函数列一致收敛性三.ppt

第十三章 函数列与函数项级数 一、点态收敛的概念 二、一致收敛性及其判别法 三、一致收敛的函数列 与函数项级数的性质 1 一致收敛性 一、函数列与函数项级数 二、函数列一致收敛性 三、函数项级数一致收敛性 下 页 上 页 返 回 一、函数列与函数项级数的的概念 1. 函数列的定义 : 收敛数列 (数项级数 )可表示、定义一个数； 试用函数列、函数项级数来表示、定义一个函数。 (1) 定义 1 是定义在同设函数 ),(,),(),( 21 xfxfxf n ., 上的函数列则称其为上一个数集 EE ,2,1),()( : nxfxf nn 或记为 ) .()(, 00 xfxfxx nn 为一个数列则函数列特别地取定 (2) 定义 2 ,)(,)( 00 点收敛在则称收敛若数列 xxfxf nn .)(0 的收敛点为也称 xfx n .)(,)( 00 点发散在则称发散若数列 xxfxf nn ,)( 上的每一点均收敛在若数列 Dxf n .)( 上收敛在则称 Dxf n 下 页 上 页 返 回 (3) 定义 3 则可确定一个新的上收敛在若 ,)( Dxf n .),( Dxxf 函数 .)()( 的极限函数为函数列则称 xfxf n nxfxfDxDxxfxf nnn ),()(,),()(l i m : 或记为 )()(lim xfxf nn即 定义 N )()(,N ,0, xfxfNnNDx n有当),( x (4) 定义 4 .)(,)( 的收敛域称为收敛点的全体集合函数列 xfxf nn 例 1 试求下列函数列的收敛域与极限函数 ),( ,2,1,)( )1( xnxxf nn 解 显然 ,1时x 0lim nn x ,1时x ,lim 不存在nn x ,1时x 1lim nn x ,1时x ,lim 不存在nn x 1,1( 收敛域为nx 极限函数 1 ,1 1|,0)( x xxf 下 页 上 页 返 回 ),( ,2,1,s i n)( )2( xnn nxxf n 解 显然 ),(s i n 收敛域为n nx 极限函数 ),(,0)( xxf ,1s i n)( nn nxxf n 0s inlim nnxn 问题： ;)( )1( 收敛域的判别函数列 xf n ).()( )2( 连续、可积、可导的分析性质极限函数 xf 是不是所有 的连续函数列的极限函数 在其收敛域上也连续。 )(l i m)()(l i m 000 xfxfxf nnxx 即 ？ 结论是：不一定 1 ,1 1|,0)(lim x xxfx n n如： .1)( 处不连续在 xxf 因此，保持连续性只有收敛的条件是不够的。 下 页 上 页 返 回 (1) 定义 5 1 )( n n xu 称为 E上的函数项无穷级数或简称为级数。 部分和实际是一个函数列 . ni inn xuxuxuxuxs 121 )()()()()( 同时称 2. 函数项级数的概念 ) ,( xuE n上的函数列设 对其各项 依次 用“ +”连接起来的表达式 )()()()( 321 xuxuxuxu n记为 部分和 . .)(, 1 00 实际为一个数项级数函数项级数 n n xuEx特别地 , (2) 定义 6 .)(,)(, 101 00 收敛点为则称收敛级数当 n nn n xuxxuEx .)(l i m)(l i m 1 00 存在即 n i innn xuxs .)(,)( 101 0 发散点为则称发散当 n nn n xuxxu 下 页 上 页 返 回 (3) 定义 7 则可确定一个新的上收敛在若级数 ,)( 1 Dxu n n .),( Dxxs 函数 .)()( 1 的和函数为函数列则称 n n xuxs Dxxsxu n n ),()( : 1 记为 )()(lim xsxs nn即 定义 N )()(,N ,0, xsxsNnNDx n有当),( x (4) 定义 8 .)(,)( 11 的收敛域称为收敛点的全体集合级数 n nn n xuxu .)()( 1 的收敛域的收敛域本质上是 xsxu n n n 余项 )()()( xsxsxR nn )( 1 xu i in Dxxsxu n n ),()( 1 收敛与若 可通过部分和函数列讨论级数的收敛域与和函数 . 