专题强化训练1空间几何体及点、线、面的位置关系

专题强化训练 ( 一)空间几何体及点、线、面的位置关系(建议用时： 45 分钟 ) 学业达标练 一、选择题1下列说法中正确的是()A若直线 m平面 ，直线 n平面 ，且平面 平面 ，则直线 m直线 nB两个平面一定将空间分成四部分C已知异面直线 a，b 所成的角为 45，若 a平面 ，b平面 ，则平面与平面 所成的角为 135D若平面 平面 ，直线 a?平面 ，直线 a?平面 ，直线 a平面 ，则直线 a平面 DA 中， m 与 n 可能平行，可能相交，也可能异面，可知A 不正确； B中，当两个平面平行时，将空间分为三部分，可知B 不正确； C 中，根据异面直线所成的角与二面角的平面角的定义，可知平面 和平面 所成的角与异面直线a，b 所成的角相等或互补，所以两个平面所成的角为45或 135，C 不正确； D中，由空间面面平行和线面平行的性质定理，可知D 正确故选 D.2一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323，那么该三棱柱的体积是 ()A 963B 163C243D 483D 用平行于棱柱底面的平面去截棱柱和球，截面如图所示：4 332设球的半径为R，则 3 R 3 ，所以 R 2.所以正三棱柱底面边长a 43，第 1页其高 h 2R 4， V 43(43)2 4 483.3已知直三棱柱ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球O 的球面上，若AB 3，AC4，ABAC，AA1 12，则球 O 的表面积为 ()【导学号： 07742188】A153B 160C 169D360C 由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，113其体对角线就是外接球的直径，所以球O 的半径 R 23242122 2 ，所以132球 O 的表面积 S 4 2 169，故选 C.4如图 15， C90，ACBC，M， N 分别是 BC，AB 的中点，沿直线 MN 将 BMN 折起至 B MN 位置，使二面角 B-MN-B 的大小为 60，则 BA与平面 ABC 所成角的正切值为 ()图 152433A 5B 5C 5D5C 设 BC2.过 B作 B DBC，垂足为 D(图略 )，则 BD 平面 ABC，连接 AD，则B AD 是 BA 与平面 ABC 所成的角由题意，知 BMB60，131252MB MB1，则 MD 2，BD2 ，AD1222，3BD 23tanBADAD 5 5 .5如图 1-11，四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形， SD底面 ABCD，则下列结论中不正确的是 ()图 1-11AACSBBAB平面 SCD第 2页CSA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角DAB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA所成的角D 选项 A 正确，因为 SD 垂直于平面 ABCD，而 AC 在平面 ABCD 内，所以 AC 垂直于 SD；再由 ABCD 为正方形，所以 AC 垂直于 BD，而 BD 与 SD 相交，所以 AC 垂直于平面 SBD，进而垂直于 SB.选项 B 正确，因为 AB 平行于 CD，而 CD 在平面 SCD 内，AB 不在平面 SCD内，所以 AB 平行于平面 SCD.选项 C 正确，设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 SO，则 SA 与平面 SBD 所成的角就是 ASO， SC 与平面 SBD 所成的角就是 CSO，易知这两个角相等选项 D 错误，AB 与 SC所成的角等于 SCD，而 DC 与 SA 所成的角是 SAB，这两个角不相等 二、填空题6一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是 32，则母线长为 _14 设圆台的母线长为 l，上、下底面半径分别为 r ，R，则 l2(rR)，又 32(r R)l 2l2，所以 l216，所以 l4.7如图 1-12，半径为 2 的半球内有一个内接正六棱锥P-ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是 _.【导学号： 07742189】图 1-126 7 显然正六棱锥 P-ABCDEF 的底面的外接圆是球的一个大圆， 由已知，可得大圆的半径为 2.易得其内接正六边形的边长为 2.又正六棱锥 P-ABCDEF 的第 3页高为 ，则斜高为232，所以该正六棱锥的侧面积为 1 2722 76267.8已知 A 是锐二面角 -l-中 内一点， AB 垂直 于点 B，AB 3，点 A到 l 的距离为 2，则二面角 -l-的平面角的大小为 _60 过点 A 作 l 的垂线，设垂足为 C，连接 BC(图略 )由于 AB，则ABC3为直角三角形， ACB 就是锐二面角 -l -的平面角易得 sin ACB 2，因此 ACB 60，即二面角 -l-的平面角的大小是60.三、解答题9如图 1-13，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，O 是底面 ABCD 对角线的交点图 1-13求证： (1)C1 O面 AB1D1；(2)A1 C面 AB1D1. 证明 (1)如图，连接 A1 C1，设 A1C1 B1D1 O1，连接 AO1，ABCD-A1B1C1D1 是正方体，A1ACC1 是平行四边形，A1C1AC 且 A1C1 AC，又 O1，O 分别是 A1C1， AC 的中点，O1 C1AO 且 O1C1AO，四边形 AOC1O1 是平行四边形，C1OAO1，AO1? 面 AB1D1，C1O?