《高等数学微积分》PPT课件

高等数学 (一 )微积分 一元函数微分学 ( 第三章 、 第四章 ) 一元函数积分学 （ 第五章 ） 第一章 函数及 其图形 第二章 极限和 连续 多元函数 微 积 分 （ 第六章 ） 高数一串讲 教材所讲主要内容如下： 串 讲 内 容 第一部分 函数极限与连续 第二部分 导数微分及其应用 第三部分 积分计算及应用 一 元 和 多 元 第一部分 函数极限与连续 1. 一元函数的概念 定义域 值域 函数为特殊的映射 : 其中 2. 二元函数的概念 定义域 值域 函数为特殊的映射 : 其中 一、 函数 二、极限 三、连续 一、 函数 概念回顾 3. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 4. 反函数 设函数 为单射 , 反函数为其逆映射 DDff )(:1 5. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 )(: DgfDgf 6. 初等函数 由基本初等函数 经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函 数。 例 1 . 下列函数中，函数的图象关于原点对称的是 （ ） (1) 2 21yx ； ( 2) 3 2 siny x x ； (3) 1yx 知识点： 函数的奇偶性 若对于任何 x ，恒有 ( ) ( )f x f x 成立，则称 ()fx 是奇函数。若 对于任何 x ，恒有 ( ) ( )f x f x 成立，则称 ()fx 是偶函数 奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于 y 轴对称 解： (1 ) 22 ( ) 2 ( ) 1 2 1 ( )f x x x f x ， 故 2 21yx 为偶函数 (2) 33 ( ) ( ) 2 sin ( ) 2 sin ( )f x x x x x f x ，故 3 2 si ny x x 为奇函数，图形关于原点对称。 (3) ( ) 1f x x ，它既不等于 ()fx ，也不等于 ()fx ，故 1yx 是非奇非偶函数 例 2 下列各函数中，互为反函数的是（ ） （ 1 ） tan , cot y x y x （ 2 ） 1 2 1, ( -1) 2 y x y x 知识点： 反函数 求反函数的步骤是：先从函数 ()y f x 中解出 1 ()x f y ，再置换 x 与 y ，就得反函数 1 ()y f x 。 例 3 . 设函数 1 () 1 x f xx ， 求 ( 2 )fx 知识点： 复合函数 解： 令 11 ,tx xt ， 因为 1 1 111 1 x t xt t 故： 1 () 1 ft t 即 1 () 1 fx x ， 1 ( 2 ) 12 fx x 例 4 ： 求下列函数的定义域。 （ 1 ） 1 ln ( ) ;z x y x （ 2 ） 2 s in ( ) ln ( 2 ) 2 x f x x x x 知识点： 定义域 多元函数定义域的求法和一元函数定义域的求法类似，使表达式有意 义的点的集合 。 解 ： （ 1 ）由函数的表达式可知： 0 x 且 0 xy 故函数的定义域为： ( , ) | 0 0 x y x x y 且 （ 2 ）要 使函数有意义必须满足 2 20 20 xx x ，即 12 2 xx x 或 ， 故 ( 2 , 1 ) ( 2 , )D 二、 极限 （ 1 概念回顾 2 、极限的求法 ，） 1 概念 回顾 1 ） 数列极限 l i m , n n aA 函数极限 l i m ( ) x f x A 2 ） 函数极限与单侧极限之间的关系 0 0 0 0 0 li m ( ) li () li m ( ) . m ( )() xx xx xx f x Afx f fx xA f Ax 3 ） 特殊极限 ：无穷大和无穷小 若当 l i m 0u ，则称变量 u 为无穷小量 ( 或无穷小 ) l i m , l i m , l i mu u u ，则称变量 u 为无穷大量 ( 或无穷大 ) 4 ） 极限与 无穷小得关系定理 u A u A ， 其中 是该极限过程中的无穷小 2、 极限的求法 利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5 ： 求 2 5 lim 9x x x 解： 2 2 2 15 5 l i m l i m 9 9 1 xx x xx x x 2 2 15 l i m ( ) 0 0 9 1 l i m ( 1 ) x x xx x 知识点： 设 00 0 , 0 , ,a b m n N ， 则 10 10 li m 0 m n a b m m n x n mn a x a x a mn b x b x b mn 例 6 . （ 1 ） n1 n+ 1 2 54 lim 53 n n n （ 2 ）、 cos lim sin x xx xx （ 05 年 10 月） 解： （ 1 ） 1 n1 2 n + 1 2 1 1 1 4 () 54 5 5 5 li m li m 3 53 1 3 ( ) 5 n n n nn n 1 2 1 1 1 4 l i m ( ) 1 5 5 5 3 5 1 3 l i m ( ) 5 n n n n （ 2 ） c os 1 c os li m li m 1 si n si n 1 xx x xx x x xx x 例 7 . （ 1 ） li m ( 3 ) n n n n n （ 06 年） （ 2 ） lim( 3 ) 1 . n n n n （ 05 年） 解： （ 1 ） ( 3 ) ( 3 ) l i m ( 3 ) l i m 3 nn n n n n n n n n n n n n n n n n 44 lim lim 2 3 1 3 1 nn n n n n n n n nn （ 2 ） ( 3 ) ( 3 ) lim( 