线形系统的状态空间分析与综合.ppt

1 2 现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输 入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量， 这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由 输出反映的问题，这就是 可控性和可观测性问题 。如果系统 所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的 初态达到原点，则称系统是 可控的 ，或者更确切地是状态可 控的。否则，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可 控。相应地，如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可 由输出完全反映，则称系统是状态 可观测的 ，简称为系统可 观测。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 1） 3 例： 给定系统的动态方程为 将其表示为标量方程组的形式，有 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 2） 11 22 4 0 1 0 5 2 xx u 1 2 06 xy x uxx 11 4 uxx 25 22 26 xy 4 这表明状态变量 和 都可通过选择控制量 而由始点达到 原点， 因而系统完全可控 。但是，输出 只能反映状态变量 ，而与状态变量 既无直接关系也无间接关系，所以 系 统是不完全可观测的 。 例： 下 图所示网络，设 ，输出 。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 3） 1x 2x u y 2x 1x 21 21 , CC uxux 2 xy 5 当 且初始状态 时，则不论将 输入 取为何种形式，对于所有 ，只能是 ， 不可能做到 。也就是说，输入 能够做到使 和 同时转移到任意相同的目标值，但不能将 和 分别 转移到不同的目标值。这表明此电路不完全可控，简称电路 不可控。由于 ，故系统可观测。 1、 可控性 考虑线性时变系统的状态方程 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 4） 2121 , CCRR )()( 0201 txtx u 0tt )()( 21 txtx )()( 21 txtx 21 xxy u 2x 1x 1x 2x ),()()()()( TutBtxtAtx tTt 6 其中 为 维状态向量； 为 维输入向量； 为时间定义 区间； 和 分别为 和 矩阵。现对状态 可控、系统可控和不可控分别定义如下： 状态可控： 对于上式所示线性时变系统，如果对取定 初始时刻 的一个非零初始状态 ，存在一个 时刻 和一个无约束的容许控制 ， 使状态由 转移到 时的 ，则称此 是 在 时刻可控的。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 5） x n u p tT )(tA )(tB nn pn tTt 0 00 )( xtx 011 , ttTt t 10 ,),( ttttu 00 )( xtx 1t 0)( 1 tx 0 x 0t 7 系统可控： 对于上式所示线性时变系统，如果状态空 间中的所有非零状态都是在 时刻可控的，则称系 统在 时刻是完全可控的，简称系统在 时刻可控。若系统 在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。 系统不完全可控： 对于上式所示线性时变系统，取定 初始时刻 ，如果状态空间中存在一个或一些非零状 态在 时刻是不可控的，则称系统在 时刻是不完全可控的， 也称为系统是不可控的。 可控性是表征系统状态运动的一个定性特性 。 必须 是容许控制，即 的每个分量均在时间 区间上平方可 积，即 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 6） )( 00 tTtt 0t 0t tTt 0 0t 0t )(tu )(tu tT 0 2 ( ) ,t i t u t d t tTtt ,0 8 此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻 的选取有 关，是相对于 中的一个取定时刻来定义的。而对于线性定 常系统，其可控性与初始时刻 的选取无关。 状态与系统可达： 若存在能将状态 转移到 的控制作用，则称状态 是 时刻可达的。若 对所有时刻都是可达的，则称状态 为完全可达或一 致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是 时刻可 达的，则称该系统是 时刻状态完全可达的，或简称该系统 是 时刻可达的。 对于线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的。但 对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价的。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 7） 0t tT 0t 0)( 0 tx ff xtx )( fx 0t fx fx 0t 0t 0t 9 2、 可观测性 可观测性表征状态可由输出完全反映的性能，所以应同时考 虑系统的状态方程和输出方程 其中， 分别为 的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程 的解为 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 8） tTttutBtxtAtx ),()()()()( 00 )(),()()()()( xtxtutDtxtCty )()(),(),( tDtCtBtA 和 )()(),(),( pqnqpnnn 和 tt duBtxtttx 0 )()(),(),()( 00 10 其中 为系统的状态转移矩阵。将上式代入输出方程， 可得输出响应为 若定义 则输出响应可写为 这表明可观测性即是 可由 完全估计的性能。由于 和 可取任意值，所以这又等价于研究 时由 来估计 的 可能性，即研究零输入方程 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 9） ),( 0tt )()()()(),()(),()()( 00 tutDduBttCxtttCty )()()()(),()()()( tutDduBttCtyty 00 ),()()( xtttCty y0 x 0u y 0 x y 0 x 11 的可观测性。