平面向量全章复习

【基本反复练】1、若向量a=(1,1),b=(,）,=(4，2），则=（)Aab B3ab C.a+b a3b2、(郑州月考）设向量a（m,1),b=(1,m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为（ ).1 1 .-2 23、设向量a(1,3）,b(-2,4),若表达向量4a、3ba、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c=（ )A.(,6) B.(-4,) C(,) D.(4,6)4、已知向量a（2,-)，=（1,),c=(1，2)，若（ab)，则m=_.5、已知|3，2，若b=,则a与b的夹角为（ ). A. B. C D6、若a，b,为任意向量,R,则下列等式不一定成立的是( ).A.(ab)ca+(+) B.(a+b)c=cb.m(ab)=mm D(b)ca（bc)、（广东)若向量，b，c满足a，且ac,则c(ab)=( ）A.4 B. C2 D08、已知向量=(,）,向量b(x，-2),且a(-b)，则实数等于( ）.9 B4 C.0 D49、（江西)已知|a|=|b|=2，（a2)(a-)=,则a与b的夹角为_.1、D是AB的边A上的中点,则向量等于（ ) A.-+ B.C、 D.2、(四川）如图,正六边形ABEF中，+=(). A0 B.C. .、 在ABC中，=c，=b,若点D满足=2,则( ）. A.bc BcbCb D.bc、(南京质检）如图所示，在AC中，H为BC上异于，C的任一点，M为H的中点,若，则=_. 5、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若=y，则x_,y=_.6、(合肥模拟)已知A(，4)，B（3,1）,C（-，-4），且=,=.求M，N的坐标和.7、 在平行四边形BCD中，AC为一条对角线,若(,)，=（1,3)，则=( ） A(-,-4) B(3,5).(3，5) D(2,4)8、（湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设2,3，则_.9、(合肥模拟）在B中，M是BC的中点,|=1，2,则(+)_0、 如图，在菱形ABCD中，若AC4，则=_.1、平面上有四个互异点A、B、C、D,已知(+-2)（)0,则ABC的形状是( )A.直角三角形 .等腰直角三角形C.等腰三角形 无法拟定12、在BC中,已知向量与满足=0且，则ABC为( ).A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形3、(辽宁）平面上O,A，B三点不共线,设=，=b，则OAB的面积等于( ) A. B.D.14、已知ABC的角、C所对的边分别是a、b、，设向量，, .（1） 若/,求证:AB为等腰三角形； （2） 若,边长c =，角 ,求AC的面积1.【高考全国文】中，边的高为,若,，,则(A) (B） （C） (D）、【高考四川文】设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充足条件是( )A、且 B、 C、 D、【高考天津文科8】在ABC中， A0，AB=1,设点P,Q满足， =（-)， R。若-2，则=() （B） C） （D）24、【高考湖南文15】如图4,在平行四边形ACD中 ,APBD，垂足为P,且 .6、【高考江苏9】图5、【高考浙江文15】在ABC中，M是B的中点，AM=3,B=10,则_6、【高考江苏】(分)如图,在矩形中,点为的中点,点在边上，若，则的值是 .7、【高考上海文12】在矩形中,边、的长分别为2、,若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范畴是 8、【12高考北京文】已知正方形BCD的边长为1,点E是边上的动点,则的值为_,的最大值为_。9、【高考真题预测辽宁理3】已知两个非零向量a，b满足|b|=|ab|,则下面结论对的的是(A) ab (B)ab （C) （D)ab=a0、【高考真题预测江西理7】在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则= .4 C5 D.1011、【高考真题预测湖南理7】在C中,AB=2，C3,则.A . C D12、【高考真题预测天津理】已知为等边三角形,B=,设点P，Q满足，,若，则=（A） (B） (C） （D）13、【高考真题预测全国卷理】BC中，AB边的高为C,若ab0,|a|=1,b|=2，则(A） （) （C) ()14、【高考真题预测浙江理】在ABC中，M是B的中点,A=，BC=10,则_.15、【高考真题预测上海理12】在平行四边形中,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范畴是 。