偏导数与全微分

7.2偏导数与全微分偏导数与全微分1一一偏导数偏导数 一元函数一元函数y=f(x)y=f(x)只存在只存在y y随随x x变化的变化率，变化的变化率，即点即点x x沿沿x x轴移动的一个方式下的变化率（变轴移动的一个方式下的变化率（变化快慢）化快慢）oxyPx1.一元函数变化率与多元函数变化率一元函数变化率与多元函数变化率2 二元函数二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)存在存在z z随随x x变化的变化率变化的变化率随随 y y变化的变化率变化的变化率随随x xy y同时变化的变化率。同时变化的变化率。即点即点M(x,y)M(x,y)在域在域D D内可沿内可沿x x轴轴沿沿y y轴轴沿其它直线沿其它直线方向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元方向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元函数的变化率问题，需区别沿哪一个方向的变化，函数的变化率问题，需区别沿哪一个方向的变化，比一元函数时复杂得多。比一元函数时复杂得多。o oxyzMPD D3 一元函数变化率问题是研究二元函数变一元函数变化率问题是研究二元函数变 化率问题的基础化率问题的基础 对于曲面对于曲面z=f(x,y)z=f(x,y)，当我们用过点当我们用过点(0,(0,y y0 0,0),0)而平而平行于行于xozxoz面面(垂直于垂直于y y轴轴)的平面去截时，截口是一条曲的平面去截时，截口是一条曲线线 z=f(x,yz=f(x,y0 0),),它在它在xozxoz面上的投影是面上的投影是z z对于对于x x的一元函的一元函数的图象，研究这条曲线的变化率就是研究二元函数数的图象，研究这条曲线的变化率就是研究二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)当当y=yy=y0 0时沿时沿x x轴方向的变化率。轴方向的变化率。4M MMMP P0 0 x0D DS SXyzz=f(x,yz=f(x,y0 0)oy05 二元函数二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)当当y y不变不变(x x不变不变)时，时，对于对于x x(对于对于y)y)的变化率，就是二元函数的变化率，就是二元函数 的的偏导数偏导数。一般地，当一般地，当y不变时，不变时，z=f(x,y)是是x的一元函数，的一元函数，研究这个一元函数的变化率研究这个一元函数的变化率，就是研究二元函数就是研究二元函数z=f(x,y）沿沿x轴方向的变化率。轴方向的变化率。对于对于x不变时，情形类似。不变时，情形类似。62 2偏导数定义偏导数定义 设二元函数设二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)在在(P P0 0(x(x0 0,y,y0 0)有定义，有定义，当当y=yy=y0 0不变时，不变时，x x在在x x0 0取得增量取得增量 x x，相应地函数有相应地函数有 增量增量f(xf(x0 0+x,yx,y0 0)-f(x)-f(x0 0,y,y0 0)，若若存在，则称存在，则称A A为为z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x(x0 0,y,y0 0)处处对于对于x x的偏导数的偏导数记为记为 如如7类似地，类似地，z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点P P0 0(x(x0 0,y,y0 0)处处对对y y的偏的偏导数导数定义为定义为记为记为 8注记注记：偏导数偏导数f fx x(x(x0 0,y,y0 0),f),fy y(x(x0 0,y,y0 0)分别描述分别描述z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x x0 0,y,y0 0)处沿处沿 x x方向，方向，y y方向的变化率；方向的变化率；z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x x0 0,y,y0 0)处沿其它方向的变化率称处沿其它方向的变化率称为方向导数，将在后面讨论；为方向导数，将在后面讨论；二元以上的多元函数的偏导数，类似二元函数二元以上的多元函数的偏导数，类似二元函数情形情形。