输出响应成为 下面给出系统可观测性的有关定义。 系统完全可观测： 对于线性时变系统，如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ，对于所有 ， 系统的输出 能惟一确定状态向量 的初值，则称系统 在 内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切 系统都是可观测的，则称系统在 内完全可观测。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 10） tTttxtxtxtAtx ,)(),()()( 000 )()()( txtCty 00 ),()()( xtttCty tTt 0 011 , ttTt t 10 ,ttt )(ty )( 0tx 10,tt 01 tt ,0t 12 系统不可观测： 对于线性时变系统，如果取定初始时 刻 ，存在一个有限时刻 ，对于所有 ， 系统的输出 不能惟一确定所有状态 的 初值，即至少有一个状态的初值不能被 确定，则称系统在 时间区间 内是不完全可观测的，简称不可观测。 3、 线性定常连续系统的可控性判据 考虑线性定常连续系统的状态方程 其中 为 维状态向量； 为 维输入向量； 和 分别为 和 常阵。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 11） tTt 0 011 , ttTt t 10 ,ttt )(ty nitx i ,2,1),( 0 )(ty 10 ,tt 0,)0(),()()( 0 txxtButAxtx x u pn A B )( nn ()np 13 下面根据 和 给出系统可控性的常用判据。 格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统完全可控的充分必 要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵： 为非奇异。 格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统 可控性的常用判据是直接由矩阵 和 判断可控性的秩判据。 凯莱哈密顿定理 设阶矩阵的特征多项式为 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 12） A B 01 t dteBBetW tATAt T ),0( 1 A B 0111)( aaaAIf nnn 14 则 满足其特征方程，即 推论 1 矩阵 的 次幂可表示为 的 阶多项式 推论 2 矩阵指数 可表示为 的 阶多项式 秩判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是 其中 为矩阵 的维数， 称为系统的 可控性判别阵。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 13） A 0)( 0111 IaAaAaAAf nnn )( nkk )1( nA A 1 0 n m m m k AaA Ate )1( nA 1 0 )( n m m m At Atae nBAABBr a n k n 1 n A BAABBS n 1 15 例： 桥式网络如图所示，试用可控性判据判断其可控性。 解 ： 该桥式电路的微分方程为 选取状态变量 ， 消去 ，可得状态方程 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 14） uiRiR dt di L iRuciR iRuciR iiiii L L 3311 2211 3344 4321 CL uxix 21 , 4321 , iiii 16 其可控性矩阵为 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 15） uLxRR RRR RLxRR RRRR RRLx 111 2 43 3 21 1 1 43 43 21 21 1 2 4321 1 43 4 21 2 2 1111 x RRRRCxRR R RR R Cx 21 2 43 4 43 43 21 21 2 1 0 11 RR R RR R LC RR RR RR RR LL AbbS 17 当 时， ，系统可控。 当电桥处于平衡状态，即 时， 及 成立，这时状态方程变为 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 16） 21 2 43 4 RR R RR R nra n k S 2 3241 RRRR 43 3 21 1 RR R RR R 43 4 21 2 RR R RR R u L x RR RR RR RR L x 11 1 43 43 21 21 1 2 4321 2 111 x RRRRC x 18 可控性矩阵为 ，系统不可控， 不能控制 ， 是不可控 状态变量。 例： 判别下列系统的可控性： 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 17） 00 11 43 43 21 21 2 RR RR RR RR LLAbbS nra n k S 1 u 2x 2x 2 1 3 2 1 3 2 1 11 11 12 310 020 231 u u x x x x x x 19 解 可控性判别矩阵为 显见矩阵的第二行与第三行线性相关， ，系统 不可控。 PBH秩判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要条 件是，对矩阵 的所有特征值 ， 均成立，或等价地表示为 即 和 是左互质的。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 18） 442211 442211 452312 2 BAABBS 32 ra n k S ),2,1( nii A ;nBAr a n k i ni ,2,1 CsnBAsIr a n k , )( AsI B 20 由于这一判据是由波波夫和贝尔维奇首先提出，并由豪塔斯 最先指出其可广泛应用性，故称为 PBH秩判据 。 例： 已知线性定常系统的状态方程为 试判别系统的可控性。 