【备战2014】高中数学第44讲立体几何中的向量方法(二)空间角与距离的求解配套试题(含解析)理新人教B版

第 44 讲立体几何中的向量方法( 二) 空间角与距离的求解( 时间： 45 分钟分值： 100 分 )基础热身1设平面 的法向量为a (1 ，2， 2) ，平面 的法向量为b ( 2， 4，k) ，若 ，则 k 等于 ()A 2 B 4C 4 D 222013 银川一模 如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(0 ， 2， 1) ， b (2，5，5) ，那么这条斜线与平面的夹角是()A 90 B 60C 45 D 3032013 沈阳一模 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为()A 75 B 60C 45 D 3042013 兰州一模在空间直角坐标系O xyz 中，平面 OAB的法向量为n (2 ， 2，1) ，已知 P( 1， 3， 2) ，则点 P 到平面 OAB的距离 d 等于 ()A 4 B 2C 3 D 1能力提升ABCDA BCD 中，底面是边长为2 的正方形，高52013 长春一模 已知在长方体为 4，则点1 到截面1 1 的距离是 (1111)AABD83A. 3B.843C. 3D.462013 西宁一模 正方体 ABCD A B CD 中，二面角A BD B 的大小为 ()111111A 60 B 30C 120 D 150已知 ABC的三个顶点坐标分别为A(2 ， 3， 1) ， B(4 ， 1， 2) ，72013 西安一模 (6 ， 3， 7) ，则的重心坐标为 ()CABC77A. 6， ， 3B. 4， ， 223147C. 8， 3 ， 4D. 2， 6， 18在正方体1 1 1 1中，E是11 的中点，则异面直线与夹角的余弦值为A B CDABCDCDDEAC()1101A 10B 201 10 C. 20 D. 109在直三棱柱A1B1C1 ABC中， BCA 90，点 D1， F1 分别是 A1B1， A1C1 的中点， BCCA CC1，则 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值是()3013015A. 10B.2 C. 15 D. 1010已知正方体ABCD A1B1C1D1，直线 BC1与平面 A1BD所成的角的余弦值是_11如图 K441，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体 ABCD A1B1C1D1，点 M是线段 DC1上的动点，则点M到直线 AD1距离的最小值是_图 K44 1图 K44 2122013 郑州二模 如图 K44 2 所示，平面， ， 1， 2，PAABC AC BC PAACBC则二面角 A PB C的余弦值为 _13在空间直角坐标系中，定义：平面 的一般方程为： Ax By Cz D 0( A，B， C， R，且 ， ， 不同时为零 ) ，点 (0， 0， 0) 到平面 的距离为： | Ax By Cz D| ，000DA B CP x y zdA2 B2 C2则在底面边长与高都为2 的正四棱锥中，底面中心O到侧 面的距离等于 _14(10 分) 如图 K44 3，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA底面 ABCD， E是 PC的中点，已知 AB 2， AD 2 2， PA 2，求：(1) 三角形 PCD的面积；(2) 异面直线 BC与 AE所成的角的大小图 K44 315 (13 分 ) 如图 K44 4 甲，在直角梯形ABCD中， AB CD， BAD 90， AB2， AD3， 1，点，F分别在，上，且1 ， 1 . 现将此梯形沿EF折至使ADCDEAD BCAE3AD BF3BC2 3的位置 ( 如图乙 ) (1) 求证： AE平面 ABCD；(2) 求点 B 到平面 CDEF的距离；(3) 求直线 CE与平面 BCF所成角的正弦值图 K44 4难点突破16(12 分)2013 长沙三模 如图 K44 5，正 ABC的边长为 2a，CD是 AB边上的高，E， F 分别是 AC和 BC的中点，现将 ABC沿 CD翻折成直二面角 ACD B.