3 ) 1 lim 1 3 nn n n n n n n n n nn 1 31 3 1 3 l i m l i m 2 33 11 nn n n nn n 例 8 . （ 1 ） 1 li m ( ) x x x ex （ 06 年 1 月 ) （ 2 ） 0 lim 1 2 x x x 知识点： 重要极限 1 l i m ( 1 ) n n e n ， 0 1 li m ( 1 ) t t et ， l i m ( 1 1 ) x x x e 1 () ( ) 0 , lim ( 1 ( ) ) ux x u x u x e 适用特点 1 解： （ 1 ） 111 l i m ( ) l i m ( 1 ) l i m ( 1 ) x x e x x x x e xx x x x xx e x e e ee 1 0 li m ( 1 ) x x e e x x x x e e e e e （ 2 ） 1 00 lim 1 2 lim( 1 2 ) x x xx xx 0 ( 2 ) 1 2 2li m ( 1 ) x x x 0 ( 2 ) 1 2 2lim ( 1 ) x x x ( 2 ) 0 2 2 1 lim( 1 ) 2 x x ex 例 9 . 2 0 0 0 t an sin 1 c os ( 1 ) li m ( 2 ) li m ( 3 ) li m ( 4 ) li m ( sin ) x x x n x kx x n x x x n 知识点： 重要极限 0 s i n l i m 1 x x x ( ) 0 s in ( ) li m 1 () ux ux ux 0 si n li m 1 n n a n a a 解： 0 0 0 0 t a n sin 1 sin 1 ( 1 ) lim lim lim 1 1 1 c o s lim c o s x x x x x x x x x x x x ( 2 ) 0 0,u k x x u 令 ， 等 价 于 0 0 0 sin sin li m li m li m 1 sin x x u kx kx k k k k x kx u u 2 0 2 2 0 ( 3 ) li m l 2 sin 1c 2 im os xx x xx x 2 0 2 s i n 2 lim 2 ( ) 2 x x x 2 0 sin 2 2 11 lim 22 x x x (4) s i n l i m ( s i n ) l i m nn n n n n l i m ( si n ) n n n 注意： 等价无穷小 0 x 时 ， s i n , t a n , a r c s i nx x x x x x ， 2 1 c o s 2 x x 0 n a 时， s i n nn aa ( ) 0ux 时， s i n ( ) ( )u x u x 例 10 . （ 1 ） 0 ( 1 ) lim c o s 1 x x xe x （ 06 年 1 月 ） （ 2 ） 2 x0 1 si n 3 lim ( 1 c os 2 ) l n ( 1 ) x ex xx （ 3 ） l i m l n ( 2) l n x x x x （ 05 年 .10 月） 知识点： 用等价无穷小代换求极限 设 , , , 都是无穷小 ， 如果 , ， 则 li m li m 解： （ 1 ）因为 2 1 1 , c os 1 2 x e x x x 所以 00 2 ( 1 ) li m li m 2 1 c os 1 2 x xx x e xx x x （ 2 ）因为 2 2 1 x ex ， sin 3 3xx ， 221 2 1 c o s 2 ( 2 ) 2x x x ， l n ( 1 ) xx 所以 2 x0 1 si n 3 lim ( 1 c os 2 ) l n ( 1 ) x ex xx 2 2 x0 ( 3 ) 3 lim ( 2 ) 2 xx xx （ 3 ） 22 li m ln ( 2 ) ln li m ln ( 1 ) li m 2 x x x x x x x x xx 注： 在使用等价无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加 减法代换，即只 对极限中的各个因式进行代换 记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小 1 . s i n ,xx 导出 ( ) 0ux 时 ， s i n ( ) ( )u x u x 2 . t an ,xx 导出 ( ) 0ux 时 ， t a n ( ) ( )u x u x 3 . a r c s i n xx ， 导出 ( ) 0ux 时 ， a r c s i n ( ) ( )u x u x 4 . 1 x ex ， 导出 ( ) 0ux 时 ， () 1 ( ) ux e u x 5 . l n ( 1 ) xx ， 导出 ( ) 0ux 时 ， l n 1 ( ) ( )u x u x 6 . 2 1 c o s 2 x x ， 导出 ( ) 0ux 时 ， 2 () 1 c os ( ) 2 ux ux 例 11 . (1) 0 1 c os 3 li m . 1 c os 4x x x （ 05 年 7 月） (2) 2 2 l n si n l i m . 2 x x x （ ） (05 年 10 月 ) 知识点： 洛必达法则 若分式极限 () () lim fx gx 是 0 0 或 型的未定式 ， 则当 () () lim fx gx 存在时， () () lim fx gx () () lim fx gx 解： (1 ) 0 0 0 1 c os 3 3 si n 3 3 3 9 l i m l i m l i m . 