解： 根据状态方程可写出 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 19） , 02 10 01 10 0500 1000 0100 0010 uxx 4n 21 考虑到 的特征值为 ，所以只 需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算知，当 时，有 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 20） 02500 10100 01010 10001 s s s s BAsI 5,5,0 4321 A 021 s 4 2050 0100 1010 0001 r a n kBAsIr a n k 22 当 时，有 当 时，有 计算结果表明，系统完全可控。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 21） 53 s 4 0200 1000 0150 1015 r ankBAsIr ank 54 s 4 0200 1000 0150 1015 r ankBAsIr ank 23 PBH特征向量判据 线性定常连续系统完全可控的充分 必要条件是， 不能有与 的所有列相正交的非零左特征向 量。即 对的任一特征值 ，使同时满足 的特征向量 。 一般地说， PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特 别是线性系统的复频域分析中。 约当规范型判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要 条件分两种情况： 1）矩阵 的特征值 是两两相异的。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 22） A B iA ,TiT A 0BT 0 n , 21 A 24 由线性变换可将状态方程变为对角线规范型 则系统完全可控的充分必要条件是，在上式中，不包含元素 全为零的行。 2）矩阵的特征值为 ，且 。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 23） uBxx n 2 1 )(,),(),( 2211 重重重 ll nl 21 25 由线性变换化为约当规范型 其中 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 24） uBxAx l pn l nn B B B B J J J A , 2 1 )( 2 1 )( , 2 1 )( 1 i i i J ia J J J ii i i ia i i p i B B B B 2 1 )( 26 而 ，由 的最后一 行所组成的矩阵 对 均为行线性无关。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 25） r i k ik ik pr ik i i i rr ik b b b BJ ikikik , 1 1 1 2 1 )()( iiaii irrr )( 21 ),2,1( iki kB i i ri ri ri b b b B 2 1 li ,2,1 27 4、 输出可控性 如果系统需要控制的是输出量而不是状态，则需研究系统的 输出可控性。 输出可控性： 若在有限时间间隔 内，存在无约束 分段连续控制函数 ，能使任意初始输出 转 移到任意最终输出 ，则称此系统是输出完全可控，简称 输出可控。 输出可控性判据 设线性定常连续系统的状态方程和输 出方程为 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 26） 10,tt 10 ,),( ttttu )( 0ty )( 1ty 10 ,0,)0(, ttxxBuAxx DuCxy 28 式中， 为 维输入向量； 为 维输出向量； 为 维状态 向量。状态方程的解为 则输出 不失一般性，令 ，有 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 27） u p y q x n 10 )(01 ,0,)()( 1 11 ttdttBuexetx t ttAAt )()()( 10 )(01 1 11 tDudttBueCxCety t ttAAt 0)( 1 ty 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 )( 0 1 1 1 11 )()()( )()()( )( n m t m m t n m m m t ttAAt tDudttutBAC tDudttBuAtC tDudteCxCe 29 令 ，则 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 28） 101 )()()( t mm dttuttu 1 0 110 )()( 1 n m m mAt tDutBuACxCe )()()()( 11111110 tDutBuCAtC A B utC B u nn )( )( )( )( 1 11 11 10 1 tu tu tu tu DBCAC A BCB n n 30 令 为 矩阵，称为输出一矩阵。输出可控的充 分必要条件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数 ， 即 注意： 状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没 有什么必然的联系。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 29） DBCAC A BCBS n 10 0S pnq )1( q qrank S 0 31 例： 已知系统的状态方程和输出方程为 试判断系统的状态可控性和输出可控性。 解： 系统的状态可控性矩阵为 ，故状态不完全可控。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 30） uxx 1 1 21 10 xy 01 11 11ABBS 2,0 r a n k SS 32 输出可控性矩阵为 ，输出可控。 5、 线性定常连续系统的可观测性判据 考虑输入 时系统的状态方程和输出方程 其中， 为 维状态向量； 为 维输出向量； 和 分别为 和 的常值矩阵。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 31） 0110 DC A BCBS qra n k S 10 0u CxytxxAxx ,0,)0(, 0 y qx n A C nn nq 33 格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统完全可观测的充分 必要条件是，存在有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩 阵： 为非奇异。 