93 3偏导函数概念偏导函数概念 偏导函数：偏导函数：当z=f(x,y)z=f(x,y)在域内每一点(x,y)(x,y)处对 x x（y y ）的偏导数都存在，则它就是x,yx,y的函数，称为偏导函数偏导函数。记号：z=f(x,y)z=f(x,y)在(x x0 0,y,y0 0)处的偏导数是偏导函数在 (x x0 0,y,y0 0)处的函数值。在不至混淆时常称偏导函数偏导数。或或或或104 4偏导数的计算法偏导数的计算法 对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自 变量视为常数，按一元函数求导法则计算变量视为常数，按一元函数求导法则计算：求求 时，只要把时，只要把y y暂时看作常量而对暂时看作常量而对x x求导数；求导数；求求 时，只要把时，只要把x x暂时看作常量而对暂时看作常量而对y y求导数。求导数。11 求求 在点（在点（1，2）处的偏导数）处的偏导数解解：例例112解解：求求 的偏导数的偏导数13解解：设设 ，求证，求证14解解：求求 的偏导数的偏导数(三元函数三元函数)155.5.偏导数的几何意义偏导数的几何意义 切线切线M M0 0T Tx x对对x x轴的斜率轴的斜率 切线切线M M0 0T Ty y对对y y轴的斜率轴的斜率oxyzM M0 0P P0 0 x0y0TyTxz=f(xz=f(x0 0,y),y)z=f(x,yz=f(x,y0 0)16例例2 2 求二元函数的偏导数17解解（1）：18解解（2 2）：当当 时时 当 时196.6.高阶偏导数高阶偏导数二阶偏导数：二阶偏导数：设 为D上的二元函数，则其在，则其在 D上的偏导数为 若二元函数若二元函数 的偏导数也存在，的偏导数也存在，则称其是函数则称其是函数 的的二阶偏导数二阶偏导数。20z=f(x,y)z=f(x,y)的二阶偏导数的二阶偏导数记号：记号：21例例5 求二阶偏导数求二阶偏导数解：22解：23注记注记：若若 在在D内连续，则在内连续，则在D内内 （二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！）（二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！）类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、n阶阶 偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数；偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数；二元函数的二阶偏导数有二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有个，三阶有8个，个，n阶有阶有2n个；三元函数的个；三元函数的n阶偏导数有阶偏导数有3n个；个；等等。等等。247.7.偏导数的经济意义偏导数的经济意义边际需求边际需求:偏弹性偏弹性:两种商品，价格分别为 和需求函数：称为边际需求发生变化，而 不变时其中：25发生变化，而 不变时其中：称为1商品需求量 对自身价格 的直接价直接价格偏格偏 弹性弹性；称为1商品需求量 对相关价格 的交叉价格偏弹性交叉价格偏弹性。26二全微分二全微分 1全增量全增量偏增量偏增量：对于对于z=f(x,y)z=f(x,y)若两个自变量中只有一若两个自变量中只有一 个变化时，函数个变化时，函数z z的增量称为的增量称为偏增量偏增量。例如：矩形板在长为矩形板在长为x x0 0，宽为宽为y y0 0时，若仅当长增加时，若仅当长增加 x x(或宽增加或宽增加 y y)，则面积的增量是偏增量。，则面积的增量是偏增量。右端称偏微分右端称偏微分27全增量：全增量：对于对于z=f(x,y)z=f(x,y)，若两个自变量都取若两个自变量都取 得增量时，函数得增量时，函数z z的增量称为全增量。的增量称为全增量。例如：例如：矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变 这时面积的改变量（增量）就是全增量这时面积的改变量（增量）就是全增量。定义定义(全增量全增量)：设设z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点P P0 0(x(x0 0,y,y0 0)的邻域的邻域(P P0 0)内有定义，当内有定义，当 x x：x x0 0 x x0 0+x x；y y：y y0 0 y y0 0+y y，相应地相应地 z z：f(xf(x0 0,y,y0 0)f(x)f(x0 0+x,yx,y0 0+y)y)P(xP(x0 0+x,yx,y0 0+y)y)(P P0 0)称称 z z =f(x=f(x0 0+x,yx,y0 0+y)-f(xy)-f(x0 0,y,y0 0)为为 z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点 P P0 0 的关于自变量增量的关于自变量增量x x、y y的的 全增量全增量。