1 c os 4 4 si n 4 4 4 16x x x x x x x x x (2 ) 2 2 2 2 1 c o s ln s in 1 c o s s in lim lim lim 2 2 4 s in 2 x x x x xx x x x x x （ ） - 2 2 （ ） -（ ） 2 2 2 1 c o s 1 sin 1 lim lim lim 4 sin 2 4 2 8 x x x xx xx -（ ） - 注： 使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 、 0 0 。 其它类型的未定式 ， 0 ， 00 0 , , 1 可转化为分式型的未定 式，从而可以用洛必达法则 。 例 12 . (1) 0 lim ln ( 0 ) a x x x a ； (2) 1 1 lim 1 l n x x xx 解 (1 ) 0 0 0 0 1 0 li m ln li m li 1 m li 1 m( n ) l 0 aa a x a x x x x xxx x axx a (2) 1 1 1 0 1 ln 1 1 ln 1 li m li m li m 0 1 1 ln ( 1 ) ln ln x x x x x x x x x x x x x x x 2 11 l n 1 l i m l i m 1 2 1 l n 1 11xx x x x xx x 例 13 2 2 lim 2 x x x （ 05 年 .4 月） 知识点：分子与分母的极限均为 0 时，通过约去公因式或者 分子分母有理化等方法消掉零元素。 解： 22 2 li m li m 2 2 2 2 xx x x x 例 14 用级数的敛散定义判定级数 1 1 1n nn 敛散性。 知识点： 1 2 3nn S u u u u 若 lim n n SS （常数），就说数项级数 1 n n u 收敛， 若 lim n n S = 或 lim n n S 不存在，就说数项级数 1 n n u 发散。 解： 11 11 1 ( 1 ) ( 1 ) nn n kk kk s k k k k k k 1 ( 1 ) n k kk ( 2 1 ) ( 3 2 ) ( 1 )nn 11n 该级数发散。 例 15 求级数 1 0 2 5 n n 的和 S 知识点 ： 等比级数（几何级数） 1 2 1 1 nn n a q a a q a q a q 当 1q 时 , 等比级数收敛 ; 且 1 2 1 1 1 nn n a q a a q a q a a q q 当 1q 时，等比级数发散 解： 因为 1 2 3 1 0 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 nn n 所以 1 0 2 22 5 2 53 1 5 n n 注意：收敛的必要条件： 若 0 n n u 收敛， 则 l i m 0 n n u 级数 例 16 求极限 2 22 0 10 0 c os lim x x x t dt x . 知识点 ：变上限函数 如果 ()fx 在区间 , ab 上连续， 则 ( ) ( ) ( ) x a x x f t d t f x 解 此极限为 0 0 型，用洛必达法则求解，故 2 22 4 0 1 0 9 00 c o s 2 2 c o s li m li m 10 x xx x t d t x x x xx 88 0 8 0 4 1 li m li m . 5 5 10 1 1 c os 2 xx x x xx 例 1 7 、求 2 1 ( ) 1 x y f x x 的水平和竖直渐进线。 知识点 ： 如果 l i m ( ) l i m ( ) l i m ( ) x x x f x b f x b f x b 或 或 ， ， 则直线 yb 为曲线 ()y f x 的 水平渐近线 如果 lim ( ) lim ( ) lim ( ) xa x a x a f x f x f x 或 或 ， 则直线 xa 为曲线 ()y f x 的 竖直渐近线 解：因为 2 0 1 l i m 1 x x x ， x =0 为无穷间断点， 故有竖直渐近线 x =0 ， 因为 2 1 l i m 1 1 x x x ，故 y = - 1 为水平渐近线 注意： 竖直渐近线一般在间断点处存在。 3 、 连续 函数与闭区间上连续函数的性质 概念回顾 1 ） 、一元函数的连续性： ()y f x 在点 0 x 处连续 0 lim 0 xx y 0 0 lim ( ) ( ) xx f x f x 2 ) 、二元函数的连续性：设函数 ( , )z f x y 在点 0 0 0( , )P x y 的某邻域有定义， 若 0 0 00 li m ( , ) ( , ) xx yy f x y f x y , 则称函数 ( , )z f x y 在点 0P 连续 不连续的点称为间断点 3 ) 、闭区间上连续函数的性质： 有界性 最大值最小值 零点定理 介值定理 例 1 8 确定 k 的取值使得函数 ln( 1 ) 0 () 0 x x x fx kx 在其定义域内连续 知识点 初等函数的连续性，非初等函数的连续性 初等函数在其有定义的区间内处处连续 函数 ()fx 在点 0 x 连续的充分必要条件是下列三个条件同时满足 1) 0 ()fx 有定义； 2) 0 li m ( ) xx fx 存在； 3) 0 0 l i m ( ) ( ) xx f x f x 解 ： 函数的定义域为 ( 1 , ) 由于函数在 0 x 处的函数值 ( 0 )fk 是 单独定义的，所以该函数在定义域 ( 1 , ) 上不是初等函数。 但是在 0 x 时是初等函数 l n ( 1 ) () x fx x 因此函数在区间 ( 1 , 0) 和 ( 0, ) 上是连续的 若使该函数在 0 x 处连续，则应有 0 l i m ( ) ( 0) x f x k f ， 又因 0 0 0 0 1 ln ( 1 ) 1 1 li m ( ) li m li m li m 1 , 11 x x x x x x fx xx 所以 1k 时，该函数在 0 x 处连续 ， 1k ， 0 x 为间断点。 