秩判据 线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件 是 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 32） 01 t dtCeCetM AtTt tA T 101 ),0( n CA CA C r ank n 1 34 或 上两式中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。 例： 判断下列系统的可观测性： 1） 2） 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 33） nCACACACr a n k TnTTTTTT 12 )()( ,BuAxx Cxy 01,13,10 02 CBA 11 01, 01 12, 11 11 CBA 35 解： 1） 故系统不可观测。 2） 故系统可观测。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 34） ,21,100 21 nr a n k Vr a nCACr a n kr a n k V TTT 1 1 1 0 2 , 2 , 0 1 1 2 T T Tr a n k V r a n k C A C r a n k r a n k V n 36 PHB秩判据 线性定常连续系统完全可观测的充分必要条 件是，对矩阵 的所有特征值 ，均有 或等价地表示为 也即 和 是右互质的。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 35） ),2,1( nii A nin AI C r a n k i ,2,1; Csn AsI Cr a n k , )( AsI C 37 PBH特征向量判据 线性定常连续系统完全可观测的充 分必要条件是， 没有与 的所有行相正交的非零右特征向 量。即对 的任一特征值 ，使同时满足 的特征向量 。 约当规范型判据 线性定常连续系统完全可观测的充分 必要条件分两种情况： 1）当矩阵 的特征值 两两相异时，由线性变换 导出的对角线规范型为 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 36） 0, sA i ),2,1( nii A C A 0 n , 21 A xCyxx n , 2 1 38 式中 不包含元素全为零的列。 2）当 矩阵的特征值为 ，且 时，对原式进行线性变换导出的约当 规范型为 其中 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 37） C )(,),(),( 2211 重重重 ll A nl 21 xCyxAx , l nq l nn CCCC J J J A , 21 )( 2 1 )( 39 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 38） , 2 1 )( i ii i i i i J J J J i i iiiq i CCCC 21)( li ,2,1 r i kikik rq ik i i i rr ik CCCCJ ikikik ; 1 1 1 21 )( 1 )( 40 且 ，由 的第一 列所组成的矩阵 对 均为列线性无关。 例： 已知线性定常系统的对角线规范型为 试判定系统的可观测性。 解： 显然，此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统 为完全可观测。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 39） iiaii irrr )( 21 ),2,1( iki kC ii iii CCCC 12111 li ,2,1 xyxx 320 001 , 200 010 008 C 41 6、 线性离散系统的可控性和可观测性 （ 1）线性离散系统的可控性和可达性 设线性时变离散时间系统的状态方程为 其中 为离散时间定义区间。如果对初始时刻 和状态 空间中的所有非零状态 ，都存在时刻 ，和 对应的控制 ，使得 ，则称系统在时刻 为完 全可控。对应地，如果对初始时刻 和初始状态 ， 存在时刻 和相应的控制 ，使 可为状态 空间中的任意非零点，则称系统在时刻 为完全可达。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 40） kTkkukHkxkGkx ),()()()()1( kT kTl )(lx lmTm k , )(ku 0)( mx l kTl 0)( lx lmTm k , )(ku )(mx l 42 对于离散系统，不管是时变的还是定常的，其可控性和 可达性只有在一定条件下才是等价的。其等价的条件分别为 1）线性离散时间系统的可控性和可达性为等价的充分必要 条件是，系统矩阵 对所有 为非奇异； 2）线性定常离散时间系统 可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵 为非奇异。 3）如果离散时间系统是相应连续时间系统的时间离散化模 型，则其可控性和可达性必是等价的。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 41） )(kG 1, mlk ,2,1,0);()()1( kkHukGxkx G 43 线性定常离散系统的可控性判据 设单输入线性定常离 散系统的状态方程为 其中 为 维状态向量； 为标量输入； 为 非奇异 矩阵。状态方程的解为 根据可控性定义，假定 时， ，将上式两端左 乘 ，则有 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 42） )()()1( khukGxkx x n u G )( nn 1 0 1 )()0()( k i ikk ihuGxGkx nk 0)( nx nG )()0( 1 0 1 ihuGx n i i )1()1()0( 21 nhuGhuGhuG n 44 记 称 为 可控性矩阵 。由线性方程组解的存在定理可 知，当矩阵 的秩与增广矩阵 的秩相等时，方 程组有解且为惟一解，否则无解。 在 为任意的情况下， 使方程线有解的充分必要条件是矩阵 满秩 ，即 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 43） )1( )1( )0( 21 nu u u hGhGhG n hGhGhGS n 211 1S )( nn )0(1 xS 1S )0(x 1S nSrank 1 45 或矩阵 的行列式不为零 或矩阵 是非奇异的。 