28例例3 设矩形金属板的长宽各为设矩形金属板的长宽各为x x0 0,y,y0 0，受热后分，受热后分 别有增量别有增量x,x,y y，求矩形面积的增量，求矩形面积的增量S S。解：解：S=xS=xy y S=S=f(xf(x0 0+x,yx,y0 0+y)-f(xy)-f(x0 0,y,y0 0)=(x =(x0 0+x)(yx)(y0 0+y)-xy)-x0 0y y0 0 =x =x0 0y+yy+y0 0 x+x+x xy yoxyx x0 0y y0 0y y0 0+y yx x0 0+x xx x0 0y yy y0 0 x xx xy y29 与一元函数一样，我们希望全增量与一元函数一样，我们希望全增量zz能用自变量增能用自变量增 量量x,x,y y的线性函数（线性主部）来近似地表达。的线性函数（线性主部）来近似地表达。定义定义（全微分全微分）：若函数若函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)x,y)的全增量可表示成的全增量可表示成 z=z=f(xf(x+x,yx,y+y)-f(x,y)=Ay)-f(x,y)=Ax+Bx+By+o(y+o()其中其中A，B不依赖不依赖x,x,y y仅与仅与x,yx,y有关，有关，则称函数则称函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)x,y)可微分可微分（简称（简称可微可微）把把A Ax+Bx+By y 称为函数称为函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)x,y)的的全微分全微分 记为记为d dz z，即，即 dzdz=A Ax+Bx+By y (z z的线性主部的线性主部)30注记注记：若z=f(x,y)z=f(x,y)在域D内各点可微分，则称 z=f(x,y)z=f(x,y)在D内可微分；z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)可微分 z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)连续；由于自变量增量等于自变量的微分 x=dx,x=dx,y=dyy=dy，故全微分 dzdz=A Adx+Bdx+Bdydy 31 z=f(x,y)z=f(x,y)在在(x,y)x,y)可微分的必要条件可微分的必要条件 定理定理1：若若z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)x,y)可微分，则可微分，则z=f(x,y)z=f(x,y)在在(x,y)x,y)的偏导数的偏导数 必定存在，且必定存在，且32证明：证明：由条件由条件 当当(x+x+x,y+x,y+y)y)(x,y)x,y)时时 z z=A=Ax+Bx+By+o(y+o()特别地特别地(x+x+x,y)x,y)(x,y)x,y)，有，有 z z=A=Ax+o(x+o()=A)=Ax+o(x+o(x)x)同理同理33 z=f(x,y)z=f(x,y)在在(x,y)x,y)可微分的充分条件可微分的充分条件定理定理2 2：若若z=f(x,y)z=f(x,y)的偏导数的偏导数 在点在点(x,y)x,y)连续，则连续，则z=f(x,y)z=f(x,y)在在 (x,y)x,y)可微。可微。（本定理的证明不作要求！（本定理的证明不作要求！）34注记注记：对于一元函数对于一元函数y=f(x)y=f(x)在在x x可微可微 y=f(x)y=f(x)在在x x可导可导且且 dy=f(x)dxdy=f(x)dx 可导可导 连续连续35多元函数连续、偏导数存在、可微的关系多元函数连续、偏导数存在、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数偏导数存在函数偏导数存在36注记注记：二元函数全微分定义及可微分条二元函数全微分定义及可微分条 件可完全类似地推广到三元及三件可完全类似地推广到三元及三 元以上的多元函数情形。元以上的多元函数情形。多元函数全微分符合叠加原理：多元函数全微分符合叠加原理：37例例4 求 的全微分解：解：38例例5 求 的全微分 解：解：39