例 1 9 、 函数 2 1 () ( 2 3 ) x x fx e x x 的间断点的个数为 【 】 (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个 知识点 ： 判断初等函数的间断点 如果 ()fx 在点 0 x 不连续，则称 0 x 是 ()fx 的间断点 若下列三种情况之一成立，则 0 x 是 ()fx 的间断点： i 0 ()fx 无定义 ( 0 x 是无定义的孤立点 ) ii 0 li m ( ) xx fx 不存在 iii 0 ()fx 有定义， 0 li m ( ) xx fx 存在，但 0 0 l i m ( ) ( ) xx f x f x 若 ()fx 是含有分母的初等函数，则分母的零点是间断点 若 ()fx 是分段函数，则分段的分界点是可疑的间断点 解答 将函数的分母做因式分解，则有 1 () ( 1 ) ( 2 ) x x fx e x x 分母的零 点就是函数的间断点可以看到分母的零点为 1 , 2x ，应选择 C 注 ： 对函数 分母 做因式分解是判断函数 间断 点的常用方法 例 20 证明：方程 2 x xe 在区间 ( 0, 1 ) 上至少有一个实根 知识点： 零点定理 设 ()fx 在闭区间 , ab 上连续，且 ( ) ( ) 0f a f b ， ( 即 ()fx 在区间端点处 函数值的符号相反 ) ，则至少存在一个点 ( , )c a b 使得 ( ) 0fc 解： 将方程根的范围问题转化为函数的零点问题。 该方程等价于 20 x xe 令函数 ( ) 2 x f x xe ， 则函数 ()fx 在闭区间 0 , 1 上连续（初等函数的连续性）， ( 0) 2 0f ， ( 1 ) 2 0 . 7 1 8 0fe 由闭区间上连续函数的零点定理可知， 存在 0 ( 0 , 1 )x 使得 0( ) 0fx ，即 0 0 20 x xe 。 这说明 0 x 是方程 2 x xe 的根 注： 方程根的范围问题一般都化为求函数的零点问题来解决 第二部分 导数微分及应用 一、概念回顾 二、导数与微分的计算 三 、导数与微分的应用 一、概念回顾 右导数 : 1） .单侧导数 左导数 : ;)()(lim)()(lim)( 000 0 0 00 0 x xfxxf xx xfxfxf xxx ;)()(lim)()(lim)( 000 0 0 00 0 x xfxxf xx xfxfxf xxx 函数 ()fx 在点 0 x 处可导 左导数 0()fx 和右导数 0()fx 都存在且 相等 。 0 0 0 0 0 00 0 ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim . xx x x x x f x f x f x x f xyy x x x x 1、一元函数导数与微分的定义 2） .高阶导数 0 ( ) ( )( ( ) ) li m , x f x x f xfx x .)(,),( 2 2 2 2 dx xfd dx ydyxf 或 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 ) 设函数 ()y f x 在某区间上有定义 ， 0 x 及 0 xx 在此区间内 ， 若函 数增量 00( ) ( ) ( )y f x x f x y A x o x 其中 A 是不依赖于 x 的常数 ， 而 ()ox 是比 x 更高阶的无穷小 。 则 称函数 ()y f x 在点 0 x 是可微的 ， d y A x A d x 。 定理 函数 ()y f x 在点 0 x 可微的 充要条件 是函数在 0 x 处可导 。 且 ()d y f x d x 3） .微分 2） .高阶偏导数 (二阶和二阶以上的偏导数统称为高阶 偏 导数 ) 1） .偏导数 设函数 z = f (x, y) 在点 0 0 0( , )P x y 的某邻域有定义， 0 0 0 0 00 0 ( , ) ( , ) ( , ) l i m .x x f x x y f x y f x y x 0 0 0 0 00 0 ( , ) ( , ) ( , ) li m .y y f x y y f x y f x y y 二元函数 ( , )z f x y 的偏导数 ( , ) xf x y 、 ( , ) yf x y 仍是 ,xy 的二元函数， 它们同样可以对 ,xy 求偏导数记 2 2 zz x x x 2zz y x x y 2zz x y y x ； 2 2 zz y y y 2、多元函数偏导数与全微分的定义 3） .全微分 如果函数 ( , )z f x y 在点 0 0 0( , )P x y 的全增量 0 0 0 0( , ) ( , ) ( )z f x x y y f x A x By y o 其中， A , B 为不 依赖于 x 与 y ， 22xy ，则称函数 ( , )f x y 在点 00( , )xy 处可微分， 记为 0p dz A x B y Adx Bdy 定理 函数若函数 ( , )z f x y 在点 00( , )xy 可微 ，则 ( , )z f x y 在 00( , )xy 点必有偏导数 0 0 0 0( , ) , ( , )xyf x y f x y 且 0 0 0 0( , ) , ( , )xyA f x y B f x y 0 0 0 0 0( , ) ( , )xypd z f x y d x f x y d y 00 ( 5 ) ( 5 ) ( ( 5 ) ) ( ( 5 ) )l i m l i )( 2 ()m 2hh f a h f faa h f a h a h faf hh 解 ： 1() 5fa 5 2 ( ) 12 fa 0 ()( 5 ) ()( 5 )l i m 22h f a h f a h h f a f a h 0 5 ( 5 ) ( ) ( 5 ) ( )l i m 2 5 5h f a h f a f a h f a hh 例 1 . 