由于满秩矩阵与另一满秩矩阵 相乘其秩不变，故 交换矩阵的列，且记为 ，其秩也不变，故有 在判断系统的可控性时，使用上式比较方便。 上面四式即为可控性判据。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 44） 1S 1S 0d et 1 S nG 11 SGr a n kSr a n k n nhGhhGr a n k n 1 1S nhGGhhr a n kr a n k S n 11 46 当 时，系统不可控，表示不存在使任意 转移至 的控制。 以上研究了终态为 的情况，若令终态为任意 给定状态 ，则状态方程的解变为 将上式两端左乘 ，有 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 45） nrankS 1 )0(x 0)( nx )(nx 0)( nx 1 0 1 )()()0( n i inn ihuGnxxG nG )1( )1( )0( )()0( 21 nu u u hGhGhGnxGx nn 47 当 满秩时，前式左端只不过是任一给定的另一初态，其状 态可控性条件可用以上推导方法得出完全相同的结论。若令 ，上述结论同样成立。可见，当 为非奇异阵时， 系统的可控性和可达性是等价的。 上述研究单输入离散系统可控性的方法可推广到多输入系统。 设系统的状态方程为 所谓 可控性问题， 即是能否求出无约束控制向量序列 ，使 系统能从任意初态 转移至 。上式的解为 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 46） G 0)0( x G )()()1( kHukGxkx )1(,),1(),0( nuuu 0)( nx )0(x )()0()( 1 0 1 iHuGxGkx k i ikk 48 令 ，且方程两端左乘 ，有 记 为 矩阵，由子列向量 构成的控 制列向量是 维的。上式含 个方程，但有 个待求的控 制量。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 47） 0)(, nxnk nG )1()1()0()()0( 211 0 1 nHuGHuGHuGiHuGx n n i i )1( )1( )0( 21 nu u u HGHGHG n HGHGHGS n 212 )( npn )1(,),1(),0( nuuu np npn 49 由于初态 可任意给定，根据解存在定理，矩阵 的秩 为 时，方程组才有解。于是 多输入线性离散系统状态可 控的充分必要条件 是 或 或 或 或 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 48） )0(x 2S n nSrank 2 nHGHHGr a n kSGr a n kSr a n k nn 122 nHGGHHr a n kSr a n k n 12 0d e t 22 TSS nSra n k S T 22 50 例： 双输入线性定常离散系统的状态方程为 试判断可控性，并研究使 的可能性。 解： 显然，由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故系统可控。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 49） )()()1( kHukGxkx , 041 020 122 G 01 10 00 H 0)1( x 1014001 402010 422100 2 2 HGGHHS 51 一定能求得控制序列使系统由任意初始状态三步内转移到原点。 由 可得 设初始状态为 ，由于 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 50） 0)0()0()1( HuGxx )0( )0( 32 2 1 0 21 )0( )0( 01 10 00 231 0 2 1 0 120 )0()0( 2 1 2 11 u u u u HuGx Tx 201)0( 2 332 0 2 1 0 121 32 2 1 0 21 r a n kr a n k 52 可求得 ，在一步内使系统由初始状态转移 到原点。设初始状态 ，也可使系统在 一步内由初始状态转移到原点，但 。本例 不能使系统由任意初始状态一步内转移到原点。 （ 2）线性离散系统的可观测性 设离散系统为 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 51） 0)0(,1)0( 21 uu T x 3 2 12)0( 1)0(,0)0( 21 uu kTkkukHkxkGkx ),()()()()1( )()()()()( kukDkxkCky 53 若对初始时刻 的任一非零初始状态 ，都存在 有限时刻 ，且可由 上的输出 惟一地 确定 ，则称系统在时刻 是完全可观测的。 线性定常离散系统的可观测性判据 设线性定常离散系 统的动态方程为 其中 为 维状态向量， 为 维输出向量，其解为 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 52） kTl 0)( xlx lmTm k , ml, )(ky 0 x l )()()(),()()1( kDukCxkykHukGxkx )(kx n q)(ky 1 0 1 )()0()( k i ikk iHuGxGkx 1 0 1 )()()0()( k i ikk kDuiHuGCxCGky 54 研究可观测性问题时， 均为已知，故不失 一般性，可将动态方程简化为 对应的解为 将 写成展开式 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 53） DCHGku ,),( )()(),()1( kCxkykGxkx )0()(),0()( xCGkyxGkx kk )(ky )0()1( )0()1( )0()0( 1 xCGny C G xy Cxy n 55 其向量矩阵形式为 令 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 54） )0( )0( )0( )1( )1( )0( 2 1 1 n n x x x CG CG C ny y y 1 1 n T CG CG C V 56 称为线性定常离散系统的可观测性矩阵，为 矩阵。 系统可观充分必要条件为 由于 ，故线性定常离散系统的可观测性判 据常表示为 （ 3）连续动态方程离散化后的可控性和可观测性 一个可控的或可观测的连续系统，当其离散化后并不一定能 保持其可控性或可观测性。