下 页 上 页 返 回 例 2 试求下列级数的收敛域与和函数 ),( , )1( 1 xx n n 解 xxxxxs nn k k n 1 )1()( 1 ),( x )(lim xsnn xxx nn 1 )1(lim 1, 1,1 x xxx 发散 ),( ,)()()( )2( 12 1 xxxxxxxu nn n n 解 nn xxs )( ),( x )(lim xsnn nn x lim 1 ,1 1|,0 xx 收敛于内在 1 )1,1( n nxxx1 收敛域 1 ,1 1|,0)( x xxf和函数 1,1( 下 页 上 页 返 回 问题 ： (1) 函数项级数的收敛域与和函数； (2) 和函数的分析性质。 对有限个连续、可积、可导函数的和仍相应是 连续、可积、可导 ,有很好的运算法则 . 对无限个连续、可积、可导函数的和仍相应是 连续、可积、可导？ 由上例 (2)知 1 ,1 1|,0)()()()( 12 1 x xxfxxxxxxu nn n n .1 ,1 1|,0)( 在其收敛域上不连续 xxxf 进一步讨论和函数的性质只在收敛条件下进行不够。 下 页 上 页 返 回 1,0(,2)()( 222 1 xxenxsxu xnn n n 的部分和又如：若 1,0(,0)( xxs ,可积连续 dxxu n n 1 0 1 )( dxxs nn 10 )(l i m )()( 1 1 0 1 0 1 n k k n k k dxxudxxu由于 dxxun k kn )(l i m10 1 dxxs 10 )( dxxs nn )(l i m10 ,0 )( l i m)( l i m 1 1 0 1 0 1 n k kn n k kn dxxudxxu )1(l i m 2nnn e 1 dxxu n n 1 0 1 )( 1 10 )(n n dxxu 1 10 )(n n dxxu 结论： 即使和函数可积，求和函数的积分时也不能先 对每个函数积分后，再和 . 为此引进 一致收敛 的概念 下 页 上 页 返 回 二、函数列的一致收敛 回顾： 上连续在数集函数 Exf )( 处连续在 xxfEx )(, |)()(|),(,0 ,0, xfxfxUxEx 有当),( x 上一致连续在数集函数 Exf )( |)()(| ,|,0 ,0 xfxf xxExx 有 时当)( )()(l i m xfxf nn )()(,N ,0, xfxfNnNDx n有当),( x 1 定义 9 满足上函数列设 ),(),( xfxfD n )()(,N ,0 xfxfDxNnN n有当)( )()( xfDxf n 上一致收敛于在则称函数列 Dxnxfxf n ),(),( )( :记为 下 页 上 页 返 回 命题： Dxnxfxf n ),(),( )( )1( 若 Dxnxfxf n ),(),()(则 由定义显然可得 . (2) 反之不真 . Dxnxfxf n ),(),()( 若即 ).(),( )( nxfDxf n 上不一定一致收敛于在 ).(),( )( nxfDxf n 上不一致收敛于在 Dxnxfxf n ),(),( )( 000000 )()(,N,0 0 xfxfDxNnN n有 例 3 判断下列函数列在给定的区间上的一致收敛性 ),( ,2,1,s i n)( )1( xnn nxxf n 解 ),(,0)()(lim xxfxf nn ,N,1s i n)()( nnn nxxfxf n ,0 .1 即可取 N Rxn nx 0, s i n 下 页 上 页 返 回 1,1( ,2,1,)( )2( xnxxf nn 解 nn xxfxfx |)()(|,0 时当 000000 )()(,N,0 0 xfxfDxNnN n有 Dxnxfxf n ),(),( )( 0)11(,N,2 0 1 0 000 nnxnn故对 00 |)()(| 000 nn xxfxf 21)11( 0 n ,)11(,2m a x ,N,21 0 1 0 000 nnxNnN 取即 000 )()(0 xfxf n有 1,1(,1 ,1 1|,0)( xxxxf)( xf n从而 1,1(,1 ,1 1|,0)()( xxxxfxf n由前知 下 页 上 页 返 回 )()( xfDxf n 上一致收敛于在函数列 2. 几何意义 )()(,N )(,0 xfxfDxNnN n有当 Dx 0先取定 x o y x0 f(x0) Nn 当项数充分大即给定 ,0 的每一条曲线函数列 )( xf n . 2,)( )( 带形区域内 的宽为为中的函数 将位于以极限 xf xfy n )()( xfDxf n 上收敛于在函数列 的几何意义呢？ 下 页 上 页 返 回 3. 函数列一致收敛的判别法 (1) Cauchy准则 定理 1 上一致收敛在函数列 Dxf n )( )()(,N )(,0 xfxfDxNmnN mn有当 .)