2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编：推理与证明

数学推理与证明M1合情推理与演 推理16， 2014 福建卷 已知集合2； c0 有且只有一个正确， a， b， c 0 ， 1，2 ，且下列三个关系：100a 10bc 等于 _a 2； b16 201解析 (i)若正确， 不正确，由不正确得c 0，由正确得a1，所以b 2，与不正确矛盾，故不正确(ii) 若正确， 不正确，由不正确得a 2，与正确矛盾，故不正确(iii) 若正确， 不正确， 由不正确得 a 2，由不正确及正确得 b 0，c 1，故正确则 100a 10b c 100 2 10 0 1 201.142014 全国新 卷 甲、乙、丙三位同学被 到是否去 A，B，C 三个城市 ，甲 ：我去 的城市比乙多，但没去 B 城市乙 ：我没去 C 城市丙 ：我 三人去 同一城市由此可判断乙去 的城市 _14 A 解析 由甲没去 B 城市，乙没去 C 城市，而三人去 同一城市，可知三人去 城市 A，又由甲最多去 两个城市，且去 的城市比乙多，故乙只去 A 城市x， x 0，若 f114 2014 西卷陕 已知 f(x) 1 x(x) f(x)， fn 1(x) f( fn(x) ， n N， f2014(x)的表达式 _14.x解析 由 意，得 f 1x，12014x(x) f(x)1xxf2(x)1 xxx，x， f3(x)1 2x1 3x11 x由此 推理可得f2014(x)x.12014xM2直接 明与 接 明21、 2014 湖南卷 已知函数 f(x)xcos x sin x 1(x 0)(1)求 f(x)的 区 ；(2)记 xi 为 f(x)的从小到大的第 i(i N * )个零点， 明： 一切 n N*，有 121212x1x2xn23.21 解：(1)f(x)cos x xsin x cos x xsin x.令 f(x) 0，得 x k (k N* )当 x (2k， (2k 1) )(k N) ， sin x0，此 f (x)0;当 x (2k 1)， (2k 2) )(k N ) ， sin x0.故 f(x) 的 减区 (2k， (2k1) )( k N)， 增区 (2k 1)， (2k 2) )( kN ) 0，故 x1.(2)由 (1) 知， f(x)在区 (0， )上 减又 f22当 nN * ，因 f(n )f（ n 1） ( 1)n n 1( 1)n 1(n 1) 1 0，且函数 f(x)的 像是 不断的， 所以 f(x)在区 (n，(n 1) )内至少存在一个零点 又f(x)在区 (n， (n 1) )上是 的，故n xn 1 (n 1) .因此，当 n1 ， 1 4 2；x12 23当 n2 ， 12 12 12 (4 1)2；x1x23当 n3 ，12 12 120) ， f(x)为 f(x)的 数， n N(1)求 2f12 2 f22的 ；(2) 明： 任意的nN * ，等式nfn 1fn2都成立444223 解：(1)由已知，得10sin x cos x sin x，f(x) f(x)xxx2于是 f2(x) f1 (x)cos xsin xxx2 sin x 2cos2x2sin3x，xxx所以 f142， f2216223.故 2f1 2 2 f22 1.(2) 明：由已知得，xf (x) sin x，等式两 分 x 求 ，得 f (x) xf (x) cos x，000即 f0(x) xf1(x) cos x sin x 2. 似可得2f1(x) xf2( x) sin x sin(x )，3f2(x) xf3( x) cos x sin x3 ，24f3(x) xf4( x) sin x sin(x 2 )下面用数学 法 明等式nfn 1nn 所有的 nN * 都成立(x)xf(x) sin x 2(i) 当 n1 ，由上可知等式成立(ii) 假 当 nk 等式成立，即 kf(x) xf(x) sin xkk12 .k因 kfk 1( x) xfk(x) kfk 1 (x) fk(x) xfk( x) (k1)fk(x) xfk1(x)，sin xk cos xk xk sin x（ k1），2222（ k1）所以 (k 1)fk(x) xfk 1(x) sin x2，因此当 n k 1 ，等式也成立 合 (i)(ii) 可知，等式 nfn1(x) xfn(x) sin x n 所有的 n N* 都成立2n令 x 4，可得 nfn14 4 fn4 sin 42(n N* )，所以 nfn1 fn(n N* )444M4单元 合5 2014 南 郡中学月考湖记 Sk 1k 2k 3k nk，当 k 1， 2，3， ， 察121131211413121514131n，下列等式： S1n n， S2n n n， S3 n n n， S4n n n 3022326424523516155426n2n12n An ，由此可以推 A _S1 解析 根据所 等式可知， 各等式右 的各 系数之和 1，所以 1 1 5 5 1262121A 1，解得 A12.62014 照一中月考日 二 空 中 的一 度(周 )l 2 r，二 度 (面 )Sr 2， 察 S l；三 空 中球的二 度 (表面 )S 4r 2，三 度 (体 )V 4 r 3，3 察 V S.已知四 空 中“超球”的三 度V 8 r 3，猜想其四 度W _.6 2 r 4 解析 因 W 8 r 3，所以 W 2 r4.7 2014 天水一中期末甘 察下列等式：(1 1) 2 1；(2 1)(2 2) 22 1 3；(3 1)(3 2)(3 3) 23 13 5.照此规律，第n个等式为_ 7 (n 1)(n 2)(n 3) (nn) 2n 1 3 5 (2n1)解析 察等式 律可知第n 个等式 (n 1)(n 2)(n 3) (nn)2n 1 35 (2n 1)8 2014 南昌 研 已知整数 的序列 (1，1) ，(1， 2)， (2 ，1)， (1，3) ，(2， 2)， (3，1)， (1，4)， (2， 3)， (3， 2)， (4， 1)，(1 ，5)， (2， 4)， 第57 个数 是 _8 (2， 10) 解析 由 意， 所 序数列有如下 律：(1， 1)的和 2，共 1 个；(1， 2)， (2， 1)的和 3，共 2个；(1， 3)， (2， 2)， (3， 1)的和 4，共 3个；(1， 4)， (2， 3)， (3， 2)，(4 ，1) 的和 5，共 4个；(1， 5)， (2， 4)， (3， 3)，(4 ，2) ，(5， 1)的和 6，共 5 个由此可知， 当数 中两个数字之和 n ，有 n 1 个数 易知第 57 个数 中两数之和 12，且是两数之和 12 的数 中的第2 个数 ，故 (2， 10)92014 福州模 已知点 A(x1， ax1) ，B(x2， ax2)是函数 y ax(a1) 的 像上任意不同的两点，依据 像可知， 段AB 是位于 A， B 两点之 函数 像的上方，因此有 1212成立运用 比的思想方法可知，若点A(x1ax axx x1222a2， sin x )， B(x ， sin x )是函数 ysin x(x (0， ) 的 像上任意不同的两点， 似地有_ 成立sin x1 sin x2x1 x2 解析 依据函数 y sinx(x(0， )的 像可知， 段 AB9.2sin2sin x sin xx x2 是位于 A， B 两点之 函数 像的下方，所以有1212sin2.