《常微分方程》知识点整理

常微分方程复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺 - 1 - 常微分方程复习资料 1（变量分离方程）形如()() dy f xy dx （1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(), ()f xy分别是,x y的连续函数 解法：（1）分离变量，当() 0y 时，将（1.1）写成() () dy f xdx y ，这样变量就“分离”了； （2）两边积分得() () dy f xdx c y （1.2），由（1.2）所确定的函数(,)y xc就为（1.1）的解 注：若存在 0 y，使 0 ()0y ，则 0 y y也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上 2（齐次方程）形如() dy y g dx x 的方程称为齐次方程，这里是u的连续函数 ()gu 解法：（1）作变量代换（引入新变量） y u x ，方程化为 ()du g u u dx x ，（这里由于 dy du x u dx dx ）； （2）解以上的分离变量方程； （3）变量还原 3（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程() () () 0 dy ax bxy cx dx 在的区间上可写成() 0ax () () dy Pxy Qx dx （3.1），这里假设在考虑的区间上是(), ()Px Qx x的连续函数若，则（3.1）变为() 0Qx () dy Pxy dx （3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程若() 0Qx，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程 解法：（1）解对应的齐次方程() dy Pxy dx ，得对应齐次方程解 ()px y ce dx ，为任意常数； c （2）常数变异法求解（将常数变为c x的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的 解，则 ()cx () () pxdx ycxe () ()() () ()p pxdx pxdy dc x ecxxe dx dx dx ，代入（3.1）得 ()() () pxdxdc dx x Qxe ) ，积分得； ()pxdx c () ()cx Qxe （3）故（3. 1）的通解为 () () () pxdx pxdx y eQxe c 4（伯努利方程）形如() () n dy Pxy Qxy dx 的方程，称为伯努利方程，这里为(), ()Px Qx x的连续函数 解法：（1）引入变量变换，方程变为 1 n zy (1 ) ( ) (1 ) ( ) dz nPxz nQx dx ； （2）求以上线性方程的通解； （3）变量还原 5（可解出的方程）形如y (, ) dy yfx dx (5.1)的方程，这里假设(, )f xy有连续的偏导数 解法：（1）引进参数 dy p dx ，则方程（5.1）变为(, )yfxp（5.2）； （2）将（5.2）两边对x求导，并以 dy p dx 代入，得 f fp p x px （5.3），这是关于变量,x p的一阶微分方 程； （3）（i）若求得（5.3）的通解形式为(,)p xc，将它代入（5.2），即得原方程（5.1）的通解(, (,)y fx xc， 为任意常数； c 常微分方程复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺 - 2 - （ii）若求得（5.3）的通解形式为(,)x pc，则得（5.1）的参数形式的通解为 (,) (,),) xpc y fpcp ，其中 p是参数，是任意常数； c （iii）若求得（5.3）的通解形式为，则得（5.1）的参数形式的通解为(, ,) 0 xpc (, ,) 0 (, ) xpc y fxp ，其中p 是参数，是任意常数 c 6（可解出x的方程）形如(, ) dy xfy dx (6.1)的方程，这里假设(, )f yy有连续的偏导数 解法：（1）引进参数 dy p dx ，则方程（6.1）变为(, )x fyp（6.2）； （2）将（6.2）两边对y求导，并以 1dx dy p 代入，得 1 f fp p ypy （6.3），这是关于变量,y p的一阶微分方 程； （3）若求得（6.3）的通解形式为，则得（6.1）的参数形式的通解为(, ,) 0ypc (, ) (, ,) 0 x fyp ypc ，其中p是 参数，是任意常数 c 7（不显含的方程）形如y (, ) 0 dy Fx dx 的方程，这里假设(, )Fxy有连续的偏导数 解法：（1）设 dy p dx ，则方程变为； (, ) 0Fxp （2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (, ) 0Fxp () () x t p t ，（关键一步也是最困难一步）； （3）把()x t，()p t代入dy，并两边积分得pdx () ()y ttdt c ； （4）通解为 () () () xt y ttdt c 8（不显含x的方程）形如(, ) 0 dy Fy dx 的方程，这里假设(, )Fyy有连续的偏导数 解法：（1）设 dy p dx ，则方程变为； (, ) 0Fyp （2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (, ) 0Fyp () () y t p t ，（关键一步也是最困难一步）； （3）把()y t，()p t代入 dy dx p ，并两边积分得 () () t x dt c t ； （4）通解为 () () () t x dt c t yt 9（型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数 () ( 1) (, , , , ) 0( 1) knn Fxy y y k y及 (1) , k yy 解法：令 () () k y zx，则 (1)k y z ，代入原方程，得若能求得， () ( )nn yz k () ( , ( ), ( ), , ( ) 0 nk Fxzx zx z x ()zx 常微分方程复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺 - 3 - 将 () () k y zx () yf 连续积分次，可得通解 k ,10（型可降阶高阶方程）特点：右端不显含自变量 () ( 1) (, , ) nk yy y n x 解法：设，则()y 2 2 ,( dp dy dP d p dP yPyPP dy dx dy dy dy yp 2 ), ) ，代入原方程得到新函数的()Py (1n阶 方程，求得其解为 1 () (, , , ) n 1 Py yC C dy dx ，原方程通解为 11 (, , , ) n n dy x C yC C 