《工程传热学》PPT课件.ppt

华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science 突然把两侧介质温度降 低为 t并保持不变；壁 表面与介质之间的表面 传热系数为 h。 两侧冷却情况相同 、 温 度分布对称 。 中心为原 点 。 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 31 导热微分方程： 2 2 x tat 初始条件： ,0 0tt 边界条件： (第三类 ) 0 ,0 xtx )(- , tthxtx 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 32 2 2 x tat ,0 0tt )(- , 0 ,0 tthxtx xtx 过余温度 ),( txt 2 2 xa 00 ,0 -tt 0 ,0 xx xhxx - , 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 33 采用分离变量法求解：令 )()( TxX 2 2 xa 00 ,0 -tt x hxx xx - , 0 ,0 Ddx XdXddTaT 2 211 只能为常数： 2 211 dx Xd Xd dT aT 只为 的函数 只为 x的函数 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 34 对 积分 DT aT 1 得到 aDeCT 1 式中 C1是积分常数 ， 常 数值 D的正负可以从物 理概念上加以确定 。 当时间 趋于无穷大时，过程达到稳态， 物体达到周围环境温度，所以 D必须为负 值 ，否则物体温度将无穷增大。 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 35 令 2D 21 d dT aT 则有 以及 2 2 2 1 dX X d x 以上两式的通解为： 21 aeCT )s i n ()c o s ( 32 xCxCX 于是 )s i n()c o s (),( 2 xBxAex a 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 36 常数 A、 B和 可由边界条件确定。 00 ,0 -tt x hxx xx - , 0 ,0 (1) (2) (3) 由边界条件（ 2）得 B=0 )s i n()c o s (),( 2 xBxAex a （ a） 边界条件（ 3）代入 (b) 得 (c) htg )( （ a）式成为 (b) )c o s (),( 2 xAex a 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 37 将 右端整理成： htg )( Bihh 1 注意，这里 Bi数的尺度 为平板厚度的一半。 显然， 是两曲线交点 对应的所有值。式 (c) 称为 特征方程。 称为 特征值。分别为 1、 2 n。 y 2 23 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 38 )c o s (),( 111 21 xAex a )c o s (),( 222 22 xAex a )c o s (),( 2 xAex nnan n . 1 )c o s (),( 2 n nn a xAex n 将无穷个解叠加： 至此，我们获得了无穷个特解： 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 39 利用初始条件 求 An 00 ,0 -tt 1 )c o s (),( 2 n nn a xAex n )c o s ()s i n ( )s i n (2 0 nnn n nA 解的最后形式为： )e x p ()c o s ()c o s ()s i n ( )s i n (2),( 2 1n 0 nn nnn n axx 令 n=n )e x p ()c o s (c o ss i n )s i n (2),( 22 1n0 nn nnn n axx 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 40 xA n n n c os 1 0 x dxxAx dx mn n nm c osc osc os 0 100 0 0 2 0 c o s 2 s in s in c o s( c o s ) n n n n n nn x d x A x d x 由初始条件可得： 上式两边乘于 cosmx，并在 (0, )范围内对积分得： 考虑式 (3-25)和三角函数的性质，上式右端当 m n 时均为零，故得： 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 41 )e x p ()c o s (c o ss i n )s i n (2),( 22 1n0 nn nnn n axx 2Fo a 傅里叶准则 )e x p ()c o s (c o ss i n )s i n (2),( 2 1n0 nn nnn n Foxx 2Fo a hBi x 无量纲距离 ) ,Fo B i ,(),( 0 xfx 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 42 定义无量纲的热量 0Q Q 其中 Q为 0时间内传导的热量（内热能的改 变量） VcQ 00 为 至无穷 时间内的总传导热量 （物体内能改变总量） 设从初始时刻至某一时刻 所传递的热量为 Q: )( ),( 0 0 0 ttcV dVxttc Q Q V dVtt ttttV V 0 0 )(1 0 1 dV V V 0 11 dVttV V )(1 是 时刻物体的平均过余温度。 