()( 未知的极限函数函数列 xfxf n 证 2)()(,N ,0 xfxfDxNnN n有当 )( xf n设 Dxxf ),( 2)()(, xfxfDxNm m有 )()()()()()( xfxfxfxfxfxf mnmn )()(,N )(,0 xfxfDxNmnN mn有当即 )()(,N )(,0 xfxfDxNmnN mn有当 ,)(, 收敛xfDx n Dxnxfxf n ),(),()(设 mxfxf mn 中令在 )()( )()(,N )(,0 xfxfDxNnN n有当 )()( xfxf n )( xf n即 Dxxf ),( 下 页 上 页 返 回 3. 函数列一致收敛的判别法 (1) Cauchy准则 定理 1 上一致收敛在函数列 Dxf n )( )()(,N )(,0 xfxfDxNmnN mn有当 .)()( 未知的极限函数函数列 xfxf n )()( ,N,N,0 xfxf DxpNnN npn有 当 虽然 Cauchy准则，较用定义判别改进一步，应用时 往往也需要较复杂的技巧，操作上不理想的弱点。 (2) 上确界判别法 )()( xfDxf n 上一致收敛于在函数列 )()( xfxf n 定理 2 Dxsupnlim 0 证 2)()(,N ,0 xfxfDxNnN n有当 )( xf n设 Dxxf ),( )()( xfxf n Dxsup,Nn 当 2 )()( xfxf n Dxsupnlim 0 下 页 上 页 返 回 (2) 上确界判别法 )()( xfDxf n 上一致收敛于在函数列 )()( xfxf n 定理 2 Dxsupnlim 0 证 )()( xfxf n Dxsupnlim 0 ,N ,0 NnN 当 )()( xfxf nDxsup ,)()(, xfxfDxNn n有当 )( xf n Dxxf ),( 此判别法涉及上确界的求法。 .,)()( 法可利用导数求最值的方上可导在、若 Dxfxf n 当然也可以适当放大，如下所述： )()( xfxf n Dxsup 若 0l i m , nnn aa 且 )( xf n Dxxf ),( 下 页 上 页 返 回 例 3 求下列函数列的收敛域，并讨论一致收敛性 ),(,)(1)( )1( 2 xnxxxf n 解 )(lim xf n n 2)(1lim nx x n 0 进一步考察一致收敛 )()( xfxf n ),( x)(xf 2)(1 | nx x )(12 1 2 22 nxn xn nan 2 1 021limlim na nnn由于 ),( x 2)(1)( nx xxf n ),( ,0)( xxf 也可以利用一致收敛的定义验证 . 下 页 上 页 返 回 ),(,)( )2( xxxf nn 解 )(lim xf nn 1,1(收敛域为 1 ,1 1|,0)( xxxf 进一步考察一致收敛 )()( xfxf n 1 ,0 1|,| xxx n 1,1(supx )()( xfxf n ,1 nlim 1,1(supx )()( xfxf n ,01 .1,1()( 上不一致收敛在故 xf n .)1,1()( 上也不一致收敛在同理 nn xxf ),1,0( k但 ,supkkx )()( xfxf n , nk nlim )()( xfxf n 0lim nn k nn xxf )( , ,0)( kkxxf 内闭一致收敛 完全与一致连 续性质相似 ,supkkx 下 页 上 页 返 回 例 4 证明 )( xf n若 ,),( Dxxf )( xgn Dxxg ),( )()( xgxf nn 则 ,),()( Dxxgxf ,N ,0 11 NnN 当 ,2)()(, xfxfDx n有证 ,N 22 NnN 当 ,2)()(, xgxgDx n有 ,N,m ax 21 NnNNN 当取 )()()()(, xgxfxgxfDx nn 有 )()()()( xgxgxfxf nn )()( xgxf nn 则 ,),()( Dxxgxf 下 页 上 页 返 回 三、函数项级数的一致收敛 函数列一致收敛是函数在区间上的整体性质，收 敛仅仅是局部性质。 下面介绍函数项级数的一致收敛性 . 1 定义 10 ,)()( 的部分和函数列是函数项级数设 xuxs nn )( xsn若 , ),( Dxxs )()( xsDxu n 上一致收敛于在则称 )()(,N ,0 xsxsDxNnN n有当)( )()(,N )(,0 xsxsDxNmnN mn有当 )()( xsxs n Dxsupnlim 0 函数项级数的一致收敛归结为部分和函数列的一致收敛 . 