《高数微分方程》PPT课件

新的一年新的开始， 愿同学们新的一年里学习进步！ 微 积 分 学好 微积分 下的要求 1）抽空阅读上册单变量函数微积分学 部分基础知识； 2）认真听讲和完成作业。将知识传授 给你们是我的责任，能否领悟要靠你们 的努力！ 班 分数 30 30 30 40 30 50 30 60 比例 005 0 10 10 10 20 10 30 合 计 比例 90- 100 8 6 12 11 27.41% 6 15 5 13 39 27.86 % 80-89 14 16 12 18 44.44% 15 11 14 17 58 41.43 % 70-79 8 5 5 5 17.04% 10 8 13 4 36 24.29 % 60-69 5 3 0 1 6.7% 3 2 2 0 23 5.00% 0-59 2 2 0 2 4.4% 0 0 1 1 23 1.43% 人数 37 32 29 37 135 34 36 35 35 140 平均 79. 73 4 79. 94 3 86. 03 1 82. 89 2 82.15 81。 29 3 85. 25 1 79。 91 4 85。 17 2 82.91 % 微分方程解法（续） 一、 什么是微分方程？ 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微 分方程 . 微分方程 常微分方程：未知函数为一元函数 偏微分方程：未知函数为多元函数 例如： 2 - 3 xy y y e 是常微分方程； -0 x x y y z zu u u 是偏微分方程。 二、常见一阶常微分方程解法 1、 可分离变量的微分方程 注意:要 求g( y) 0, g( y) =0 是方程的特解. 方程的常见形式： dy f x g ydx 解法： 分离变量然后求不定积分 1 () () d y f x d xgy 例 求解微分方程 2 c o s .dy yxdx 的通解 解 分离变量后得到 2 cos , dy xdx y 两端不定积分 2 c os , dy xdx y 1 si n xCy 得 - 1 . siny xc 通解: y=0 是方程的特解. 2、 齐次方程 方程的常见形式： d y yf d x x 解法： 做变量替换后化为可分离变量方 程求解 ,xyu ,xuy 即 代入方程得到 ,dxduxudxdy ),( ufdxduxu () .du f u u dx x 即 22 22 yxyx xyy dx dy , 1 2 2 2 x y x y x y x y ,xyu 令 ,u d xx d udy 则 ,1 2 2 2 uu uuuxu .2 222 xyy dyyxyx dx 例 求解微分方程 解 ,lnlnln21)2l n (23)1l n ( Cxuuu . )2( 1 2 3 Cxuu u 微分方程的解为 .)2()( 32 xyCyxy ,1122)121(21 xdxduuuuu 3、一阶线性方程 )()( xQyxPdxdy 一阶线性微分方程 的标准形式 : 方程的通解为： ( ) ( ) ( ) P x d x P x d xy e Q x e d x C .s i n1 的通解求方程 x xyxy ,1)( xxP ,s i n)( x xxQ 解 例 1 Cdxe x x ey dx x dx x 11 s i n .c o s1 Cxx 伯努利 (Bernoulli)方程的标准形式 nyxQyxP dx dy )()( )1,0( n 4、伯努利方程 方程为线性微分方程 . 方程为非线性微分方程 . 时，当 1,0n 时，当 1,0n 1 nyz ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )( ( ) ( 1 ) ) .n P x d x n P x d xy e Q x n e d x C 解法： 两边同除以 后化为一阶线性方程求解。 ny 例 求微分方程的通解 222 2 .xy y x y x e 解 2 11 ,2 xy x y x e y 2 ,zy令 ,2 dxdyydxdz 则 ,2 2xxexzdxdz 22 2 Cdxexeez x d xxx d x 所求通解为 ).2( 2 2 2 Cxey x 22 1 2 xy y x y x e 5、 可降阶的高阶微分方程 ny f x 型 1 1 . ny f x dx C 2 1 ny f x dx C dx 12 ,f x dx dx C x C 11 2 2 , n n n y f x dx dx dx C x C x C 12, , .nC C C其中 均为任意常数 解法： （ 1） ( , )y f x y （ 2） 型 （不显含变量 y ） 解法 ,y p p 令 将 作为未知函数 上述方程变为 ,dp f x p dx , dy p dx 又 12 12 ,. ,. y x C dx C CC 其中 为任意常数 1,dy xCdx 1,.p x C 通解为 将其积分 （ 3） ,yy xfy 型 不显含 )( ypy 设 dyy dx 则 解法： 代入方程得 ,dpp f y p dy 1,dy yC dx 即 21 ., dy xC yC 原方程的通解 1,p y C dp dx dp dy dy dx , dpp dy .02 的通解求方程 yyy 解 ,dpyp dy 则 ),( ypy 设 代入原方程得 2 0,dpy p pdy 例 4 0 , 0y p p当 时, 约去 并分离变量得dp dy py =, 11, dy p C y C y dx 两边积分并化简得 即 = , 分离变量得 1 dy C dx y 0, 0 ， 0 dy y p y C dx 当 时 即 也是原方 1 21.0 ， Cxy C e C程的解但在通解 中, 显然 时 22,0 ， 0.y C C y 给出了 又再当 时 包含了 12， 0. Cxy y C y C e 因此 和 都包含在了通解 中 12 .Cxy C e 4.4 高阶线性微分方程 一、线性微分方程的解的结构 二、二阶常系数齐次方程的解法 二阶线性微分方程 )()()(2 2 xfyxQdxdyxPdx yd 时，当 0)( xf 二阶线性齐次微分方程。 时，当 0)( xf 二阶线性非齐次微分方程； n阶线性微分方程 ).()()()( 1)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn 一、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构 : 问题 : 一定是通解吗？