机械控制工程基础 时域分析(C班)

一 、时间响应及其组成 1、 时间响应 定义：在输入作用下，系统的输出（响应） 在时域的表现形式 在数学上，就是系统的动力学方程在一定初 始条件下的解。 时间响应能完全反映系统本身的固有特性与 系统在输入作用下的动态历程。 第一节 概述 2时域分析的目的 在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输 出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性 能。 3 时域分析法 时域分析法就是根据系统的微分方程，采用拉氏变 法直接解出系统的时间响应，再根据响应的表达式 及对应曲线来分析系统的性能。 用时域分析法分析系统性能具有直接、准确、易于 接受等特点。 二 、典型输入信号 1、在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制 性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分 析比较的基础。这些信号称为控制系统的 典型输入信 号 。 一般，系统可能受到的外 加作用有控制输入和扰动， 扰动通常是随机的，即使 对控制输入，有时其函数 形式也不可能事先获得。 2、作用 : 在实际中，输入信号很少是典型输入信号，但由于 在系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输 入信号的时间响应之间存在一定的关系，所以，只 要知道系统对典型输入信号的响应，再利用关系式： )(2 2 )(1 1 )()()( si o si o X sXsG X sX 就能求出系统对任何输入的响应。 3、常用的 典型输入信号 Asint 正弦信号 1 (t)， t=0 单位脉冲信号 单位加速度信号 t， t0 单位速度 (斜坡 )信号 1(t)， t0 单位阶跃信号 复数域表达式 时域表达式 名 称 s 1 2 1 s 3 1 s 22 s A 0,21 2 tt （ 1） 能反映系统在工作过程中的大部分实际 情况； 4、典型输入信号的选择原则 如：若实际系统的输入具有突变性质，则可 选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐 变化，则可选速度信号。 （ 2）形式简单，便于解析分析； （ 3）实际中可以实现或近似实现。 1、 一阶系统（惯性环节） 1 1)( TssG 极点（特征根）： -1/T 时间常数，微分方程： :)()()( Ttxtxdt tdxT ioo 1/Ts Xi(s) X0(s) )()()( tKxtKxdt tdxC ioo K CT TskCs KsG ,1 1)( 如：弹簧 -阻尼器环节 xi(t) xo(t) 弹簧 -阻尼器组成的环节 K C 2、一阶系统的 单位脉冲响应 1)( sX i TsT sGsX o 111)()( 0,1)( te T tx T t o xo(t) 1/T 0 t 0.368 1 T 斜率 xo(t) T 21T 一阶系统单位脉冲响应的特点 瞬态响应 ： (1/T )e t /T ； 稳态响应 ： 0； xo(0)=1/T,随时间的推移， xo(t)指数衰减； 对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽 度（脉冲宽度小于 0.1T）和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。 20 1)( Tdt tdx t o 3、一阶系统的 单位阶跃响应 ssX i 1)( TsssTs sXsGsX io 1111 1 1)()()( 0,1)( tetx T t o 0,1)( tetx T t o 1 0.632 1T A 0 B 斜率 =1/T 2T 3T 4T 5T xo(t) t Tto etx /1)( 63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% 99.8% 6T 一阶系统单位阶跃响应的特点 响应分为两部分 瞬态响应 ： Tte 表示系统输出量从初态到终态的变化过程 （动态 /过渡过程） 稳态响应 ： 1 表示 t时，系统的输出状态 xo(0) = 0，随时间的推移， xo(t) 指数增大， 且无振荡。 xo() = 1，无稳态误差 ； 4、一阶系统的 单位速度响应 2 1)( ssX i Ts T s T ssTssXsGsX io 1 11 1 1)()()( 22 0,)( tTeTttx T t o 0 t xo(t) x i(t) xo(t)=t-T+Te-t/T e()=T T 一阶系统单位速度响应的特点 瞬态响应 ： T e t /T ； 稳态响应 ： t T； 经过足够长的时间 (稳态时，如 t 4T)，输 出增长速率近似与输入相同，此时输出为： t T，即 输出相对于输入滞后时间 T； 5、不同时间常数下的响应情况 由上图可知， T越大，惯性越大。 