a J m R = + 因为 dv dv dx dv a v dt dx dv dx = = =8 所以有 2 dv m g k x v J dx m R = + 整理并 积分有 0 0 2 v h m g k x v dv dx J m R = + 解之可 得物体的速 度为 2 2 2 m gh k h v J m R = + （2 ） 用守恒 定律求解 由于滑 轮和轴之间 的摩擦忽略 不计， 系 统 （ 弹簧、 滑 轮 、 物 体 和地球） 仅 受 保守力 （ 重 力和弹 力）的作用 ，所以系统 的机械能守 恒，若以物 体 的初始 位置处为势 能零点，则 m 2 2 2 1 1 1 2 2 2 v m gh m v J k h R = + + 解之得 物体的速度 为 2 2 2 m gh k h v J m R = +