11（恰当导数方程）特点：左端恰为某一函数对 (1) (, , , , ) n xyy y x的导数，即 (1) (, , , , ) 0 n d xyy y dx 解法：类似于全微分方程可降低一阶 (1) (, , , , ) n x yy y C ，再设法求解这个方程 12（齐次方程）特点：（k次齐次函数） () () (, , , , ) (, , , , ) nk n x ty ty ty t F x y y yF zdx 解法：可通过变换y e 将其降阶，得新未知函数因为()zx 2() (1) ,( ), (, zdx zdx zdx nn y ze y z z e y z z z e (1) (, , , ) 0 n fxzz z ， 代入原方程并消去，得新函数的阶方程 kz e dx ()zx (n1) 13（存在唯一性定理）考虑初值问题 00 (, ) () dy f xy dx y xy （13.1），其中(, )f xy在矩形区域 00 :,R xx ayy b 上连 续，并且对满足Lipschitz条件：即存在，使对所有(,y 0L 12 (, ),x yxy R常成立 121 (, ) (, ) 2 f xy fxy Ly y， 则初值问题（13.1）在区间 0 x xh上的解存在且唯一，这里 (,) min( ,ha), ( , ) xy R MMaxfxy b M 初值问题（13.1）等价于积分方程 0 0 (, ) x x y yfty dt，构造Picard逐步逼近函数列 0 00 01 () () () (, () x n nn x xy x x yf dx 00 x xx h，n 1, 2, 14（包络的求法）曲线族（14.1）的包络包含在下列两方程(, ,) 0 xyc (, ,) 0 (, ,) 0 c xyc xyc 消去参数而得到的曲线 之中曲线 c (, ) 0Fxy (, ) 0Fxy称为（14.1）的c判别曲线 15（奇解的直接计算法）方程(, , ) 0 dy F 15.1）的奇解包含在由方程组 去参数xy dx （消 (, , ) 0 (, , ) 0 c Fxyp Fxyp p而 之 得到的曲 线(,中，此曲线称为（15 .1）的) 0 xy p别曲线，这里(,F判, )xyp 0是,x yp的连续可微函数 注：p判别曲线是否为方程的奇解，尚需进一步讨论 16（克莱罗方程）形如 dy dy yx f dx dx （16.1）的方程，称为克莱罗方程，这里 () 0fp 常微分方程复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺 - 4 - 解法：令 dy p dx ，得两边对()yxpfp x求导，并以 dy p dx 代入，即得() dp dp px pfp dx dx ，经化简， 得()0 dp xfp dx 如果0 dp dx ，则得到p c于是，方程（16.1）的通解为：()ycxfc 如果，它与等式() 0 xfp ()y xp f p联立，则得到方程（16.1）的以p为参数的解： () 0 () xfp y xp f p 或 () 0 () xfc y xc f c 其中为参数消去参数c p便得方程的一个解 17（函数向量组线性相关与无关）设 12 (), (), , () m x txt xt atb 是一组定义在区间,上的函数列向量，如果存在一组不 全为0的常数，使得对所有，有恒等式 ab c 12 , m cc c 11 2 2 () () () 0 mm cx t cx t x t ， 则称 12 (), (), , () m x txt xt在区间,上线性相关；否则就称这组向量函数在区间,上线性无关 ab ab 18（W ronsky行列式）设有n个定义在at上的向量函数b n 11 12 1 21 22 2 12 12 () () () () () () () , () , , () () () () n n n nn x txt xt x xt xt xt x txt xt ， 由这n个向量函数所构成的行列式 11 12 1 21 22 2 12 (), ( 12 () () () () () () ), () () () () () n n n nn n x txt xt x txt xt Wx x t Wtt x t x txt xt 称为这个向量函数 所构成的Wronsky行列式 n 如果向量函数 12 (), (), , () n x txt xt在at上线性相关，则它们的Wronsky行列式 b () 0, tWt a b 19（基解矩阵的计算公式） （1）如果矩阵具有个线性无关的特征向量，它们相应的特征值为A n 12 , , n vv v 12 , n （不必互不相同），那 么矩阵是常系数线性微分方程组 12 tt e 12 () , , , , n t n vv ev te x x Ax的一个基解矩阵； （2）矩阵的特征值、特征根出现复根时（略）； A （3）矩阵的特征根有重根时（略） A 20（常系数齐线性方程）考虑方程 1 1 1 0 nn n nn dx d x Lx a ax dt dt （20.1），其中为常数，称（20. 1） 为阶常系数齐线性方程 12 , n aa a n 解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根 12 , k ； （2）计算方程（20.1）相应的解： （i）对每一个实单根 k ，方程有解 k t e ； （ii）对每一个重实根1m k ，方程有个解：m 21 , , kk k tt t m etete te k t ； 常微分方程复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺 - 5 - （iii）对每一个重数是1的共轭复数i ，方程有两个解：cos , sin tt ete t ； （iv）对每一个重数是的共轭复数1m i ，方程有个解：2m 1 1 cos , cos , , cos ; sin , sin , , sin tt mt tt mt ettettet ettettet ； （3）根据（2）中的（i）、（ii）、（iii）、（iv）情形，写出方程（20.1）的基本解组及通解 21（常系数非齐次线性方程）()y py qy f x 二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程，通解 结构 0ypyqy y Yy 设非齐次方程特解() x y Qxe 代入原方程 2 () (2 ) () ( ) () () m Q x pQ x p qQx P x （1）若不是特征方程的根，可设 2 0pq () () m Qx Q x，() x m y Qxe ； （2）若是特征方程的单根，20 2 0pq p ，可设() () m Qx xQ x，() x m y xQ x e ； （3）若是特征方程的重根，20 2 0pq p ，可设， 2 () () m Qx xQ x 2 () x m y xQ xe () kx 综上讨论，设y m xe Q x ， 0 1 2 k 不是根 是单根 是重根