第三节 、二阶系统的时间 响应 例如图所示机械系统 解： 1)明确系统的输入与输出 输入为 f(t),输出为 x(t) 2)列写微分方程，受力分析 xmxckxf 3)整理可得： fkxxcxm kcsms 1 F ( s ) X ( s ) G ( s ) F ( s )X ( s )s X ( s )X ( s )s 2 2 kcm 4)传递函数 5)单位阶跃响应 k)css ( m s 1 s 1G ( s )X ( s ) 2 3 1 ) 4 3 () 2 1 (s 4 3 - ) 4 3 () 2 1 (s 2 1 s - s 1 ) 4 3 () 2 1 (s 1s - s 1 1)s(s 1s - s 1 1)ss ( s 1 k)css ( m s 1 X ( s ) 2222 22 2 22 t) 2 3c o s (e 3 1-t) 2 3s i n (e-1x ( t ) t21-t21- 若 m=1,c=1,k=1 的曲线t)2 3c o s (e31-t)2 3s i n (e-1x ( t ) t21-t21- t=0:0.01:20; x=1-exp(-0.5*t).*sin(sqrt(3)/2*t)-1/sqrt(3)*exp(- 0.5*t).*cos(sqrt(3)/2*t); plot(t,x); 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 1 . 1 1 . 2 Matlab命令 + num1=0 0 1; + den1=1 1 1; + sys=tf(num1,den1) ; + step(num1,den1); m=1,c=1,k=1时阶跃响应 0 2 4 6 8 10 12 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 S t e p R e s p o n s e T i m e ( s e c ) A m p l i t u d e 1)(s 1 1)(s 1 - s 1 1)s ( s 1 1)2ss ( s 1 G ( s ) s 1 X ( s ) 12ss 1 G ( s ) 22 2 2 若 m=1,c=2,k=1 -t-t te-e-1x ( t ) 则运动方程为： t=0:0.01:20; x=1-exp(-t)-t.*exp(-t); plot(t,x); Matlab命令 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 -t-t te-e-1x ( t ) + num1=0 0 1; + den1=1 2 1; + sys=tf(num1,den1) ; + step(num1,den1); 0 5 10 15 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 S t e p R e s p o n s e T i m e ( s e c ) A m p l i t u d e m=1,c=2,k=1时阶跃响应（ Matlab计算） 4)(s 1 / 3 1)(s 4 / 3 - s 1 4)1 ) ( ss ( s 4 4)5ss ( s 4 G ( s ) s 1 X ( s ) 45ss 4 G ( s ) 2 2 若 m=1,c=5,k=4 4t-t- e 3 1 e 3 4 -1x ( t ) 则运动方程为： t=0:0.01:20; x=1-4/3*exp(-t)+1/3*exp(-4*t); plot(t,x); Matlab命令 4t-t- e 3 1e 3 4-1x ( t ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 + num1=0 0 4; + den1=1 5 4; + sys=tf(num1,den1) ; + step(num1,den1); m=1,c=5,k=4时阶跃响应 0 1 2 3 4 5 6 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 S t e p R e s p o n s e T i m e ( s e c ) A m p l i t u d e 1)(s s - s 1 1)s ( s 1 G ( s ) s 1 X ( s ) 1s 1 G ( s ) 2 2 2 若 m=1,c=0,k=1 c o s ( t )-1x ( t ) 则运动方程为： c o s ( t )-1x ( t ) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 + num1=0 0 1; + den1=1 0 1; + sys=tf(num1,den1) ; + step(num1,den1); m=1,c=0,k=1时阶跃响应 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 S t e p R e s p o n s e T i m e ( s e c ) A m p l i t u d e 二阶系统 22 2 2 2T k)( nn n sskss sG 其中 ， T为时间常数 ， 也称为无阻尼自由振荡 周期 ， 为 阻尼比 ； 为系统的 无阻尼固有频率 。 