【备战2014】高中数学第61讲几何概型配套试题(含解析)理新人教B版

第 61 讲几何概型 ( 时间： 35 分钟分值： 80 分 )基础热身12013 武汉武昌区调研在区间 1， 1 上随机取一个数k，使直线y k( x 2)与圆 x2 y2 1 相交的 概率为 ()1133A. 2 B.3 C. 3 D. 222013 衡水一中调研有四个游戏盘， 将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()图 K61 132013 石家庄质检 已知函数 y sin x，x ， 与 x 轴围成的区域记为M，若随机向圆：x2y2 2 内投入一米粒，则该米粒落在区域内的概率是 ()OM4422A. 2B. 3C. 2 D. 3图 K61 24为了测算如图 K61 2 所示阴影部分的面积， 作一个边长为 6 的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷 800 个点已知恰有 200 个点落在阴影部分， 据此， 可估计阴影部分的面积是_ 能力提升52013 邯郸一模某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为 ()1123A. 2B.4C.3D.46已知长方形中， 4， 1， 为的中点， 则在此长方形内随机取一点，P与 M的距离小于ABCD ABBCMABP1 的概率为 ()A. 4B 1 4C.8D 1 81图 K61 37201 3临沂模拟 扇形 AOB的半径为 1，圆心角为 90 . 点 C，D，E 将弧 AB等分成四份连接 OC， OD， OE，从图 K613 中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为8 的概率是()3121A. 10 B.5 C.5 D.282013 汕头质检已知实数 x 1， 1 ， y0 ， 2 ，则点 P( x， y) 落在区域2 y20，xx 2y10， 内的概率为 ()x y203331A. 16 B.8 C.4 D.292013 武汉调研有一根长为1 m的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的1长度都大于 8 m 的概率为 _图 K61 410图 K61 4(2) 中实线围成的部分是长方体( 图(1) 的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1 的正方形 若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图1内的概率是 4，则此长方体的体积为_图 K61 511如图 K61 5，矩形 OABC内的阴影部分是由曲线f ( x) sin x，x(0 ， ) 及直线 xa( a(0 ， ) 与 x 轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为316，则 a 的值是 _x 1，12 (13 分)2013 吉林一模记不等式组x y20， 表示的平面区域为M.x y10(1) 画出平面区域 M，并求平面区域 M的面积；(2) 若点 ( a，b) 为平面区域 M中任意一点， 求直线 y axb 的图象经过第一、 二、四象限的概率2图 K61 6难点突破13 (12 分)2013 青岛一模已知关于x 的一元二次函数f ( x) ax2 4 bx1.(1) 设集合 P 1 ， 2， 3 和 Q 1， 1， 2， 3， 4 ， 分别从集合P 和 Q中随机取一个数作为 a 和 b，求函数 y f ( x) 在区间 1 ， ) 上是增函数的概率；xy80，(2) 设点 ( a ， b) 是区域x0，内的随机点，y 0记 A y f ( x) 有两个零点，其中一个大于 1，另一个小于 1 ，求事件 A发生的概率3课时作业 ( 六十一 )【基础热身】1( 1) 2，圆 x2 y2 1 的圆1C 解析 由于试验的全部结果构成的区域长度为心为 (0 ， 0) ，要使直线 y k( x 2) 与圆 x2 y2 1 相交，则圆心到直线yk( x 2) 的距离23|2 k|333d k2 11，解得 3 k 3，根据几何概型的概率公式，可得所求的概率P 233 ，故选 C.32212 A 解析 利用几何概型的概率公式，得P( A) 8， P( B) 