16、【高考真题预测北京理13】已知正方形ABC的边长为1,点E是边上的动点,则的值为_，的最大值为_。7、【高考江苏】(5分）如图，在矩形中,点为的中点,点在边上，若,则的值是 .1（人教A版教材习题改编）是ABC的边上的中点，则向量等于( ） -+ B.-C.D.+解析 如图,=+=-.答案A4.(四川）如图，正六边形ABCDEF中,+=（). A0 . D.解析 +=+=.答案 D【训练】在ABC中,，=b,若点D满足=2，则=( ) A.c .cb.-c D.b解析=2,-2（）,32=b+c.答案A【例】(南京质检)如图所示,在ABC中,H为BC上异于B,C的任一点，M为AH的中点，若+，则+=_ 审题视点由B，H,C三点共线可用向量,来表达.解析 由,H,C三点共线,可令+(x),又M是AH的中点，因此=(1-x),又=+因此+=+(1-x）.答案 应用平面向量基本定理表达向量的实质是运用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算,共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底拟定后,任历来量的表达都是唯一的【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若=x+y，则=_，_解析 以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图,令AB,则=(2,0）,(0，2)，过D作DA交B的延长线于F,由已知得DF=BF,则(2+, ).x+y,（2,)=(2x,2y）.即有解得另解:=+=，因此=+,.答案1+【例2】(合肥模拟)已知A(2，4)，B（3，-）,(-3,4），且=,=求M,N的坐标和.审题视点求，的坐标，根据已知条件列方程组求M，.解 A（2,）,B(3,1),C(-，4）,(1,)，=(6,3)3=3（,8）=(3,24)，=2=2(6,3）(1,6）设M(x,y)，则=(x+3,y+).得M(0,20).同理可得N（9,),=（9，2-20)(,18）. 运用向量的坐标运算解题,重要就是根据相等的向量坐标相似这一原则,通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表达时,要看准向量的起点和终点坐标,也就是要注意向量的方向，不要写错坐标.【训练2】 在平行四边形BD中,C为一条对角线，若=(2，4)，=（,3)，则=( ) (2,-4) B（3,5)C(，5) （2,)解析由题意得=（-）=-2=(1,)2(2,)(3，-5).答案B【示例】（湖南)在边长为1的正三角形AC中，设2，=,则_.错因搞错向量的夹角或计算错实录（填错的结论多种)正解由题意画出图形如图所示,取一组基底，,结合图形可得=（),=,(）2-cos60=.答案-【例1】（合肥模拟）在ABC中,M是BC的中点，|1，,则()_.审题视点 由M是BC的中点,得=2.解析如图，由于M是BC的中点,因此2，又=,|=1,因此（+)2=-4|2|2=-,故填-.答案 当向量表达平面图形中的某些有向线段时,要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表达出来，在这个过程中要充足运用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识【训练1】 如图,在菱形ABC中,若AC=4，则=_.解析 =+，故=(）而=-,.因此=-CA28.答案-82.平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(+)()0,则AC的形状是（ )A直角三角形 B.等腰直角三角形.等腰三角形 D无法拟定解析 由(+）(-）0，得(-)+(（-)0,因此()()=0.因此|2|2，=|,故B是等腰三角形答案C4 在AB中，已知向量与满足=0且=，则AB为().A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 三边均不相等的三角形解析由=0知ABC为等腰三角形,AAC.由知,，=60，因此ABC为等边三角形，故选A.答案A【例1】（辽宁)平面上,A，B三点不共线，设a，b,则OB的面积等于( ) B.C D.审题视点 由数量积公式求出OA与B夹角的余弦，进而得正弦,再由公式=absi ,求面积解析osBOA=,则sinB= ,AB|a|b| =.答案 C平面向量的数量积是解决平面几何中有关问题的有力工具:运用|a|可以求线段的长度，运用cos =（为a与b的夹角）可以求角,运用b可以证明垂直，运用a（0)可以鉴定平行.1.【高考全国文9】中，边的高为，若，,，则(A） (B） (C) () 【答案】D4.【高考四川文7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充足条件是( )A、且 、 C、 D、【答案】10.