高考数学复习点拨 函数奇偶性判断

函数奇偶性判断在函数奇偶性概念的学习中，应多方面、多角度地思考概念的内涵，要掌握函数奇偶性定义的等价形式，注重寻求简捷的解题方法，函数奇偶性的定义是：如果对于函数定义域内任意一个x，都有（或），那么函数就叫做奇函数（或偶函数）。函数奇偶性的定义反映在定义域上：若是奇函数或偶函数，则对于定义域D上的任意一个x，都有，即定义域是关于原点对称的。函数奇偶性定义给出了判断奇偶函数的方法。1.相加判别法对于函数定义域内的任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。例1判断函数的奇偶性。解法1：利用定义判断，由，可知是奇函数。解法2：由xR，知。因为，所以是奇函数。2. 相减判别法对于函数定义域内任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。例2判断函数的奇偶性。解：由xR，知。因为，所以是偶函数。3. 相乘判别法对于函数定义域内任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。例3证明函数是偶函数。证明：由xR，知。因为，所以是偶函数。4.相除判别法对于函数定义域内任意一个x，设，若，则是奇函数；若，则是偶函数。例4证明函数是奇函数。证明：由，知且，所以定义域关于原点对称。因为，所以是奇函数。点评：上述各例，若用定义判定，则困难程度可想而知。用等价定义判断解析式较为复杂的函数的奇偶性时，方便快捷，可化繁为简，会使大家感到思路清晰，目标明确，思维视野大为开阔，值得同学们注意。5、对称判断法其判定的法则是：（1）看关系式是否出现（此为奇函数）或（此为偶函数），（2）看定义域是否关于原点对称；（3）看图象是否关于原点对称（此为奇函数）或关于y轴对称（此为偶函数）。显然，法则（1），（2）与法则（3）是等价的。也就是说，一个函数不满足这三条法则中的任何一条，它是非奇非偶函数；如果函数f（x）满足了法则（1），（2）或者满足法则（3），则可判定它的奇偶性。因此，就奇偶性而言函数可以分为四类：奇函数；偶函数；既是奇函数又是偶函数；非奇非偶函数。设f（x）是奇函数，如果当x0时，则（证明从略，类似情况略）。设f（x）是奇函数，如果当x0时，f（x）是增函数，则当x0时，f（x）仍然是增函数（证明从略，类似情况略）。例5. 判定函数的奇偶性。解：函数的定义域满足，即为，函数的图象表示两个点：（-1，0），（1，0）。其图象既关于原点对称，又关于y轴对称。从而函数f（x）既是奇函数又是偶函数。