m k n )1s(T k s KT2 1 二阶系统的特征方程： 02 22 nn ss 极点（特征根）： 122,1 nns 欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 0 1 具有两个不相等的 负实数极点 ： 122,1 nns 零阻尼二阶系统： 0 具有 一对共轭虚极点 ： njs 2,1 负阻尼二阶系统： 0 极点实部大于零 ，响应发散，系统不稳定。 2、二阶系统的 单位脉冲响应 0 1： 0 12 )( 11 2 22 t eetc tt n nn num1=0 0 1; den1=1 3 1; sys=tf(num1,den1) ; t=0:0.01:20; impulse(sys,t) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 I m p u l s e R e s p o n s e T i m e ( s e c ) A m p li t u d e 3、二阶系统的 单位阶跃响应 ssR 1)( )2( )()()( 22 2 nn n sss sRsGsC 欠阻尼（ 01）状态 0 )11(2 1 )11(2 1 1)( )1( 22 )1( 22 2 2 te etc t t n n ， 0 1 t xo(t) 特点 单调上升，无振荡， 过渡过程时间长 c () = 1，无稳态 误差。 01 1 1 0),s i n ( 1 1)( 2 ttetc d tn 0,)1(1)( tettc tn n 0 )11(2 1 )11(2 1 1)( )1( 22 )1( 22 2 2 te etc t t n n ， 其中 ， 21 nd a r c c o s1 2 a r c t g 几点结论 二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性： 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长； 01时，有振荡， 愈小，振荡愈严重， 但响应愈快， = 0时 ，出现等幅振荡。 工程中除了一些不允许产生振荡的应用 ， 如指 示和记录仪表系统等 ， 通常采用欠阻尼系统 ， 且 阻尼比通常选择在 0.40.8之间 ， 以保证系统的快 速性同时又不至于产生过大的振荡 。 5、 二阶系统的性能指标 控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的 定量指标，是定量分析的基础。 系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响 应进行定义。常见的性能指标有： 上升时间 tr、 峰值时间 tp、 调整时间 ts、 最大超调量 Mp、 振荡次数 N。 1 0 t Mp 允许误差 =0.05或 0.02 tr tp ts 0.1 0.9 xo(t) 控制系统的时域性能指标 评价系统快速性的 性能指标 上升时间 tr 响应曲线从零时刻出发 首次到达稳态值 所需 时间 。 对无超调系统 ， 上升时间一般定义为 响应曲线 从稳态值的 10%上升到 90%所需 的时间 。 峰值时间 tp 响应曲线从零上升到 第一个峰值 所需时间 。 调整时间 ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态 值的 2%或 5%）内所需的时间。 最大超调量 Mp 响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用 百分数表示： 评价系统平稳性的 性能指标 %1 0 0)( )()( o opo p x xtxM 若 xo(tp) xo()，则响应无超调。 振荡次数 N 在调整时间 ts内系统响应曲线的振荡次数。 实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一 半计数。 