设函数 ()fx 在点 a 可导，且 0 ( 5 ) ( 5 )li m 1 2h f a h f a h h ，求 ()fa 知识点： 导数的定义 0 0 0 0 0 00 0 ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim . xx x x x x f x f x f x f xyy x x x x x 例 2 设 ()fx = 2 1 , 0 1 3 3, 1 2 xx xx , 讨论该函数在 1x 处的连续性与可导性 知识点： 1 、函数 ()fx 在点 0 x 处连续 ()fx 在点 0 x 处连续既左连续又右连续 . 2 、函数 ()fx 在点 0 x 处可导 左导数 0 ()fx 和右导数 0 ()fx 都存在且相等 3 、分段函数在分段点的左右导数可用导数的左右极限来得到。 解： 因为 + + - + 2 1 1 1 1 lim ( ) lim 3 3 0 ( 1 ) , lim ( ) lim 1 0 ( 1 ) x x x x f x x f f x x f 所以 ()fx 在 1x 处连续 因为 1 1 1 2 1 1 1 ( 1 ) li m ( ) li m ( 3 3 ) li m 3= 3 ( 1 ) li m ( ) li m ( 1 ) li m 2 2 x x x x x x f f x x f f x x x ( 1 ) ( 1 )ff ， ()fx 在 1x 处不可导 总之， ()fx 在 1x 处连续不可导 例 3 . 讨论函数 1 si n , 0 () 0 , 0 xx fx x x 在 0 x 处的连续性与可导性 知识点： 用导数定义 求 分段函数分段点的导数。 解 ： (1) 连续性因为 00 1 li m ( ) li m sin 0 ( 0 ) xx f x x f x ， 所以 ()fx 在 0 x 处连续 (2) 可导性因为极限 0 0 0 1 sin 0 ( ) ( 0 ) 1 li m li m li m sin 00 x x x x f x f x x x x 不存在，所以函数 ()fx 在 0 x 处不可导 例 5 。 若函数 ()fx 在点 0 x 处自变量增量 x =0.25 ，对应函数增量 y 的线性主部为 2 ，求函数在该点的导数值 0()fx 2006 年 1 月 知识点： 微分 00( ) ( ) ( ) ( )Axy f x x f x o x d y f x dAx x 解： 因为 00( ) ( )2 0 . 2 5f x dx xA xf 所以 0( ) 8fx 例 4 . 设函数 ()fx 在 xa 处可导，则 ()fx 在 xa 处（ C. ） 2005 年 4 月 A. 极限不一定存在 B. 不一定连续 C. 可微 D. 不一定可微 知识点： ()fx 可导 ()fx 可微 ()fx 可导 ()fx 连续 二、导数与微分的计算 2 2 2 1 1 )( a r c t a n 1 1 )( a r c s i n ln 1 )( l o g ln)( s e c)( s e c s e c)( t a n c o s)( s i n 0)( x x x x ax x aaa x t g xx xx xx C a xx 2 2 2 1 1 1 )c o t( 1 1 )( a r c c o s 1 )( l n )( c s c)( c s c c s c)( c o t s i n)( c o s )( x x x x x x ee x c t g xx xx xx xx xx 基本导数公式 导数的四则运算 若函数 ()u u x ， ()v v x 都在点 x 处可导，则有 ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )u x v x u x v x ； ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x ； ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x ， ( ) 0vx 复合函数的导数 设函数 ()y f u 及 ()u g x 可以复合成函数 ( ( ) )y f g x ，若 ()u g x 在点 x 可导，且 ()y f u 在相应的点 ()u g x 可导，则复合函数 ( ( ) )y f x 在点 x 处可导， 且 ( () d x g y x xf d g ，或 dy du dy dx du dx ， 初等函数的求导问题全部解决 例 6 、 求下列函数的导数。 2 a r c t a n 21 3 1 ) 2 ) s in s in 3 ) s e c s in x nx nx x e x 解： 1 ） ar c t an ar c t anar c t an 2 3 ( ) si n 3 si n s si i ( n )3 n xxx xx xx a r c t a na r c t n 2 a 3 ln 3 ( a r c t a n ) sin 3 sin c o s xx xx x x a r c t 22 an 3 ln co s s) i3 n ( sin 1 x x xx x 2 ) ( sin sin ) ( s)s () in ni n n nxnx xx 1 sinc os ( ) ( sin ) n n x n x xnx 1 s i no c o scs n xnn n x x 222 1 121 3 ) ( s e c ) 2 s e c s e c() xx x eee 222 2 2 22 1 11 21 1 11 se c t an t an 2 se c 4 s c 2 e x x x x xx x ex e e x ee ee 例 7 、 求下列函数的导数 . （ 1 ）设 1 , ( 