(1) 试判断翻折后直线 AB与平面 DEF的位置关系，并说明理由；(2) 求异面直线 AB与 DE所成角的余弦值；(3) 求二面角 B AC D的余弦值图 K44 5345课时作业 ( 四十四 )【基础热身】1 C 解析 ， ( 2， 4， k) (1 ，2， 2) ， 2 ， k 2 ，k 4.a b32 D 解析 cos | a| b| 2 ，因此所求的夹角为 30.3 C 解析 如图，四棱锥P ABCD中，过 P作 PO平面 ABCD于 O，连接 AO，则 AO是 AP在底面 ABCD上的射影， PAO即为所求线面角， AO2AO2，PA 1， cos PAO， PAO 45，2PA2即所求线面角为 45 .| 2 6 2|64 B 解析 d| OP n| 2.| n|22（ 2） 2 123【能力提升】5 C 解析 如图，以 D为原点建立空间直角坐标系D xyz，则 A1(2 ， 0， 4) ， A(2 ， 0， 0) ， B1(2 ， 2， 4) ， D1(0 ， 0， 4) ，AD1 ( 2，0， 4) ， AB1n ( x， y，z) ，则nAD1 0，即(0 ， 2， 4) ， AA (0 ， 0， 4) ，设平面 ABD 的法向量为111 0，nAB1 2x 4z 0，解得 x 2z1112y 4z0，且 y 2z，不妨设 n(2 ， 2，1) ，设点 A到平面 ABD 的距4离为 d，则 d| AA1 n| n| 3.6 C 解析 以 D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图设 A(1 ， 0， 0) ， D1(0 ， 0，1) ， B(1 ，1， 0) ， B1(1 ， 1， 1) ， C(0 ，1， 0) ，则 AC ( 1， 1， 0) 为平面 BBD 的一个法向量11设n (，) 为平面1 的一个法向量xyzABD则 nAD1 0， nAB 0，6 x z 0，z x，又 AD1 ( 1， 0，1) ， AB(0 ， 1， 0) ，y 0.y 0.取 n (1 ， 0， 1) cos ，1. ， 120，结合图形知二面角1 1 的大小为AC n2ACnABD B120 .7B 解析 的重心坐标为x2 4 63 1 371（ 2） 73 4， 3 ， 3ABCy3z2.8D 解析 如图建立直角坐标系D xyz ，设 DA 1，A(1 ，0，0) ，C(0 ，1，0) ，E0，1， 1.21，若异面直线 DE与 AC所成的角为 ，则 AC ( 1， 1， 0) ， DE0， ， 12则 cos |cos ， | 10.ACDE1019 A 解析 建立如图所示的坐标系，设1 ， 0， 1，BC 1，则 A( 1， 0， 0) ， F2111111， 1111 ， ， 11， 0， 1，B(0 ， 1，0) ，D22，AF2，BD22. cos AF，BD30AF BD11 10 .| AF| | BD|1110.3 解析 如下图，以 D为坐标原点，直线DA， DC， DD1 分别为 x 轴， y 轴， z 轴3建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则 D(0 ，0，0) ，A1( 1，0，1) ，B(1 ，1，0) ，C1(0 ， 1，0)1， 1) ， DA(1 ，0， 1) ，DB (1，BC ( 1， 0， 1) ，设平面 A BD的一个法向量111x z 0，z x，n DA 0，为 (x， ，z) ，则1nyx y 0，y x，令 x1n DB 0，得，n (1 ，1， 1) ，设直线 BC 与平面 A BD所成的角为 ，则 sin |cos11| 1 |26BCn 3 ，BC， n | 12 3| BC1| | n|2 3 cos 1 sin 3 .711.3 解析 设(0 ， ， )(0 ) ， 1( ，0，) ，直线1的一个单位方3 aM m mm a ADaaAD向向量 s0 22的距离，0，由 MD1 (0 ， m， am) ，故点 M到直线 AD122d 2222123212| MD| | MDs| ) m（ a m） 2（ a m） 2m am 2a ，根式110 a a3 a 2a 121 23内的二次函数当m33时取最小值2 3 a3 2a 3a ，故 d 的最小值为3 a.2 212.3 解析 以 C为原点， CA为 x 轴， CB为 y 轴建立空间直角坐标系C xyz，3则 A(1 ， 0， 0) ， B(0 ， 2， 0) ，C(0 ， 0，0) ， P(1 ，0， 1) ，2， 1)，2， 0) ， AP (0， 0， 1) ， PB ( 1，CB (0设平面APB的法向量为1 (x1，y1，1)，平面的法向量为n2 (x2，2， 2) ，则nzPBCyzz1 0， x1 2y1 z1 0，2y2 0，取 n1 (2 ， 2 ，0) ， n2 ( 1， 0， 1) x2 2y2 z2 0， cos 1， 2 23.n n6 233结合图形知二面角A PB C的余弦值为3 .25如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系O xyz，则 A(1 ，1，13. 