欠阻尼二阶 系统的时域性能指标 上升时间 tr 1s i n 1 1)( 2 rd t r t etc rn 根据上升时间的定义有： 欠阻尼二阶系统的阶跃响应为： 0),s i n ( 1 1)( 2 ttetc d tn 22 2 1 a r c c o s 1 1 nnd r a r c t g t从而： 即： 0s in rd t ,2,1,0, kkt rd 显然， 一定时， n越大， tr越小； n一定时， 越大， tr 越大。 峰值时间 tp ，并将 t = tp代入可得： 0)( dt tdx o令 0)c o s ( 1 )s i n ( 1 22 pd td pd tn tete pnpn 即： tgttg pd 21)( ,2,1,0, kkt pd 根据 tp的定义解上方程可得： 21 nd pt 一定， n越大， tp越小； n一定， 越大， tp 越大。 最大超调量 Mp %1 0 0 %1 0 0 )( )()( 21 e x xtx M o opo p 显然， Mp仅与阻尼比 有关。最大超调量直接说明了 系统的阻尼特性。 越大， Mp 越小，系统的平稳性 越好，当 = 0.40.8时，可以求得相应的 Mp = 25.4%1.5%。 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Mp 二阶系统 Mp 图 调整时间 ts 对于欠阻尼二 阶系统，其单 位阶跃响应的 包络线为一对 对称于响应稳 态分量 1 的指 数曲线： 21 1 tne t 0 1 xo(t) 211 tne 211 tne n T 1 21 11 21 11 T 2T 3T 4T T 2 a r c c o s21 d t 当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应 曲线必然也处于允许误差范围内。因此利用： 1 1 1 2 tne n st 21lnln 可以求得： 由上式求得的 ts包通常偏保守。 当 一定时， n越大， ts越小，系统响应越快。 05.0, 3 02.0, 4 1lnln 2 n n n st 当 00.7时， 振荡次数 N N 仅与 有关。与 Mp 一样直接说明了系统的阻 尼特性。 越大， N越小，系统平稳性越好。 21 22 nd dT 对欠阻尼二阶系统，振荡周期 02.0, 12 05.0, 15.1 2 2 d s T t N + 重要公式小结 01 1 1 0),s i n ( 1 1)( 2 ttetc d tn 0,)1(1)( tettc tn n 0 )11(2 1 )11(2 1 1)( )1( 22 )1( 22 2 2 te etc t t n n ， 其中 ， 21 nd a r c c o s1 2 a r c t g 0),s i n ( 1 1)( 2 ttetc d tn 21 nd pt 22 2 1 a r c c o s 1 1 nnd r a r c t g t %1 0 0 %1 0 0 )( )()( 21 e x xtx M o opo p 05.0, 3 02.0, 4 n n st 02.0, 12 05.0, 15.1 2 2 d s T t N 21 22 nd dT 其中 ， 21 nd a r c c o s1 2 a r c t g + 1、某数控机床的位置随动系统为单位反馈 系统，其开环传递函数为 G(s)=9/(s(s+1)。 试计算系统的 Mp、 tp、 ts和 N。 + 解：系统的闭环传递函数为 9ss 9 91)s ( s 9 G ( s )1 G ( s )( s ) 2 6 1,s3r a d 1- n 峰值时间 1 .06 2s-1t 2 n p 5 3 . 8 %1 0 0 %eM 2-1 - p 最大超调量 2 % )( 4 -12 /2 t N 5 % )( 3 -11 . 5 /2 t N 2 % )( 8s 4 t 5 % )( 6s 3 t 2 d s 2 d s n s n s 振荡次数 调整时间 + 例 2 控制系统框图所示。若要求系统单位阶跃 响应超调量 Mp=20%，调节时间 ts=1.5s,试确定 K 与 的值 K/s(s+1) 1+ts K/s(s+1) 1+ts k)sk(1s k s)(1 1)s ( s k 1 1)s ( s k ( s ) 2 解： 0 .1 5 6 1)-2( 1 9 .2 3 ,k 4 .3 8 50 .4 5 6 1 .5 st0 .2M 1)-2( ,k 2 n n2 n n sp 2 n n2 n ，可以求得将系统的特征参数代入 ， 数为可以求得系统的特征参，由性能指标 标准形式比较，可得与二阶系统传递函数的 例 3 图 a)所示机械系统 ， 当在质量块 M上施加 f(t)=8.9N的阶跃力后 ， M的位移时间响应如 图 b)。 试求系统的质量 M、 弹性系数 K和粘 性阻尼系数 C的值。 