1 ) . x y x y 求 200 5 年 1 月 2 21 ( 2 ) 1 x y x 知识点： 当幂指函数求导，或当函数是多个因式相乘时，采用对数 求导法 解 1 ( 1 ) x yx ， 两边取对数： 1 lnyx x ln 两边关于 x 求导： 2 2 2 1 1 1 1 ln ( ln ) 1 lnx x x x x x y y x 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ( l n ) ( l n ) x y y x x x x x x x ( 1 ) 1y 2 21 ( 2 ) 1 x y x 这是一个复合函数，若直接用公式求导，运算较繁琐 将函数两边取对数变形为： 2 1 l n l n ( 2 1 ) l n ( 1 ) , 2 y x x 则由复合函数求导法则有 2 1 1 1 ln ( 2 1 ) ln ( 1 ) 22 y x x y = 2 2 1 1 1 1 ( 2 1 ) ( 1 ) 2 2 1 2 1 xx xx 2 1 . 2 1 1 x xx 所以： 22 2 1 1 () 1 2 1 1 . xx xx y x 例 8 . 设 s i n 2yx , 求 ()n y 200 4.10 知识点： 高阶导数，熟记下列高阶导数公式 () ( si n ) si n ( ) . 2 n n xx () ( c os ) c os( ) . 2 n n xx () ( ) l n . x n x n a a a () () x n x ee () ( ) ( 1 ) 2 1 ! n x n n n 解： ( si n 2 ) si n ( 2 ) ( 2 ) 2 si n ( 2 ) . 22 y x x x x , 2 ( 2 si n ( 2 ) ) 2 si n ( 2 ) ( 2 ) 2 si n ( 2 2 ) 2 2 2 2 2 y x x x x 所以 () 2 si n ( 2 ) 2 nn y x n 例 9 、 求下列函数的微分 ( 1 ) l n tan 2 x y ( 2 ) ( l n )y f x 知识点 : 求微分 ()d y f x d x 复合函数求导 ： 逐层求导， 外层求导，内层不动。 解 ： （ 1 ） 因为 2 ta 1 t a n 1 (l 2 n t a n ) ( ns ) ( ) 2 t a n 2 ec 2 2 2 xdy xx x dx x x 22 1 1 1 1 1 () 2 sin t a n c o s t a n c o s 2 2 2 2 2 x x x x x x 所以 1 si n dy dx x （ 2 ）设： lnux ，则 ; ()y f u ，故 1 ( l n ) ( l n ) ( l n )y f x x f x dx x 所以 1 ( l n )dy f x dx x 例 1 0 . 求 22 3z x xy y 在点 ( 1 , 2 ) 处的偏导数。 知识点： 偏导数计算 0 0 0 0 00 0 ( , ) ( , ) ( , ) l i m . x x f x x y f x y f x y x 0 0 0 0 00 0 ( , ) ( , ) ( , ) li m . y y f x y y f x y f x y y 解法 1 ： 23 z xy x ， 32 z xy y 则 ( 1 , 2 ) 8 z x , ( 1 , 2 ) 7 z y 解法 2 ： 2 ( , 2 ) 6 4f x x x 2 ( 1 , ) 1 3f y y y 则 1 ( 1 , 2 ) ( , 2 ) 2 6 8 x z f x x x ， 2 ( 1 , 2 ) ( 1 , ) 3 2 7 y y z f y y 例 1 1 、 求函数 22 l n ( 1 )z x y ) 当 1 , 2xy 时的全微分 . 200 5 年 1 月 知识点： 全微分 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) xyp d z f x y d x f x y d y 解： 2 2 2 2 1 , 2 1 , 2 2 2 1 , 1 1 3 xy xy z x z x x x y x x y 2 2 2 2 1 , 2 1 , 2 2 2 2 , 1 1 3 x y x y z y z y y x y y x y 所以 1 , 2 1 , 2 1 , 2 12 y 3 3 xy xy xy zz dz dx dy dx dy x 注意： 如果求非具体点的全微分，只需求出偏导函数，带入 全 微分公 式即可： 2 2 2 2 22 11 z z x y d z d x d y d x d y x y x y x y 知识点： 多元复合函数的求导法则 1 ） z = f ( u , v ) ， ( ) , ( )u t v t dz z du u dv dt u dt v dt 2 ） z = f ( u , v ) u = ( x , y ) 、 v = ( x , y ) , . z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y 3 ） z = f ( u ) ， u = u ( x , y ) ( ) , ( ) . z d z u u fu x d u x x z d z u u fu y d u y y 注意 ： 具体求导时，按 连线相乘，分线相加 的原则 。 u v z t u v z x y uz x y 例 1 2 设 22 ( , l n ( ) ) ,z f x y x y 求 , zz xy 解 令 u = x 2 y 2 , l n ( )v x y , 则 ( , )z f u v z z u z v x u x v x 11 2 2 , u v u v f x f x f f x y x y z z u z v y u y v y 1 ( 2 ) ( 1 ) uv f y f xy 1 2 uv y f f xy 注意： 因为 ( , )f u v 不是具体函数，所以它的偏导数只能是抽象形式 u v z x y 例 1 3 . 