【高考天津文科8】在AC中， A=90,B=,设点P，Q满足=, =（-), 。若-2，则(A） （B) ） （D)2【答案】B3.【高考湖南文5】如图,在平行四边形ABCD中 ，AD,垂足为，且= .【答案】18【点评】本题考察平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考察数形结合思想、等价转化思想等数学思想措施.4【高考浙江文5】在AB中,M是C的中点,AM=3,BC0,则_.【答案】-16 7.【高考江苏】(分）如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是 .【答案】。【考点】向量的计算,矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式,锐角三角函数定义。8.【高考上海文12】在矩形中,边、的长分别为、1，若、分别是边、上的点,且满足，则的取值范畴是 【答案】1,4.【解析】设(0），则,则=+，又=0,=，01，14,即的取值范畴是1,4.10【102高考北.京文3】已知正方形BCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则的值为_,的最大值为_。【答案】1，1【解析】根据平面向量的数量积公式,由图可知，,因此，,而就是向量在边上的射影,要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重叠，射影为，因此长度为14【高考真题预测辽宁理3】已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab,则下面结论对的的是（A)ab (B) ab （）0,3 (D)b=ab【答案】B【解析】一、由ab|=|ab|，平方可得ab0,因此ab,故选B二、根据向量加法、减法的几何意义可知|+b与|a|分别为以向量a，为邻边的平行四边形的两条对角线的长,由于|a+|=b|，因此该平行四边形为矩形,因此ab,故选【点评】本题重要考察平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。解析一是运用向量的运算来解,解析二是运用了向量运算的几何意义来解。5.【高考真题预测江西理】在直角三角形中,点是斜边的中点，点为线段的中点，则= B .5 D.1【答案】D 【解析】将直角三角形放入直角坐标系中,如图,设,则，因此,因此,因此,选D.6.【高考真题预测湖南理7】在ABC中，A=2,AC=，= 1则. B. . D.【答案】A【解析】由下图知.又由余弦定理知,解得.【点评】本题考察平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考察运算能力，考察数形结合思想、等价转化思想等数学思想措施.需要注意的夹角为的外角10.【高考真题预测天津理7】已知为等边三角形，=2,设点P，Q满足,，,若，则=(A) （B) (C) （D）【答案】A【解析】如图,设 ，则，又，,由得,即,整顿，即,解得选.1.【高考真题预测全国卷理6】A中，B边的高为，若ab0，|a|=1,|2,则（) (） (C） (D）【答案】D【解析】在直角三角形中，,则，因此,因此,即，选D3.【高考真题预测浙江理15】在BC中,是BC的中点，M=3,BC1，则=_.【答案】-16【解析】法一此题最适合的措施是特例法.假设ABC是以A=AC的等腰三角形，如图，AM3,BC=10，AB=ACcosB=.法二：.1【高考真题预测上海理】在平行四边形中,，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范畴是 。【答案】2，5.【解析】设=(01)，则=,=，则=+,又1=1，=4,=1，=，01，25,即的取值范畴是2，5.【高考真题预测北京理1】已知正方形BCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_,的最大值为_。【答案】,1【解析】根据平面向量的数量积公式，由图可知,因此，,而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大,此时E点与B点重叠,射影为,因此长度为1.18【高考江苏9】(分）如图,在矩形中,点为的中点,点在边上，若，则的值是 【答案】。【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质,和的余弦公式，锐角三角函数定义。【解析】由，得，由矩形的性质，得。 ，,。 记之间的夹角为,则。 又点为B的中点,。 。 本题也可建立觉得坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。