m f(t) K C xo(t) a) 0 0.03 0.0029 2 t /s 1 3 xo(t)/m tp b) 解 ：根据牛顿定律： )()()()(22 tftKxdt tdxCdt txdM ooo 22 2 2 2 1 1 )( )()( nn no ss K KCsMssF sXsG KM C M K n 2, 其中， 系统的传递函数为： sKCsMssXsGsX io 9.81)()()( 2 由于 F(s)=Lf(t)=L8.9=8.9/s，因此 根据拉氏变换的终值定理： KKCsMsssXx soso 9.89.8lim)(lim)( 200 由图 b)知 xo() = 0.03m，因此： K=8.9/0.03=297N/m 又 由图 b)知 ： %7.9%10003.0 0 0 2 9.0%10021 eM p 解得： = 0.6 2 1 2 n pt 又由： 代入 ，可得 n=1.96rad/s KM C M K n 2, 根据 解得 M = 77.3Kg， C = 181.8Nm/s 例 4 已知单位反馈系统的开环传递函数为： 求 K=200时，系统单位阶跃响应的动态性能 指标。若 K 增大到 1500或减小到 13.5，试分 析动态性能指标的变化情况。 )5.34( 5)( ss KsG 解 ：系统闭环传递函数为： Kss K sG sGs 55.34 5 )(1 )()( 2 1） K = 200时 10005.34 1000)( 2 sss n=31.6rad/s， =0.545 st n r 081.01 a r c c o s 2 )05.0(1 7 4.03 st ns %13%1 0 021 eM p )05.0(73.015.1 2 N st n p 12.01 2 2） K = 1500时 n=86.2rad/s， =0.2，同样可计算得： tr=0.021s， tp=0.037s， Mp=52.7% ts=0.174s， N=2.34 可见，增大 K， 减小， n提高，引起 tp 减小， Mp增大，而 ts无变化 即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系 统串联组成 ， 其中 T1=0.481s,T2=0.0308s 3） K = 13.5时 n=8.22rad/s， =2.1 ， 系统工作于过阻尼 状态，传递函数可以改写为： )10308.0)(1481.0( 1 5.675.34 5.67)( 2 sssssG 五 、高阶系统的时间响应 1、高阶系统的单位阶跃响应 )()( )()( 1110 1110 mn asasasa bsbsbsb sX sXsG nnnn mmmm i o 考虑系统 0 0 1 1 , )( )( a b K ps zsK n j j m i i 若在系统极点中包含 q个实数极点和 r对共轭复数极 点 可以求得高阶系统的时间响应，其包含有指数函数 分量和衰减正弦函数分量。 主导极点：距离虚轴很近的极点，对系统时间起主 导作用 21 kkkk js 六 、误差分析和计算 1、控制系统的误差 考虑反馈控制系统 H(s) R(s) C(s) B(s) E (s) G(s) 偏差信号 E(s)即输入 R(s)与 反馈 信号 B(s)之差 E(s)= R(s) B(s) R(s) H(s) C(s) H(s) R(s) C(s) B(s) E (s) G(s) )()(1 1 )( )( sHsGsR sE )()()( )()()()( sGsEsC sHsCsRsE )()(1 )( )( )( sHsG sG sR sC )()()( )( sHsGsE sB 误差传递函数 闭环传递函数 开环传递函数 )()(1 )()( sHsG sRsE 偏差信号 + 动态误差： 误差随时间变化的过程值 + 稳态误差： 系统进入稳态后其实际输出量 与希望输出量之间的相差程度 实际输出量希望输出量， 系统误差定义为： :c ( t ):( t )c c ( t )-( t )c( t )e r rr c ( t )*h ( t )-r ( t )e ( t ) 系统偏差定义为： H ( s ) C ( s )-R ( s )E ( s ) C ( s )-( s )C( s )E rr 拉氏变换 2、稳态偏差及其计算 稳态偏差 ess 误差是时间的函数 e(t) 稳态偏差 ：若误差信号在（ t）存在，即 e(t) 的稳态分量为 稳态误差 ： )(lim tee tss 根据拉氏变换的终值定理，有： )(lim)(lim 0 ssEtee stss 稳态偏差的计算 )()()(1 1lim)(lim)(lim 00 sRsHsGsssEtee sstss 利用拉氏变换的终值定理，系统稳态误差为： 例题 已知单位反馈系统的开环传递函数为： G(s)=1/Ts 求其在单位阶跃输入、单位单位速度输入、 单位加速度输入下的稳态偏差。 