8， P( C) 6， P( D) 3，P( A) P( C) P( D) P( B) ，故选 A.3B 解析 构成试验的全部区域为圆内的区域， 面积为 3，正弦曲线 ysinx( x ， )与x轴围成的区域记为MM的面积为S 2sin xdx，根据图形的对称性，得区域0 2cosx) 0 4，所以由几何概型的计算公式可得，随机往圆O内投一个点 A，则点 A 落在区域 M内的概率 P 43，故选 B.4 9 解析 2001点落在阴影部分的频率是800 4，由于是随机的投掷点，点落在正方形1内各点是随机的，因此我们就有理由相信阴影部分的面积就是整个正方形面积的4，故阴影1部分的面积约为 4 36 9.【能力提升】5 B 解析 由题意知问题与时间长度有关，可作为几何概型求解，因为电台整点报时，则事件总数包含的时间长度是60，设事件 A表示“他等待的时间不多于15 分钟”，事151件 A 包含的时间长度是 15，由几何概型的概率公式得到P(A) 604，故选 B.6 C 解析 构成试验的全部区域为长方形ABCD的内部，长方形ABCD的面积为 S41 4；以 M点为圆心，以1 为半径在长方形ABCD中作半圆， 则该半圆内的任一点与M的距离小于1，半圆的面积11212 S 2 1 2，因此 P 与 M的距离小于 1 的概率为4 8 ，故选 C.7 A 解析 依题意得知，图中共有10 个不同的扇形，分别为扇形AOB， AOC， AOD，AOE， EOB，EOC，EOD， DOC， DOB， COB，其中面积恰为 8的扇形即相应圆心角恰为4 的扇形共有 3 个 ( 即扇形 AOD， EOC，BOD)，因此所求的概率等于3，故选 .10A8.B 解析 所求概率为图中阴影部分的面积与正方形面积的比值正方形的面积为4，41阴影部分的面积为正方形面积减去三个小直角三角形面积所得的差，其值为4 1 123，所以所求 概率为 P 3 4 3，故选 .228B39. 4解析 选择长度为相应测度，试验的全部结果构成的区域长度为1，用 A 表示事件“两截的长度都大于1 m”，则从中间将细绳剪断，剪得两段的长都大于1 m，临界处为 18831 23，故使两截的长度都大于143.的概率 P(A) 84 m8 m14103 解析 设长方体的高为h，则图 (2) 中虚线围成的矩形长为2 2h，宽为 1 2h，面 积 为 (2 2h)(1 2h)， 展 开 图 的 面 积 为2 4h.由 几 何 概 型 的 概 率 公 式 知24h1（2 2h）（ 1 2h） 4，得 h3，所以长方体的体积是V13 3.211.3 解析 构成试验的全部区域为长方形OABC的内部，长方形OABC的面积为 S8asin xdx cosxa0 1 cosa，由几何概型的概a a 8；阴影部分的面积S1)0率公式，得S131 cosa312S 16，即8 16，解得 cosa 2，则 a 的值是 3 .3112解： (1) 如图， ABC 的内部及其各条边就表示平面区域M，其中 A 2， 2，B(1 ，3) ， C(1， 2) ，1525平面区域 M的面积为 2 2 5 4 .(2) 要使直线 y ax b 的图象经过第一、二、四象限，则a0，又点 (a ， b) 的区域为 M，故使直线yax b 的图象经过第一、二、四象限的点(a ， b)11的区域为第二象限的阴影部分，故所求的概率为2 2217P .25254【难点突破】13解： (1) 函数 f(x) ax2 4bx 1 的图象的对称轴为x 2b，2 4bx 1a要使 f(x) ax在区间 1 ， ) 上为增函数，2b当且仅当 a0 且 a 1，即 2ba.当 a1 时， b 1；当 a 2 时， b 1，1；当 a3 时， b 1， 1.记 B 函数 yf(x) 在区间 1 ， ) 上是增函数 ，则事件 B 包含基本事件的个数是 12 2 5，55 1 P(B) 15 3.a b80，(2) 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 （ a， b）a0，b01其面积 S 2 8 8 32，事件 A 构成的区域a b80，ab80，A （ a， b）a0， （ a， b）a0，b0，.b0，f （ 1） 0a 4b 10a b 8 0，319由 a 4b 10， 得交点坐标为5 ， 5 ，1131961 SA 8 ，24540SA961事件 A 发生的概率为 P(A) .S1 2806