由前讨论可得： )()( xsDxu n 上一致收敛于在 )( xR n , ,0 Dx 下 页 上 页 返 回 以上方法只有在级数的部分和函数列能求得时可用， 然而有时求部分和函数列非常困难 . 2 函数项级数一致收敛的判别方法 (1) 必要条件 定理 3 ,)( 上一致收敛在若 Dxu n ( xun则 . ,0 Dx )()( ,N )(,0 1 xsxs DxNnN nn有 当 事实上 ,)( 上一致收敛在若 Dxu n |)(| 1 xu n即 )( xun则 . ,0 Dx 0)1,1()( 上不一致收敛于在由于 nn xxu .)1,1( 上也不一致收敛在 nx .)1,1(, 上不一致收敛在但 kkx n 页详见 32P 下 页 上 页 返 回 (2) 优级数法 Weierstrass法 定理 4 .)( 上一致收敛在则 Dxu n 此法类似于正项级数的比较法，将一致收敛转化为 寻找一个收敛的正项级数 ,称为 M-审敛法 . ).(,)( 级数为优级数称若 MMDxMxu nnn 证 由柯西收敛准则即得 收敛nM N,N ,0 pNnN 当 pnnpnn MMMM 11 | pnnpnn MMxuxu 11 |)()(|即 ,2,1,)(, ,)( nDxMxuM xuD nnn n 使得正项级数 若存在一个收敛的上函数项级数在 ,Dx .)( 上一致收敛在则 Dxu n 下 页 上 页 返 回 例 5 讨论下列函数级数在给定的区间上的一致收敛性 , )1( 绝对收敛设数项级数 na .),(c o ss i n 一致收敛性在与讨论 nxanxa nn |cos,si n nnn anxanxa 由于 收敛 na .),(cossi n 内一致收敛在与 xnxanxa nn 解 .),(,1 )2( 1 25 n xxnnx 解 )1(1 252 3 2 5 25 xnn xn xn nx )1(2 1 252 3 25 xnn xn 2 3 2 1 n 收敛由于 1 232 1 n n .),(1 1 25 n xxnnx 一致收敛在 下 页 上 页 返 回 .),(),1(,c o s )3( 1 n p xpn nx一致收敛 例 5 讨论下列函数级数在给定的区间上的一致收敛性 .),(,1s i n)1( )4( 1 2 n n x n nx一致收敛 .),1(,2 )1( )5( 1 n n n x x ),1(,1,12 1 2 )1( xn x nn n 收敛由于 12 1n .),1(2 )1( 1 内一致收敛在 xx n n n .,)!1( )6( rrxn x n )!1()!1( n r n x nn 收敛 )!1( n r n 一致收敛 下 页 上 页 返 回 类似于数项级数，有方法可以判别形如 .)()( 1 上一致收敛在 Dxvxu n nn ,)( )1( 1 上一致收敛在设 Dxu n n , )2( 是单调的数列 nvDx .)()( 1 上一致收敛在则 Dxvxu n nn 定理 5 (3) 阿贝尔判别法 ).(,N,0, )3( 称为一致有界MvnDxM n ,)()( )1( 1 上一致有界在的部分和设 Dxsxu n n n , )2( 是单调的数列 nvDx .)()( 1 上一致收敛在则 Dxvxu n nn 定理 6 (4) 狄利克雷判别法 )( 3)( xv n . ,0 Dx 下 页 上 页 返 回 例 6 讨论下列函数项级数在给定区间上的一致收敛性 ),( ,)1( )1( )1( 2 21 xx x nn 1)1()( nn xu设解 nn x xxv )1()( 2 2 nxxun k k ),(,1)( 1 显然 nnx x nx x x x n 1 1)1(0 2 2 2 2 2 2 由于 ,)1()(),( 22 单调递减nn xxxvx )( xvn则 ),( ,0 x 由狄利克雷判别法 .),()1( )1( 2 21 内一致收敛在 nnx x 下 页 上 页 返 回 ),0 ,)1( )2( 1 xn x n 例 6 讨论下列函数项级数在给定区间上的一致收敛性 nxu n n )1()( 设解 xn nxv 1)( 收敛显然 n n)1( .)1( 一致收敛 n n 单调递减xn nxv 1)( ),0 x .110 一致有界 xn 由阿贝尔判别法 .),0)1( 1 上一致收敛在 x nn