解 ：该单位反馈系统在输入作用下的误差传 递函数为： 1)(1 1)( Ts Ts sGsE 在单位阶跃输入下的稳态偏差为： 011lim)()(1 1lim 00 sTs TsssRsGse ssss 在单位速度输入下的稳态偏差为： TsTs TsssRsGse ssss 200 11lim)()(1 1lim 在单位加速度输入下的稳态偏差为： 300 11lim)()(1 1lim sTs TsssRsGse ssss 例 : 一系统的开环传递函数 求 ： r(t)=1(t)及 t时的稳态误差 解 : )104.0)(15.0( 20)()( sssHsG )(20)104.0)(15.0( )104.0)(15.0(lim)()()(1 1lim 00 sRss ssssRsHsGse ssss 05.0211120)104.0)(15.0( )104.0)(15.0(lim 0 sss ssse sss r(t) = 1(t) 时 , R(s)=1/s r(t) = t 时 , R(s)=1/s2 20 120)104.0)(15.0( )104.0)(15.0(l i m sss ssse sss 3、稳态误差系数 稳态偏差系数的概念 稳态位置误差系数 pss ss KsHsGsRsHsGse 1 1 )()(1 1lim)( )()(1 1lim 00 单位阶跃输入时系统的稳态偏差 (位置误差 ) 称为 稳态位置偏差系数 。 )0()0()()(lim 0 HGsHsGK sp 其中， 稳态速度误差系数 vs isss KsHssGssRsHsGse 1 )()( 1lim)( )()(1 1lim 00 单位速度输入时系统的稳态偏差 称为 稳态速度偏差系数 。 )()(lim 0 sHssGK sv 其中， 稳态加速度偏差系数 ass ss KsHsGsssRsHsGse 1 )()( 1lim)( )()(1 1lim 2200 单位加速度输入时系统的稳态偏差 (加速度偏差 ) 称为 稳态加速度偏差系数 。 )()(lim 20 sHsGsK sa 其中， 系统类型 将系统的开环传递函数写成如下形式： )()( )1()1)(1( )1()1)(1()()( 00 21 21 sHsG s K sTsTsTs sssKsHsG v vn v m 根据系统开环传递函数中积分环节的多少，当 v = 0, 1, 2, 时，系统分别称为 0型 、 I型 、 型 、 系统。 v v s v s sst ss sK sRs s K ssR sR sHsG sssEtee )( lim 1 )( lim )( )()(1 1 lim)(lim)(lim 1 00 00 不同类型系统的稳态误差 系数及稳态误差 0型 系统 )1()1)(1( )1()1)(1()()( 21 21 sTsTsT sssKsHsG vn m KsHsGK sp )()(lim 0 KKe pss 1 11 1 0)()(lim 0 sHssGK sv vss Ke 1 0)()(lim 20 sHsGsK sa ass Ke 1 I型 系统 )1()1)(1( )1()1)(1()()( 21 21 sTsTsTs sssKsHsG vn m )()(lim 0 sHsGK sp 01 1 pss Ke KsHssGK sv )()(lim 0 KKe vss 11 0)()(lim 20 sHsGsK sa ass Ke 1 型 系统 )1()1)(1( )1()1)(1()()( 212 21 sTsTsTs sssKsHsG vn m )()(lim 0 sHsGK sp 01 1 pss K e )()(lim 0 sHssGK sv 01 vss K e KsHsGsK sa )()(lim 20 KKe ass 11 系统的稳态误差系数及稳态误差 0 0 K II型 0 0 K I型 0 0 K 0型 单位加速 度输入 单位速 度输入 单位阶 跃输入 Ka Kv Kp 稳态误差 稳态误差系数 系统 类型 K1 1 K 1 K 1 不同类型的输入信号作用于同一控制系统， 其稳态误差不同；相同的输入信号作用于不 同类型的控制系统，其稳态误差也不同。 七 扰动引起的稳态偏差和系统总误差 G1(s) H(s) R(s) C(s) B(s) E(s) G 2(s) N(s) + + )()()(1 )( )( )( 21 2 sHsGsG sG sN sC N 扰动作用下的传递函数 )()()()(1 )(0)()()( 21 2 sN sHsGsG sGsCsRsE Nn )()()(1 )()( 21 sHsGsG sRsE R 扰动 单独 作用 时即 R(s)=0 输入信号单 独作用时 )()()()(1 )()()()(1 )()( 21 2 21 sNsHsGsG sGsHsGsG sRsE 总误差 扰动引起的稳态误差 G1(s) H(s) R(s) C(s) B(s) E(s) G 