解析 50) ， ( 1， 1， 0) ， (0 ， 0，2) ，设平面的方程为 0，将以上3 个坐BPPABAxBy Cz D标代入计算得1A 0，B D，C 2D，81平面 PAB的方程为 Dy 2Dz D0，即 2y z 2 0， d|2 0 02|2 522 12 5 .14解： (1) PA底面 ABCD， PA CD，又 CDAD， CD平面 PAD， CDPD，又 PD22（ 22） 2 23， CD 2，1 PCD的面积为 2 2 23 23.(2) 方法一：取 PB的中点 F，连接 EF，AF，则 EF BC， AEF( 或其补角 ) 是异面直线BC与 AE所成的角在 AEF中， EF 2，AF 2， AE 2， AEF是等腰直角三角形， AEF 4 ，异面直线 BC与 AE所成的角大小为4 .方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2 ， 0， 0) ， C(2 ， 22，0) ，E(1 ，2，1) ，2，2， 0) ， AE (11) ， BC (0 ， 2 设 AE与BC的夹角为 ，则42AEBCcos 2 .| AE| BC|2 22又 0 2 ， 4 .故异面直线BC与 AE所成的角的大小是4 .15解： (1) 证明：由题意知AE1， DE 2， AD3，222 AE AD DE. EAD 90，即 EAAD.又 EA AB， AB AD A， AE平面 ABCD.(2) 作 AK DE于点 K.由题知 AB EF. AB?平面 CDEF， EF? 平面 CDEF， AB平面 CDEF.点 B到平面 CDEF的距离即为点 A 到平面 CDEF的距离 EFAE， EFED， EDEA E，9 EF平面 AED， AK? 平面 AED， AK EF. 又 AK DE， DE EF E， AK平面 CDEF. AK的长即为点 B 到平面 CDEF的距离3在 Rt ADE中， AK 2，3点 B到平面 CDEF的距离为.2(3) 以点A为坐标原点， ，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角AD AB AE坐标系，如图，则(0 ，2，0) ， (3，1，0)， (0 ，0，1) ，F5，1，0， ， 1 0， ，1BCE3BF3BC(3， 1， 1) ，设平面 BCF的法向量n ( x， y， z) ，3， 1， 0) ，CE ( 3BFn 0，由 可取 n 1， 3， 3.BC n0，53|365设直线 CE与平面 BCF所成的角为 ，则 sin CEn13.n|13| CE|53所以直线与平面所成角的正弦值为65.CEBCF13【难点突破】16解： (1) 以 D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则 (0 ，0，0) ， (0 ，0， ) ， (，0，0) ， (0 ， 3 ，0) ，3a ， a3.DAaB aCaE 0， 2 a，2F 2， 2 a， 0aa AB( a， 0， a) ， EF 2， 0， 2 ，从而1 ，EF2 AB ，又?平面， ? 平面，ABEFABDEF EFDEF故 AB平面 DEF.AB与 DE所成的角 ( 或其补角 ) (2) AB EF， DEF即为异面直线3a ED0， 2a， 2，10aaEF 2， 0， 2 ， cos ， EF ED 2.EFED 4| EF| ED|异面直线 AB与 DE所成角的余弦值为24 .(3) n0(1 ，0，0) 为平面 ACD的一个法向量，设n ( x，y，z) 为平面 ABC的一个法向量，则 azay 0，取z 1，则x33， 0， 3 1 ， . 1，1AB n axAC nazyn33从而 cos n，n0n n021.| n| n0|7所以二面角 BAC D的余弦值为217 .11