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 43 2 非稳态导热的正规状况阶段 当 Fo 0.2时，采用级数的第一项计算偏差小 于 1%，故当 Fo 0.2时 : xe Fo 1)( 111 1 0 c o s)c o s ()s i n ( )s i n (2 21 其中 1是第一特征值，是 Bi的函数。 Bi 0.01 0.05 0.1 0.5 1.0 5.0 10 50 100 1 0.0998 0.2217 0.3111 0.6533 0.8603 1.3138 1.4289 1.5400 1.5552 1.5708 )e x p ()c o s (c o ss i n )s i n (2),( 22 1n0 nn nnn n axx 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 44 为了分析这时温度分布的特点，将式取对数得： xFo 1 111 12 1 0 c o sc o ss i ns i n2ln)(ln 式右边第一项是时间 的线性函数 ， 的系数只 与 Bi有关 ， 即只取决于第三类边界条件 、 平壁 的物性与几何尺寸 。 右边第二项只与 Bi、 x/ 有关 ， 与时间 无关 。 上式说明 ， 当 Fo 0.2,平壁内所有各点过余温 度的对数都随时间线性变化 ， 并且变化曲线的 斜率都相等 ,这一温度变化阶段称为非稳态导热 的正规状况阶段 。 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 45 ln( / 0 ) Fo 0. 2 正规状况阶段 x / = 0 x / = 1 ln( / 0 ) 正规状况阶段 xx m )(c o s)( ),( 1 这时比值与 无关，仅与几何位置 (x/)及边界 条件 (Bi数 )有关。即初始条件的影响已经消失。 无论初始分布如何，无量纲温度都是一样的。 这是非稳态导热的正规状态或充分发展阶段。 当 Fo 0.2时任一点过余温 度与中心过余温度之比为 xe Fo 1)( 111 1 0 c o s)c o s ()s i n ( )s i n (2 21 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 46 xx m )(c o s)( ),( 1 令 x = 可以计算平壁表面温度和中心温度的 比值 。 又由 表 3-1可知 ， 当 Bi 0.1时 ， 1 0.95。 即当 Bi 0.1时 ， 平壁表 面温度和中心温度的差别小于 5%， 可以近似 认为整个平壁温度是均匀的 。 这就是 3-2节 集 总参数法的界定值定为 Bi 10， 即 Bi0.1时 ， 所有曲线上的过余温度差值小于 5%， 这时可 以用集总参数法求解而误差不大 。 一般为了 得到更高精确度 ， 可使 Bi0.01为下限 ， 误差 极微 。 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 55 例 3-2：一块厚 100mm的钢板放入温度为 1000 的炉 中加热。钢板一面加热，另一面可认为是绝热。初始 温度 t0=20 ，求受热面加热到 500 所需时间，及剖 面上最大温差。 (h = 174 W/(m2K), = 34.8 W/(mK), a=0.555 10-5 m2/s) 解：这一问题相当于厚 200mm平板对称受热问题 ， 必须先求 m/0， 再由 m/0、 Bi查图求 Fo。 m wwm 00 w/m可查图 3-5。而 51.0C20C1000 C500C1000 00 tt tt ww 5.0KW / m8.34 m1.0KW / m1 7 4 2 hBi 21 Bi 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 56 由 m/0和 Bi从图 3-4查得 Fo=1.2（较困难）。 h6.0s1016.2/sm10555.0 )m1.0(2.1 325 22 aFo 又 x/=1, 从图 3-5(p34)查得 w/m=0.8. 637.0 8.0 51.0 0 m 求中心（绝热面）温度 : 637.0 0 m C376C1 0 0 0)C1 0 0 0C20(637.0 ct 求剖面最大温差 : C241C376C500m a x t 讨论 : 直接计算 : 5.0KW / m8.34 m1.0KW / m1 7 4 2 hBi 查表 得 1 = 0.6533, 另： 51.0C20C1000 C500C1000 00 tt tt ww 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 57 由温度分布式 6533.0c os)6533.0e x p(6533.0c os6533.0s i n6533.0 6533.0s i n251.0 2 Fo 79 81.0)42 68.0e x p (07 01.151.0 Fo xe Fo 1)( 111 1 0 c o s)c o s ()s i n ( )s i n (2 21 得 Fo = 1.196. 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 58 4 一维圆柱及球体非稳态导热 经过分析，对于半径为 R的长圆柱和半径为 R的球体 在第三类边界条件下的一维非稳态导热问题，可以 导出和平壁形式类似的温度分布 ： 1 2 0 )e x p (),( n nnn fFoA x Bi 和 BiR分别为以 和 R 为特征尺寸的毕渥数 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science & Engineering 2021/3/21 59 第三章 作业 习题： 3-1， 3-3， 3-7， 3-12