2(s) N(s) + + )()()(1 )()( )( )( 21 2 sHsGsG sHsG sN sC N 扰动误差传递函数为： )()()()(1 )()(lim)(lim 21 2 00 sNsHsGsG sHsGsssEe snsssn 所以，扰动引起的稳态偏差： )0()0()0(1 )0( 21 2 2 HGG Ge ss 对于单位阶跃扰动， 系统总误差 21 ssssss eee 当系统同时受到输入信号 R(s)和扰动信号 N(s) 作用时，由叠加原理，系统总的稳态误差： 22 2 2)( nn n sssG )1()1)(1( )1()1)(1()()( 212 21 sTsTsTs sssKsHsG vn m R ( s )()(1 )(C ( s ) sHsG sG )()()( )( sHsG sE sB 开环传递函数 闭环传递函数 II型和二阶系统的区别 求稳态 偏差 F ( s ) 1-Lc ( t ) 求运动 方程 R ( s )()(1 1s e ( t )e l i ml i m 0st ss sHsG 为误差传递函数）（ )()(1 1)( )( sHsGsR sE 已知系统的单位阶跃响应为： tto eetx 1060 2.12.01)( 求： 1）系统的闭环传递函数； 2）系统阻尼比 和无阻尼固有频率 n。 60070 600 )10)(60( 600 )( )()( 2 sssssX sXs i o 2）对比二阶系统的标准形式： 22 2 2)( nn n sss 702 6002 n n 429.1 /5.24 sr a dn 有： 解 ： 1） ssX i 1)( )10)(60( 600 10 2.1 60 2.01)()( sssssstxLsX oo 例：设单位反馈系统的开环传递函数为 )5( 4)( sssG 试求： (1)系统的单位阶跃响应和单位速度响 应； (2) 确定位置误差系统、速度误差系数 和当输入为 xi(t)=2t时的系统的稳态误差 解：系统闭环传递函数为 4t-t-1- e 3 1 e 3 4 -1 s 1 )4)(1( 4 Lc ( t ) s 1 R ( s ) R ( s ) )4)(1( 4 C ( s ) )4)(1( 4 4)5( 4 )()(1 )( ss ss sssssHsG sG 时当输入为单位阶跃信号 则系统的输出为 0.8 5)s ( s 4 ss G ( s ) K 0 5)s ( s 4 G ( s )K ( 2) l i ml i m l i ml i m 0s0s v 0s0s p 速度偏差系数为 系统的位置偏差系数为 2 .50 .82K 2e2t v ss 时系统的稳态偏差为当输入为 求解若按 R ( s )()(1 1s e ( t )e l i ml i m 0st ss sHsG 2.5 4 25 s 2 45)s ( s 5)s ( s s s 2 5)s ( s 4 1 1 s R ( s ) )()(1 1 s e ( t )e 2 0s 2 0s 0s t ss lim lim lim lim sHsG 例：设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图所示。如果 该系统属于单位反馈控制系统，试确定其开环传递函数。 2 22() 2 n nn s ss 21 2 % = e 1 0 0 % 3 0 % 0 .3 5 7 3 3 .6 3 0 .1 1 n p n t 2 1 1 3 1 ( ) 1 1 3 1( ) ( ) 2 4 1 1 3 1 1 ( ) ( 2 4 ) ss G s s s s s s 已知系统结构图，及单位阶跃响 应的指标： 1 % 1 6 . 3 % p t 求 ( 1 ) ( ) ?Gs ( 2 ) ( ) ?s ( 3 ) 由 ,%pt 确定 K 和 ( 4 ) ( ) 1.5r t t 时 ?sse 解 ： 10 10( 1 ) ( ) . 10 ( 1 ) 10 1 ( 1 ) Kss G s K s s s ss 开环增益 0 10 ( 1 ) 1 10 K K 2 ( ) 1 0 () 1 ( ) ( 1 1 0 ) 1 0 G s K s G s s s K 得 2 1 0 1 0 ( 2 ) 21( 1 1 0 ) 102 1 0 nn n KK K 依题： 22 3 .1 4 1 3 .6 3 ( ) 0 .8 6 611 pn n t 弧 / 秒 % 1 6 .3 % 6 0 0 .5 代入（ 2 ）式： 2 3 . 6 3 1 . 3 2 10 K 2 0.5 3.6 3 1 0.2 63 10 由知： 1v 一型系统 0 10 10 1.3 2 3.6 4 1 10 1 10 0.2 63 K K 又 ( ) 1 . 5 1 . 5r t t A 0 vKK 1.5 0.413 3.64 ss v A e K