2211 yCyCy )1(0)()( yxQyxPy （ 自己思考证明 ） 12 1 1 2 2 1 2 11 1. . y x y x y C y C y C C 定理 如果函数 与 是方程 的两个 解，那么 也是 的解 其中 、 是常数 例如 xx 22 si n,c o s1 ， xxx eee 2,， 线性无关 线性相关 时，当 ),( x 12 1 1 2 2 , , . 0 . n nn y y y I n nx k y k y k y nI 定义 设 为定义在区间 内的 个函数 如果存在 个不全为零的常数，使得当 在该区 间内时有恒等式 则称这 个函数在区间 内线性相关，否则称线 性无关 特别地 : 例如 ,0 yy ,s i n,co s 21 xyxy ,t a n 1 2 常数且 x y y .s i nc o s 21 xCxCy （ 自己证明 ） 1 2 12 , . yx I yx y x y x I 若在 上有 常数 则函数 与 在 上线性无关 12 1 1 2 2 2 01 , 1. y x y x y P x y Q x y y C y C y 定理 如果 与 是方程 的两个线性无关的特解 则 就 是方程 的通解 2.二阶非齐次线性方程的解的结构 : 同学们可以自己证明 3 2 21 , 2. y y P x y Q x y f x Y y Y y 定理 设 是二阶非齐次线性方程 的一个特解， 是与 对应的齐次方 的 通解 则 是二阶非齐次线性微分方 程 的通解 定理 4 设 y1与 y2是二阶非齐次方程 y P x y Q x y f x 的两个解，则 y1 - y2是对应齐次方程 0y P x y Q x y 的解 . 自己证明 解的叠加原理 自己思考容易证明 12 12 52 fx y P x y Q x y f x f x yy 定理 设非齐次方程 的右端 是几个函数 之和，如 而 与 分别是方程 1y P x y Q x y f x 2y P x y Q x y f x 12, y y .的特解 则 就是原方程的特解 二、二阶常系数齐次方程的解法 定义： 111( n ) ( n ) nny p y p y p y f ( x ) n阶常系数线性微分方程的标准形式 0 qyypy 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 )( xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 ,rxey 设 将其代入上方程 , 得 0)( 2 rxeqprr ,0rxe 故有 02 qprr ,2 4 2 2,1 qppr 特征根 0 qyypy 特征方程法 特征方程 （ 1） 有两个不相等的实根 ,2 4 2 1 qppr , 2 42 2 qppr ,11 xrey ,22 xrey 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 ;21 21 xrxr eCeCy )0( 特征根为 （ 2） 有两个相等的实根 ,11 xrey ,221 prr )0( 一特解为 得齐次方程的通解为 ;)( 121 xrexCCy 代入原方程并化简，将 222 yyy ,0)()2( 1211 uqprrupru ,0u知 ,)( xxu 取 ,12 xrxey 则 ,)( 12 xrexuy 设另一特解为 特征根为 （ 3）有一对共轭复根 1r i , 2r i , 1 ( i ) xy e , 2 ( i ) xy e , )0( 重新组合 )(21 211 yyy ,c o s xe x 2 1 2 1 () 2y y yi ,s i n xe x 得齐次方程的通解为 ).s i nc o s( 21 xCxCey x 特征根为 结论 02 qprr 0 qyypy 特征根的情况 通解的表达式 实根 21 rr 实根 21 rr 复根 ir 2,1 xrxr eCeCy 21 21 xr exCCy 2 )( 21 )s i nc o s( 21 xCxCey x .044 的通解求方程 yyy 解 特征方程为 ,0442 rr 解得 ,221 rr 故所求通解为 .)( 221 xexCCy 例 1 .052 的通解求方程 yyy 解 特征方程为 ,0522 rr 解得 12 12r i , ， 故所求通解为 ).2s i n2c o s( 21 xCxCey x 例 2 例 3 求下列微分方程的通解 1 2 3 0.y y y 2 2 3 0rr 解 特征方程为 其特征根为两个不相等的实根 21 , 3rr 1 312 .xxy C e C e 方程的通解为 2 2 0.y y y 2 2 1 0rr 解 其特征方程为 其特征根为两个相等实根 12 1,rr 12 xy C C x e 所求方程的通解为 3 2 3 0.y y y 2 3 0rr 2解 其特征方程为 1 2 , 1 2r i r i 12 所求方程的通解为 12c os 2 si n 2 .xy e C x C x 其特征根为一对共轭复根: 01)1(1)( yPyPyPy nnnn 特征方程为 0111 nnnn PrPrPr 三、 n阶常系数齐次线性方程解法 给出 2k项 给出 k项 给出二项 （ 2）一对单复根 给出一项 Cerx （ 1）单实根 r 通解中的对应项 特征方程的根 k j (4) 一对 重复根 r= xk k k k exxDxDD xxCxCC s i n)( c o s)( 1 110 1 110 12( c os sin )xy e C x C x ( 3 ) kr重实根 rxkk exCxCC )( 1110 ir 特征根为 1 2 , 31,r r i 故所求通解为 .si n)(co s)( 54321 xxCCxxCCeCy x 解 ,0122 2345 rrrrr特征方程为 ,0)1)(1( 22 rr .022 )3()4()5( 的通解 求方程 yyyyyy 例 4 二重复根 例 5 求微分方程 4 0yy 的通解. 解 特征方程为 4 10r 故方程的通解为 1 2 3 4 1 2 3 4 c os si n , , xxy C e C e C x C x C C C C 均为常数. 1 2 3 , 41 , 1 , .r r r i 例 6 求微分方程 42 42 20 d x d x x dt dt 的通解. 解 其特征方程为 422 1 0,rr 1 , 2 .ri特征根为 方程的通解为 1 2 3 4c os si n ,x C C t t C C t t 1 2 3 4,C C C C 均为常数. 二重复根