设 ( ) , , ( ) y z xy xF u u F u x 是可微函数 ,. zz xy xy 求 200 5 年 1 月 知识点： 多元复合函数求导同四则运算相结合 解 : 2 () ( ) ( ) ( ) ( ) z y y F u y F u xF u y F u x x x 1 ( ) ( ) z x x F u x F u yx ( ) 1 ( ( ) ) ( ( ) ) 2 ( ) z z y F u x y x y F u y x xF u xy xF u x y x x 例 1 4 . 设方程 2 2 2 z x y z y e 确定隐函数 ( , )z z x y , 求 , xy zz 2005 .10 知识点： 隐含数求导 二元方程 ( , ) 0F x y 确定一个一元的隐函数 ()y f x , 且 x y Fdy dx F F ( x , y , z ) = 0 确定二元函数 z = z ( x , y ) ，且： x z Fz xF ， y z Fz yF 解： 令 2 2 2 ( , , ) z F x y z x y z y e 原方程即为 ( , , ) 0F x y z 2 x Fx ， 22 zz yz F y e F z y e y 22 22 z y x x zz zz FF x y e zz F z y e F z y e 注： 使用公式时，将方程表示为 ( , , ) 0F x y z 或 ( , ) 0F x y 三、导数应用 1.导数和微分在经济分析中的应用 边际函数 ：在经济学中，一个经济函数 ()fx 的导数 ()fx 称为该函数的 边际函数 。 弹性函数 : ()y f x 在任意点 x 都可定义弹性 Ey Ex ， 00 ll ()im im xx y xxy x y y f Ey x E x xx y 注意： 1 ） ()y f x 在 x 点可导，在 x 点的弹性就存在。 2 ） 0 xx Ey Ex = 0 () xx fx x y 例 1 5 . 已知生产某产品 q 件的成本为 2 C 90 00 40 0.0 01qq ( 元 ) ， 试求： (1) 边际成本函数； (2) 产量为 1000 件时的边际成本，并解释其经济意义； 解 ： (1) 边际成本函数 C 4 0 0 . 0 0 2 q (2) 产量为 1000 件时的边际成本： C ( 1 0 0 0) 4 0 0 . 0 0 2 1 0 0 0 6 0 . 它表示当产量为 1000 件时，再生产 1 件产品需要的成本为 60 元； 知识点 ： q 表示某产品产量， ( ) , ( ) , ( )C q R q L q 分别表示 成本函数、收益函数和利润函数 边际成本 M C = ()Cq 边际收益 M R = ()Rq 边际利润 ML = ()Lq 显然： ( ) ( ( ) () ) )( L q RL q R q CC qq q = M R M C 例 1 6 . 1 、 设 ()S S p 是市场对某一种商品的供给函数，其中 p 为商品价格， S 为 市场供给量，则： () E S p Sp E p S - - 供给价格弹性 注意 当 0p 时 0s ，所以 0 ES Ep ，说明 价格从 p 上升 1% ， 市场供给量从 ()Sp 增加 ES Ep 个百分点 2 . 设 ()D D p 是市场对某一种商品的需求函数，其中 p 为商品价格， D 为 市场需求量，则： () E D p Dp E p D - 需求价格弹性 注意 当 0p 时 0D ，所以 0 ( ) li 0m p D Dp p 负号保证： 0 ED Ep ， 需求价格弹性总是正数 。 例 1 7 . 设某商品的需求函数为 -Q a b p ，其中 p 表示商品价格， Q 为需求量， a b 为正常数，则需求量对价格的弹性 EQ EP （ ） 20 05.10 A. b a b p B. b a b p C. bp a b p D. bp a b p 解 ： ( ) ( ) - E Q p p p b Q p b E P Q a b p a b p 2.导数在研究函数形态方面的应用 函数的凹凸性，单调性， 极值最值 理论基础：微分中值定理 例 1 8 . 函数 2 ( ) 4 5f x x x 在区间 0 , 4 是否满足罗尔定理的条件，若 满足，求出使 ( ) 0f 的点 知识点： 罗尔定理 若函数 ()fx 满足： (1) 在闭区间 , ab 连续； (2 ) 在开区间 ( , )ab 可导 (3 ) ( ) ( )f a f b ， 则在 ( , )ab 内至少存在一点 ，使 ( ) 0f 拉格朗日 (La gran ge) 中值定理 若函数 ()fx 满足： (1) 在闭区间 , ab 连续； (2) 在开区间 ( , )ab 可导 则在 ( , )ab 内至少存在一点 ，使 ( ) ( ) () f b f a f ba 解 ： ()fx 在 0 , 4 连续且可导，又 ( 0 ) ( 4 ) 5ff 故 ()fx 在 0 , 4 满足罗尔定理的条件由于 ( ) 2 4f x x 令 ( ) 0fx ，得 2x ，即点 2 。 例 1 9 . 函数 - x y e x 在区间 ( - 1,1 ) 内（ ） 200 5 年 1 月 A. 单调减小 B. 单调增加 C. 不增不减 D. 有增有减 知识点： 设函数 ()y f x 在 , ab 上连续 ， 在 ( , )ab 上可导 ， ( 1) 若在 ( , )ab 内 ( ) 0fx ， 则 ()y f x 在 , ab 上单调增加 。 ( 2) 若在 ( , )ab 内 ( ) 0fx ， 则 ()y f x 在 , ab 上单调减少 。 