面 AB1D1，C1O面 AB1D1.(2) CC1面 A1B1C1D1，CC1 B1D1，第 4页又 A1C1B1D1，B1D1面 A1C1CA，即 A1CB1D1，同理可证 A1CAB1，又 B1D1AB1B1， A1C面 AB1D1.10如图 1-14，在四棱锥 P-ABCD 中， AB CD， AB AD， CD 2AB，平面 PAD底面 ABCD，PAAD，E 和 F 分别是 CD，PC 的中点 .【导学号： 07742190】图 1-14求证： (1)PA底面 ABCD；(2)BE平面 PAD；(3)平面 BEF平面 PCD .证明 (1) 平面 PAD平面 ABCDAD.又平面 PAD平面 ABCD，且 PAAD.PA底面 ABCD.(2) AB CD， CD2AB， E 为 CD 的中点，ABDE，且 AB DE.四边形 ABED 为平行四边形， BE AD.又 BE?平面 PAD，AD? 平面 PAD，BE平面 PAD.(3) AB AD，且四边形 ABED 为平行四边形BECD ，ADCD .由 (1)知 PA底面 ABCD，则 PACD，PAADA，第 5页CD平面 PAD，从而 CDPD，又 E， F 分别为 CD，CP 的中点，EFPD，故 CDEF.EF，BE? 平面 BEF，且 EFBEE，CD平面 BEF.又 CD? 平面 PCD，平面 BEF平面 PCD. 冲 A 挑战练 1已知四棱锥 S-ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于8 83，则球 O 的体积等于 ()A32B32233C16D1623A 依题意，设球 O 的半径为 R，四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 a、高为 h，1则有 hR，即 h 的最大值是R.又 AC 2R，则四棱锥 S-ABCD 的体积 VS-ABCD 322R3 2Rh 3.因此，当四棱锥 S-ABCD 的体积最大，即 h R 时，其表面积等于 ( 212R222R2R) 422R 883，解得 R2，因此球 O 的体积等于4R3323 3 ，选 A.2如图 1-15 所示，点 P 在正方形 ABCD 所在的平面外， PA平面 ABCD，PAAB，则异面直线 PB 与 AC 所成的角是 ()A90B30C45D 60第 6页图 1-15D 连接 BD 交 AC 于点 O，连接 PD，取 PD 的中点 Q，连接 OQ，AQ(图略 )，则 OQPB.设正方形 ABCD 的边长为 a.因为 PA平面 ABCD，PAABa，所以 PDPBDBAC2a.因为在 DBP 中， O，Q 分别是边 BD，PD 的中PB2a2a2a点，所以 OQ 2 2 .在ADP 中， AQ 2 ，又 OA 2 ，所以 AOQ 是等边三角形，所以 AOQ60.因为 OQPB，所以异面直线PB 与 AC 所成的角为 60.3在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC平面 ABC， PCA 90， ABC 是边长为 4 的正三角形，PC4，M 是 AB 边上的一动点，则 PM 的最小值为 _2 7 连接 CM，则由题意知 PC平面 ABC，可得 PCCM，所以 PMPC2CM2，要求 PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可，3在 ABC 中，当 CM AB 时，CM 有最小值，此时有 CM4 2 2 3，所以 PM 的最小值为 2 7.4如图 1-16，正三角形ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G，已知 A ED 是 AED 绕 DE 翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题：图 1-16动点 A在平面 ABC 上的射影在线段AF 上；恒有平面 AGF平面 BCED；三棱锥 A -FED 的体积有最大值；直线 AE 与 BD 不可能垂直其中正确命题的序号是 _.【导学号： 07742191】 对于命题 ，由题意，知 AG DE，FG DE，A GFGG，故 DE平面 AFG.又 DE? 平面 ABC，所以平面 AFG平面 ABC，故该命题第 7页正确；对于命题 ，由 可知正确；对于命题 ，当 A G 平面 ABC 时，三棱锥 A-FED 的体积有最大值， 故命题 正确；对于命题 ，当 AE 在平面 ABC上的射影与直线BD 垂直时，易证 AE 与 BD 垂直，故该命题不正确5由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 截去三棱锥 C1-B1CD1 后得到的几何体如图 1-17 所示四边形 ABCD 为正方形， O 为 AC 与 BD 的交点， E 为 AD 的中点， A1E 平面 ABCD.图 1-17(1)证明： A1 O平面 B1CD1；(2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面A1EM平面 B1CD1.证明 (1)取 B1D1 的中点 O1，连接 CO1，A1O1，由于 ABCD-A1B1C1D1 是四棱柱，所以 A1O1 OC，A1O1OC，因此四边形 A1OCO1 为平行四边形，所以A1OO1C.又 O1C? 平面 B1CD1，A1O?平面 B1CD1，所以 A1O平面 B1CD1.(2)因为 ACBD，E， M 分别为 AD 和 OD 的中点，所以 EMBD.又 A1E平面 ABCD， BD? 平面 ABCD，所以 A1EBD.因为 B1D1 BD，所以 EMB1D1，A1EB1D1.又 A1E，EM? 平面 A1EM，A1 E EME，所以 B1D1 平面 A1EM.第 8页又 B1D1? 平面 B1CD1，所以平面 A1EM平面 B1CD1.第 9页