现举例来说明。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 55） TV1 )( nnq nra n k V T 1 11 r a n k Vr a n k V T nCCCGCr a n kr a n k V TnTTTT 11 )( 57 设连续系统动态方程为 由于系统的状态方程为可控标准型，故一定可控。根据可观 测性判据有 故系统可观测。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 56） ,10010 2 1 2 2 1 u x x x x 2 101 x xy nr a n kr a n k V 2 10 01 1 58 系统的状态转移矩阵为 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 57） 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) s s ss t L sI A L L s s ss t t dbdtG tt s i n c o s1 c o s s i n )()( 2 00 si n c os si n c os t t tt 59 系统离散化后的状态方程为 离散化后系统的可控性矩阵为 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 58） )()()()()1( kuTGkxTkx 2 1 2 1 c o s sin ()c o s () () sin sin c o s T T xkT uk xk T TT TTTT TTTT TGTTGS s i nc oss i n2s i n s i nc osc osc os1 )()()( 2 22 2 1 60 离散化后系统的可观测性矩阵为 当采样周期时 ，可控性矩阵 和可观测性 矩阵 均出现零行， ，系统不可 控也不可观测。 这表明连续系统可控或可观测时，若采样周 期选择不当，对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测， 也有可能既不可控又不可观测。若连续系统不可控或不可观 测，不管采样周期 如何选择，离散化后的系统一定是不可 控或不可观测的。 二、 线性系统的可控性与可观测性 （ 59） T T CTCV TTT s i n0 c o s1 )(1 ),2,1( kkT 1S 1V nr a n k Vnr a n k S 1,1 11 T 61 1、 状态空间表达式的线性变换 设系统动态方程为 令 式中 为非奇异线性变换矩阵，它将 变换为 ，变换后 的动态方程为 式中 并称为对系统进行变换。线性变换的目的在于使 阵规范化， 并不会改变系统的原有性质，故称为等价变换。分析计算后， 再引入反变换关系 ，得出最终结果。 三、 线性定常系统的线性变换 （ 1） cxybuAxx , xPx P x x yxcyubxAx , cPcbPbAPPA 11 , A xPx 1 62 下面概括给出本章中常用的几种线性变换关系。 （ 1）化阵为对角型 1）设 阵为任意形式的方阵，且有 个互异实数特征 值 ，则可由非奇异线性变换化为对角阵 。 阵由 阵的实数特征向量 组成 三、 线性定常系统的线性变换 （ 2） n , 21 A n n APP 1 1 1 P ),2,1( nip i A npppP 21 63 特征向量满足 2）若 阵为友矩阵，且有 个互异实数特征值 ， 则下列的范德蒙特 矩阵 可使 对角化： 三、 线性定常系统的线性变换 （ 3） nipAp iii ,2,1 n , 21 A n ( m od )Vande r e P A 11 2 1 1 22 2 2 1 21 1210 111 , 1000 0100 0010 n n nn n n n P aaaa A 64 3）设 阵具有 重实数特征值 ，其余为 个互异 实数特征值，但在求解 时仍有 个 独立实特征向量 ，则仍可使 阵化为对角阵 。 三、 线性定常系统的线性变换 （ 4） A m 1 )( mn ),2,1(1 mipAp ii m mppp , 21 A 1 11 1 0 0 n n P A P nmm pppppP 121 65 n m APPJ 0 1 0 1 1 1 1 1 1 式中 是互异实数特征值对应的实特征向量。 （ 2）化 阵为约当阵 1）设 阵具有 重实特征值 ，其余为 个互异实特 征值，但在求解 时只有一个独立实特征向量 ， 只能化为约当阵 。 三、 线性定常系统的线性变换 （ 5） nmm ppp , 21 A m 1 )( mn ii pAp 1 1p A J A 66 中虚线示出存在一个约当块。 式中 是广义实特征向量，满足 是互异特征值对应的实特征向量。 三、 线性定常系统的线性变换 （ 6） J nmm pppppP 121 mppp , 32 mm pppAppp 21 1 1 1 21 1 1 nm pp ,1 67 2）设 为友矩阵，具有 重实特征值 ，且只有一个独立 实特征向量 ，则使 约当化的 为 式中 3）设 阵具有五重实特征值 ，但有两个独立实特征向量 ，其余为 个互异实特征值， 阵约当化的可 能形式是 三、 线性定常系统的线性变换 （ 7） mA 1 1p A P nmn n ppppppP 11 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 Tnp 112111 1 A 1 21 , pp )5( n A 68 n APPJ 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 三、 线性定常系统的线性变换 （ 8） 69 中虚线示出存在两上约当块，其中 （ 3）化可控系统为可控标准型 在前面研究状态空间表达式的建立问题时，曾得出单输 入线性定常系统状态方程的可控标准型： J 三、 线性定常系统的线性变换 （ 9） npp pppppP 6 1 2 22 1 1 2 1 1 1 u x x x x aaaax x x x n n nn n 1 0 0 0 1000 0100 0010 1 2 1 1210 1 2 1 70 与该状态方程对应的可控性矩阵 是一个右下三角阵，其主 对角线元素均为 1，故 ，系统一定可控，这就是形 如上式中 的称为可控标准型名称的由来。