解： 因为 - 1 ( 1 ) 0, ( 1 , 1 ) xx y e e x 所以应该选 A 例 2 0 . 试确定函数 8 2yx x 的单调区间 。 2005 年 7 月 知识点： 求单调区间 一阶导数为零（ 驻点 ）或不存在的点可能恰好是单调区间的分界点， 这些分界点将函数的定义域分划成若干个部分单调区间。 解 ： 当 0 x 时 ， 函数无定义 ， 故函数在 0 x 处不可导 ； 当 0 x 时 ， 导函数为 2 2 2 2 8 2 8 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 x x x y x x x 令 0y 得 ： 2x 于是 ， 点 2 , 0 , 2x 将函数定义域 ( 0 x ) 分划成四个区间 ( , 2 ) 、 ( 2 , 0 ) 、 ( 0 , 2 ) 、 ( 2 , ) ， 函数在这四个区间上的单调性如下 ： 在 ( , 2 ) 上 ， 0y ， 函数 y 单增 ； 在 ( 2 , 0 ) 上 ， 0y ， 函数 y 单减 。 在 ( 0 , 2 ) 上 ， 0y ， 函数 y 单减 ； 在 ( 2 , ) 上 ， 0y ，函数 y 单增 。 例 2 1 . 求 曲线 2 3 5 3 5y x x x 凹 凸 区间 和拐点 2005.1 0 知识点： 定理 设有曲线 : ( ) ( )C y f x x I ， (1) 若 ( ) 0 , ( )f x x I ，则曲线 C 是凹的； (2) 若 ( ) 0 , ( )f x x I ， 则曲线 C 是凸的； 拐点： 曲线弧 ()y f x 的凹弧与凸弧的分界点。 确定曲线拐点的方法 ： 1 . 求出 ()fx 在 I 上为零或不存在的点 ； 2 . 这些点将区间 I 划分成若干个部分区间 ， 确定 曲线 ()y f x 在每个部分区间上的凹凸性 ； 3 . 若在两个相邻的部分区间上 ， 曲线的凹凸性相反 ， 则此分界点是拐点 ； 否则不是拐点 。 解： 2 3 1 0 3 , 6 1 0y x x y x 5 6 10 0 3 y x x 令 得 5 3 x 时 ， 0y ， 5 ( , ) 3 为凸区间， 5 3 x 时 0y ， 5 ( , ) 3 为凹区间， 5 2 0 ( , ) 3 2 7 为拐点 例 2 2 求函数 ( ) s i n c o sf x x x 在 0 , 2 上的极值 知识点 ： 函数的极值，驻点 连续函数的极值点必是驻点和不可导的点 求函数的极值的步骤： 先求出驻点和不可导点（可疑的极值点）， 再利用 第一充分条件，第二充分条件 判断可疑点是否为极值点 函数取得极值的第一充分条件 设函数 ()fx 在点 0 x 的某个邻域 0 ( , )Ux 内连续，在去心邻域 0 ( , ) o Ux 内 可导 ， ( 1 ) 、当 00 ( , )x x x 时， ( ) 0fx ， 00 ( , )x x x 时， ( ) 0fx ， 则 0 ()fx 为 ()fx 的极大值 ( 2 ) 、当 00 ( , )x x x ， ( ) 0fx ， 00 ( , )x x x 时， ( ) 0fx ， 则 0 ()fx 为 ()fx 的极小值 函数取得极值的第二充分条件 设函数 ()fx 在点 0 x 处具有二阶导数 ， 且 0 ( ) 0fx 、 0 ( ) 0fx ， 则 (1) 、当 0 ( ) 0fx 时 ， 函数 ()fx 在 0 x 处取得极大值 ； (2) 、当 0 ( ) 0fx 时 ， 函数 ()fx 在 0 x 处取得极小值 。 求函数 ( ) s i n c o sf x x x 在 0 , 2 上的极值 解 ( ) c o s s i nf x x x ( ) s i n c o sf x x x 令 ( ) 0fx ， 得 c o s sin 0 xx 即 t an 1x 所以驻点为： 12 5 , 44 xx 2 0 2 44 ff 为极大值； 55 2 0 2 44 ff 为极小值； 例 23 、 求 ( ) 2f x x x 在区间 0 , 2 上的最大值与最小值 知识点： 函数取得最值的点只能是区间的端点或 开区间内可疑的极 值点 （ 导数为零、导数不存在的点 ） 。 计算函数在这些点处 的函数值 ， 比较它们的大小就可得到函数的最值 。 解 ： 1 1 1 ( ) 1 2 1 , 0 2 f x x xx 令 ( ) 0fx ，得驻点 1x 由于 ( 0 ) 0f ， ( 1 ) 1f ， ( 2) 2 2 2f 比较可知， ()fx 在 0 , 2 上的最大值为 ( 0 ) 0f ，最小值为 ( 1 ) 1f 例 2 4 证明： 0 x 时， sinxx . 2006 年 1 月 知识点： 利用单调性证明不等式。 证明 ： 令 ( ) s i nf x x x ，则 ( ) 1 c o s 0 , 0f x x x 所以 ()fx 在 0 x 单调递增 ， ( ) ( 0 ) 0f x f ， 即 sinxx 注意： 单调性是证明不等式的首选方法 例 2 5 证明：当 0 x 时，有 1 2 xx 1 2 20 05 年 7 月 知识点： 1 、利用最值证明不等式。 2 、 设函数 ()fx 在区间 I 连续，若 ()fx 在 I 内部（不包含端点） 只有一个驻点 或不可导的点 0 x ， 则 当 0 ()fx 为极小值时， 0 m i n ( ) ( ) xI f x f x 最小值 当 0 ()fx 为极大值时， 0 ma x ( ) ( ) xI f x f x 最大值 证明： 令 11 () 22 f x x x 则 0 0 11 1 1 1 ( ) ( ) 22 012 xx fx xxx 驻点 1x 唯一 ( ) 0, 1 fx 在 上单调增， 1 , ) 上单调减， 故 ( 1 )f 为极大值即最大值 所以 ( ) ( 1 ) 0f x f 即 1 2 xx 1 2 例 2 6 求函数 22 2 4 2 9z x xy y x y 的驻点 20 0 5 年 1 月 知