有限元中的半解析法

有限元中的半解析法在现实生活中，由于求解的问题复杂、规模较大，常规的有限单元法的 费用较高，已经不适用。因此，我们希望找到其他的方法以减少计算工作量，降 低费用。这时，半解析法具有其优势，它是一种离散与解析相结合的方法。目前，常用的半解析法有三种：组合条-元法，有限元线法，有限条法；1.组合条-元法(CombinatoryStrip-ElementMethod )为了克服有限条半解析法所存在的局限性，又能存有有限条的一些优点，我 们又提出了所谓的组合条-元法。这是一种将有限条和有限元的特点组合起来 的方法。下面我来介绍组合条-元法的构造思路。与条元法一样，以窄长条带为单元，不同的是，节线的两端设置有结点。由 于任一函数均可由完备函数集中的基函数来表达，可采用如下两步法构造单元位 移场：(1) 由结点位移参数，采用形函数插值构造条带单元的节线位移，这一步与 有限元一样。(2) 以上述节线位移作参数，沿条带短边方向进行多项式插值，从而构造条 带的位移场。经过以上两步，即可得到d 二 N 8e + 恤=N 8e(7)式中 n -由结点位移参数构造的位移部分；恤沿长边方向由级数构造的位移部分。然后就可以按普通有限元进行分析。这种方法克服了有限条法的缺陷，币有限元减少了很多未知量。使用这种方 法我们解决了平面问题、薄板问题、折板与平面壳体等的线性与非线性、静力与 动力分析；并联合应用了有限元、组合条元与映射无限元求解过路面力学问题。 是一种可行的方法。2 有限元线法（FiniteElementMethodofLines ）有限元线法（FEMOL ）是袁駟提出的一种以常微分方程求解器为支撑软件 的新型半解析法。有限元线法的构造思路有以下几步：.（1）建立参数FEMOL的单元映射。为适应复杂形体问题的计算，可建立 母单元与子单元的映射关系。（ 2 ）构造参数FEMOL的变量场:单元上的变量场可由节线未知函数U（ n） 通过g方向的形函数Nj（g）插值得到。u 二严 NQug 二 Nue（8）i=i式中N二咔）N 1（勺u二u（）n u （n）u 1（明）12p + 1（3 ）参数FEMOL的能量泛函的确定：结构中每个单元的能量为ne ,它是 n的函数。则整个求解域的能量为：n = s ne（9）e（4）建立常微分方程体系：常微分方程建立后，经过一系列的处理后即可 用求解器（Solver）来求未知节线位移函数。有限线元法中，由于引入参数单元，是可用于不规则区域的求解；由于未知 节线位移是通过解常微分方程组得到的，其自然精度要比其他方法高。也是一种 很有效的半解析方法。小嘴:半解析法的具体方法有多种，这里只介绍了三种方法。并对有限条法作了详细的介绍。在实际中每种方法都有其优势，也有其不足。我们应根据具体 的情况和要求，采用某种合适的方法，或者联合使用多种方法进行具体分析，已 达到要求的目的。3 有限条法( FiniteStripMethod )有限条法是由张佑启先生提出的一种方法，用以解决规则形体问题。本方法 具有工作量小、精度高的优点。下面将以薄板为例，介绍位移场的构造方法。X(b)分割单元如图1 (a)所示，有一矩形薄板，设每条边界的支承条件相同，图中表示了 三种支承情况，图1 (b)用一些与边界线平行的直线将板分割成若干窄长的条带 以此组成有限元分析中的单元。下面介绍这种条带单元位移场的建立思路。-.简支边 边；固定地(a)矩形薄板示意图图1矩形薄板与有限条离散示意图1.1确定位移模式对于薄板来说，挠度可用分离变量形式表示w(x, y) = fm(y) xm(x)m=11.2边界条件的确定本例中也可取Xm(x)满足条带两端的边界条件的梁振形函数，它是如下微分方程的解:d4XdXl=(u)4Xa(2)式中u -是振型参数，由边界条件确定图1(a)所示的是一端固定一端简支的情况，则有:Xm(x)=sinsin u , u x m Sh4 shuam(3.1)式中，振型参数u由tg u =tanh u确定，具体取值见表1。mmm表1 u的取值mm :1234um3.92667.068510.2102 4 m +14其他对边约束条件情况振型函数Xm(x)为：两端简支u xX (x )=sin Jmu =m nm(3.2)(2)两端固定V (u a)、(3.3)X (x)=V(u x)-丄 U(u x)m mU (u a)mmu由cos u ch u =1确定，取值如下表2。mm m表2 u的取值mm :1234um4.730047.853210.9556082m +1TT1 12(3)两端自由X 1( x) = 1X 2( x) = 1 -弐aXm =咖-陽叽)-3 m /r(3.4)在m3时，u由表2中取得。m(4)一端固定一端自由Xm = V(UmX)-册 U (UmX)(3.5)m :12 3u :m1.8754.694 2m-1n2u由cosu chu二-1确定，取值如下表3。mm m表3 u的取值m(5 )一端简支一端自由X 1( x)=-au x sin u , u x X (x)=sm + m sh一 ma shu amu从m=2开始，按表1取值。m(3.6)在以上各式中，S、T、U、V是振动理论中的克雷洛夫函数，即u x u XS(u x) = cos- + ch- aau x 7 u x(3.7)(4)T (u x) = sin 匚 + s haau x u xU (u x) = cos + ch maau x u xV (u x) = sin 匚 + shmaa由于振型函数的正交性，Xm(x)存在如下正交关系JaXXdxaX Xndx = 0m/nm nm n0 013确定位移场在此过程中，沿短边方向上条间节线的未知位移为参数，在满足收敛性准则 的前提下由形函数插值构造。对只有外节线的条元，设左右两侧节线位移参数矩 阵为61m、52m，相应的形函数矩阵为血、N?，则有fm(y) = N1 N26 T1m 5 T2mT(5)若为内节线的高阶条元，记内节线位移参数与形函数为53m、N3则fm(y) = Ni N2N35Tim 5 T2m 5 T3mT其余的可类推。若仅以节线位移为参数时，则fm(y)= 1 -卡 b1m 3渝当以节线位移和转角为参数时，有fm(y) = Ni N2 N3 N43 Tim 5 Tim 3 2m 52mT上式中Ni为梁的Hermite函数。将fm(y)、Xm(x)带入式，整理后即可得到位移场的标准形式。本例为薄 板，则条带单元的位移场为(x,y)= N e本例中的思路也可用来构造二维、三维等问题的位移场，对于三维问题来说 有u(x, y, z) = fm(x, y) Z(x)时m=1由于任意函数均可展为完备的正交函数，因此，只要级数项数足够大，就可 保证位移场沿条带长边方向趋于精确。如果有一方向可取解析解，离散仅在另外 方向进行，从而使得未知量数目大大减少，二维问题降为一维、三维降为二维。 如采用的是正交函数集，对一些问题由于正交性，各级数项积分不耦联，这也会 减少工作量。1.4有限条法的不足虽然样条法在实际中有广泛的应用，但依然有一定的局限性：(1) 条元不可能在长边方向连接有限元或其它单元。(2) 当结构的某一边界并非同一支承情况，如矩形板的四条边线，每条边上 均同时存在多种支承情况，显然在边界条件不同的相邻条元间，由于Xm(x)不同， 当然不可能保证位移间的协调性，因此，有限条将无法使用。(3 )即使边界支承条件在同一边界完全相同，但如本例中第一部分薄板情况 Xm(x)有6种情况，程序比较繁琐。