其可控性矩阵 形如 三、 线性定常系统的线性变换 （ 10） S 0det S bA, S 21 1 1 1 1 10 100 1000 10000 nn n n n aa a a bAAbbS 71 一个可控系统，当 不具有可控标准型，一定可以 选择适当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为 进行 变换，即令 变换为 要求 三、 线性定常系统的线性变换 （ 11） bA, buAxx 1P zPx 1 P buP A Pz 1 1 0 0 0 , 1000 0100 0010 1210 1 Pb aaaa PAP n 72 下面具体推导变换矩阵 ： 设变换矩阵 为 根据 阵变换要求， 应满足变换要求，有 展开为 三、 线性定常系统的线性变换 （ 12） P P TTnTT pppP 21 A P n n nn n p p p p aaaa A p p p p 1 2 1 1210 1 2 1 1000 0100 0010 73 经整理有 三、 线性定常系统的线性变换 （ 13） nnn nn papapaAp pAp pAp pAp 12110 1 32 21 n n n pApAp pApAp pAp 1 11 3 2 12 21 74 由此可得变换矩阵 又根据 阵变换要求， 应有 即 三、 线性定常系统的线性变换 （ 14） 1 1 1 1 n Ap Ap p P b P 1 0 0 1 1 1 1 1 1 bA Ab b pb Ap Ap p Pb nn 10011 bAAbbp n 75 故 该式表明 是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是可得出 变换矩阵 的求法如下： 1）计算可控性矩阵 ； 2）计算可控性矩阵的逆阵 ，设一般形式为 3）取出 的最后一行（即第 行）构成 行向量 三、 线性定常系统的线性变换 （ 15） 111 100 bAAbbp n 1p 1P bAAbbS n 1 1S nnnn n n SSS SSS SSS S 21 22221 11211 1 n1S 1p nnnn SSSp 211 76 4）构造阵 5） 便是将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵。 2、 对偶原理 在研究系统的可控性和可观测性时，利用对偶原理常常 带来许多方便。 三、 线性定常系统的线性变换 （ 16） P 1 1 1 1 n Ap Ap p p 1P 77 设系统为 ，则系统 为系统 的对偶系统。其动态方程分别为 其中， 均为 维状态向量； 均为 维向量； 均为 维向量。注意到系统与对偶系统之间，其输入、输出向量 的维数是相交换的。当 为 的对偶系统时， 也是 的对 偶系统 。不难验证，系统 的可控性矩阵 与对偶系统 可观测性矩阵 完全相同； 三、 线性定常系统的线性变换 （ 17） ),(1 CBAS ),(2 TTT BCAS 1S CxyBuAxxS ,:1 zBCzAzS TTT ,2 ： zx, n ,u p ,y q 2S 1S 2S1S BAABB n 1 2S 1S TTnTTTTTTTT BABAB )()()()()( 1 78 系统 的可观测性矩阵 与对 偶系统 的可控性矩阵 完全相同。 应用对偶原理 ，把可观测的单输入单输出系统化为可 观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问 题。设单输入单输出系统动态方程为 系统可观测，但 不是可观测标准型。其对偶系统动态方 程为 对偶系统一定可控，但不是可控标准型。可利用已知的化为 可控标准型，再一次使用对偶原理，便可获得可观测标准型。 下面仅给出其计算步骤： 三、 线性定常系统的线性变换 （ 18） 2S 1S TnTTTT CACAC 1)( TnTTTT CACAC 1）（ cxybuAxx , cA, zbcAz TTT , 79 1）列出对偶系统的可控性矩阵（即原系统的可观测性矩阵 ） 2）求 的逆阵 ，且记为行向量组 3）取 的第 行 ，并按下列规则构造变换矩阵 三、 线性定常系统的线性变换 （ 19） 2V TnTTTT cAcAcV 12 )( 12V2V T n T T V 2 1 1 2 n Tn P 12V 1 )( nTT n TT n T n A A P 80 4）求 的逆阵 ，并引入 变换即 ，变换后 记方程为 5）对对偶系统再利用对偶原理，便可获得原系统的可观测 标准型，结果为 与原系统动态方程相比较，可知将原系统化为可观测标 准型需要进行 变换，即令 三、 线性定常系统的线性变换 （ 20） P 1P zPz 11P zPbPczPPAz TTT 11 , buPxAPPuPbxPPAx TTTTTTT )()( 11 xcPxPcy TTT )( TP xPx T 81 其中 为原系统可观测性矩阵的逆阵中第 行的转臵。 3、 非奇异线性变换的不变特性 通过研究将会表明，系统经过非奇异线性变换，系统 的特征值、传递矩阵、可控性、可观测性等重要性质均保持 不变。下面以 变换为例进行论证。 设系统动态方程为 令 ，变换后动态方程为 三、 线性定常系统的线性变换 （ 21） nnnnT AAP 1 n n P DuCxyBuAxx , DuxCPyyBuPxAPPx ,11 xpx 82 （ 1） 变换后系统特征值不变 变换后系统的特征值为 可见，系统变换后与变换前的特征值完全相同，这说明对于 非奇异线性变换，系统特征值具有不变性。 三、 线性定常系统的线性变换 （ 22） AIAIIAIPP AIPPPAIPPAIP APPPPAPPPPAPPI 1 111 11111 )( 83 （ 2）变换后系统传递矩阵不变 变换后系统的传递矩阵为 这表明变换前与变换后系统的传递矩阵完全相同，系统的传 递矩阵对于非奇异线性变换具有不变性。 三、 线性定常系统的线性变换 （ 23） DBPAPPsICPsG 111 )()( DBPAPPs I PPCP 1111 )( DBPPAsIPCP 111 )( DBPPAsIC P P 111 )( )()( 1 sGDBAsIC 84 （ 3）变换后系统可控性不变 变换后系统可控性矩阵的秩为 其中， 为变换后系统的可控性矩阵； 为变换前系统的 可控性矩阵。可见，变换后与变换前系统可控性矩阵的秩相 等，根据系统可控性的秩判据可知，对于非奇异线性变换， 系统的可控性不变。 三、 线性定常系统的线性变换 （ 24） BPAPPBPAPPBPAPPBPr a n kSr a n k n 111121111 )()()( BAPBAPABPBPr a n k n 112111 BABAABBr a n k P n 121 r a n k SBABAABBr a n k n 12 S S 85 （ 4）变换后系统可观测性不变 设变换后系统的可观测性矩阵为 ，变换前系统的可观测 性矩阵为 ，则有 可见，变换后与变换前系统的可观测性矩阵的秩相等，故系 统的可观测性不变。 三、 线性定常系统的线性变换 （ 25） V V 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )T T T T T n T Tra n k V ra n k CP P A P CP P A P CP P A P CP TTnTTTTTTTTT CAPCAPCAPCPr a n k )()( 12 TTnTTTTTT CACACACr a n k P )()( 12 r a n k VCACACACr a n k TTnTTTTT )()( 12 86 4、 线性定常系统的结构分解 从可控性和可观测性出发，状态变量便可分为可控可观 测 、可控不可观测 、不可控可观测 、不可控不 可观测 四类。由对应状态变量构成的子空间也分为四类， 因而系统也对应分成了四类子系统，称为 系统的结构分解 ， 也有的参考文献称此为 系统的规范分解 。 研究方法是选取一种特殊的线性变换，使原来的状态向 量 变换成 ，相应地使原动态方程 中的矩阵 变换成某种标准构造的形式。 三、 线性定常系统的线性变换 （ 26） cox ocx ocx ocx TT ocT ocT oxTco xxxx x CBA , 87 （ 1）系统按可控性的结构分解 设不可控系统的动态方程为 若系统可控性矩阵的秩为 ，则可从可控性矩阵中 选出 个线性无关的列向量 ，另外再任意选取 尽可能简单的 个 维列向量 ，使它 们与 线性无关，则就可以构成非奇异变换矩阵 对动态方程进行非奇异线性变换 三、 线性定常系统的线性变换 （ 27） CxyBuAxx , )( nrr r rsss , 21 )( rn n nrr sss , 21 rsss , 21 nrr sssssP 1211 c c x x Px 1 88 方程便变换为下列的规范表达式： 式中， 为 维可控状态子向量； 为 维不可控状 态子向量，并且 三、 线性定常系统的线性变换 （ 28） c c c c c c x x CPyP B u x x PAP x x 11 , cx r cx )( rn ， 行 行 )(0 22 12111 rn r A AAPA P 列列 )( rnr 行 行 )(0 1 rn rBPB 列p 1 12C P C C q r 行 列 （n - r ）列 89 展开规范表达式，有 将输出向量进行分解，令 ，则可得子系统动态 方程，其中可控子系统动态方程为 不可控子系统动态方程为 三、 线性定常系统的线性变换 （ 29） cc cc ccc xCxCy xAx uBxAxAx 21 22 11211 21 yyy cccc xCyuBxAxAx 1111211 , ccc xCyxAx 2222 , 90 上述系统结构分解方式称之为可控性规范分解，系统方块图 如图所示。 三、 线性定常系统的线性变换 （ 30） 91 系统结构的可控性规范分解具有下列特点： 1）由于 三、 线性定常系统的线性变换 （ 31） BAABBr a n k n 1 )()()( 111 PBP A PPBP A PPBr a n k n 000 1 1 111111 BABABr a n k n 11111111 BABABr a n k n r 92 三、 线性定常系统的线性变换 （ 32） )()()( 1111 PBP A PsICPBAsIC 00 1 1 22 1211 21 B A AA sICC 00 1 1 22 1211 21 B AsI AAsICC 0)(0 )()()( 1 1 22 1 2212 1 11 1 11 21 B AsI AsIAAsIAsICC 11111 )( BAsIC 93 因而 维系统 是可控的，并且和系统 具有相同的传递函数矩阵。如果从传递特性的角度分析系统 时，可以等价地用分析子系统 来代替， 由于后者维数降低了很多，可能会使分析变变得简单。 2）输入 只能通过可控子系统传递到输出，而与不可控子 系统无关，故 至 之间的传递函数矩阵描述不能反映不可 控部分的特性，这就从物理意义上进一步说明了可控子系统 和系统 具有相同的传递函数矩阵。 三、 线性定常系统的线性变换 （ 33） r ),( 1111 CBA ),( CBA ),( CBA ),( 1111 CBA u yu ),( CBA),( 1111 CBA 94 但是，不可控子系统对整个系统的影响是存在的，不可忽视。 因而要求 仅含稳定特征值，以保证整个系统稳定，并且 考虑到可控子系统的状态响应 和整个系统的输出响应 均与不可控子系统的状态 有关。 3）由于选取非奇异变换阵 的列向量 及 的非惟一性，虽然系统可控性规范分解的形式 不变，但诸系数阵不相同，故可控性规范分解不是惟一的。 设一个可控性规范分解系统为 ， 三、 线性定常系统的线性变换 （ 34） 22A )(txc )(ty cx 1P rsss , 21 nr ss ,1 ),( CBA 211 22 1211 , 0 , 0 CCCBB A AAA 95 另一个可控性规范分解系统为 ， 则 与 的阶数均为 。这是因为 三、 线性定常系统的线性变换 （ 35） ).,( CBA 211 22 1211 , 0 , 0 CCCBB A AAA 11A 11A r 11111111 BABABr a n k r 11111111 BABABr a nk n BABABr a nk n 1 BAABBr a n k n 1 BABABr a n k n 1 11111111 BABABr a n k n 11111111 BABABr a n k r r 96 4）由于 故 的稳定性完全由 的特征值 决定； 的 稳定性完全由 的特征值 决定，而 都是 的特征值。 称为系统的可控因子或可控振型， 称为不可控因子或不可控振型。对于不同的分解， 如 和 ，虽然诸系数矩阵不相同，但可 控因子和不可控因子是相同的，这是由于非奇异线性变换不 改变系统特征值的缘故。 三、 线性定常系统的线性变换 （ 36） 1 1 2 2d e t( ) d e t( ) d e t( )sI A sI A sI A cx 11A r , 21 cx 22A nr ,1 n , 21 A r ,1 nr ,1 ),( CBA ),( CBA 97 5）可控性规范分解表达式也为系统的可控性判别提供了一 个准则，即 线性定常系统完全可控的充分必要条件是，系统 经过非奇异线性变换不能化成规范表达式的形状 ，其中 的阶数 。按照上面所述的非奇异线性变换阵 的选 取方法，利用计算机进行线性变换计算，可以比较容易地确 定系统 的可控性。对于维数较大系统的可控性判 别，这是一种较好的方法。 三、 线性定常系统的线性变换 （ 37） 11A nr 1P ),( CBA 98 例： 已知系统 ，其中 试按可控性分解为规范形式。 解： 系