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第 4章 线性控制系统的时域分析 控制系统在典型输入信号作用下的动态过程的品质及稳态性能 直接表征了系统的优劣 ; 系统的时域响应可定性或定量分析系统的动态性能。 可以直接在时间域中对系统进行分析校正，具有直观，准确的 特点。 可以提供系统时间响应的全部信息。 一般是先求取控制系统的闭环传递函数和测试输入信号的拉普 拉斯变换，借助拉普拉斯反变换获得系统输出的时域响应，然后 对所获得的响应结果进行时域分析。 4.1 引言 4.2 测试系统的输入信号与性能指标 一对控制系统性能的要求 1、系统应是稳定的； 2、系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求； 3、系统达到稳态时，应满足给定的稳态误差要求。 二控制系统的时域响应 动态响应： 描述系统的动态性能。 稳态响应： 反映系统的稳态精度。 4.2.1 控制系统的性能指标 1. 动态响应 指系统在典型信号作用下，系统输出量从初始状态到最 终稳定状态的响应过程。 表现形式： 衰减、发散或等幅振荡。 动态响应除提供系统稳定性的信息外，还可以提供响应 速度及阻尼情况等运动信息。 衡量标准 ：稳态精度。 2. 稳态响应 指系统在典型信号作用下，当时间 t趋于无穷时，系统 输出量的表现方式（输出状态）。 表现形式： 稳态误差。 稳态响应除表征系统输出量最终复现输入量的程度，提 供系统有关稳态误差的信息。 三、 控制系统的性能指标 稳态性能指标、动态性能指标。 1. 稳态性能指标 用稳态下系统的输出量的期望值与实际值之间的差值来 衡量 稳态误差。 表现形式： 稳态误差。 误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。 2. 动态性能指标 1）延迟时间 td 指响应曲线第一次达到稳态值 c() 的一半所需的时间。 2）上升时间 tr 指响应曲线首次从稳态值 c()的 10%过渡到 90%所需的时间。 3）峰值时间 tp 指响应超过其稳态值到达第一个峰值所需的时间。 4）调节时间 ts 指响应曲线到达并保持在稳态值 5（或 2）内所需的时间。 5）超调量 % 指响应的最大值 c(tp)超过稳态值 c() 的百分数，即 %1 0 0)( )()(% c ctc p 6）振荡次数 N 指在调节时间 ts内， c(t)偏离 c()振荡的次数，即 。 T tN s c ( t ) t s t r a t 误 差 范 围 0 . 0 5 c ( ) 或 0 . 0 2 c ( ) t d t p c （ ） 0 . 1 c ( ) 0 . 5 c ( ) c ( t p ) 0 0 . 9 c ( ) 4.2.2 常用测试输入信号（典型输入信号） 1、典型输入信号： 指根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加 以理想化的一些基本输入函数。 2、典型输入信号应具备的条件： （ 1）数学表达式简单，便于数学上的分析和处理； （ 2）易于在实验室中获得。 0 t0 0 t )( A tr r(t) A r(t) Bt 2 1 )( 0 t0 0 tB )( s sR t tr 二、斜坡函数 A=1时，称为单位阶跃函数，记为 l(t) 。 R(s)=1/s。 B=1时，称为单位斜坡函数。 一、阶跃函数 r(t) 0 3 2 1 )( 0 t0 0 t 2 1 )( s sR Ct tr 三、抛物线函数 C=1时，称为单位抛物线函数。 t t t 0 0 ,0 t 0 t0 R lim )( 0 t tr 1R ( s ) 0 t0 0 t ( t ) 1 R 0 s A R ( s ) )-tA s in (r ( t ) 22 r(t) 四、脉冲函数 五、正弦函数 当 时，则称为单位脉冲函数。 R t r(t) t t )(tr0 4.3 一阶系统的时域分析 1 1 )( )s( )( )()( )( TssR C s trtc dt tdc T 一阶系统： 以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。 T t etc Ts T ssTs sRssC s ttr 1)( 1 11 1 1 )()()( 1 R ( s ) )(1)( 1、 单位阶跃响应 标准形式 : 传递函数 : 11Ts 4.3.1 一阶系统的输出响应 0. 02 4 0. 05 3 %9898.0)(,4 %9595.0)(,3 %2.63632.01)( , 1. 1 T T t tcTt tcTt etcTt s 可得调整时间 时 时 时 系统输出量的数值可以用时间常数去度量 T T e Tdt tdc T t T t t 数响应曲线上确定时间常可用此方法在单位阶跃 响应曲线的初始斜率为 11)( 1 .2 00 说明： T t etc 1)( 1 A T 0.632 斜率 1/T斜率 当输入信号为理想单位脉冲函数 ， 系统的输出称为 单位脉冲响应 。 1 1 1 L)( 1 1 )( 1 1 )( 1)()( 1 T t e TTs tc Ts sR Ts sC tLsR 2、 单位脉冲响应 3、 单位斜坡响应 跟踪误差为 T。 ,)( t )e-T ( 1c ( t )-r ( t )e ( t ) TeT-tc ( t ) 1 11 1Ts 1 C ( s ) s 1 R ( s )t r ( t ) T t - T t - 2 22 2 Te Ts T s T ss 时， 1/T T 1368.0 T t r ( t) T T t r( t) 1 1 s 1 1Ts 1 C ( s ) s 1 R ( s ) 2 1 r ( t ) 32 233 3 2 Ts T s T s T s t )1(2121)( 22222 T t eTTtteTTTtttc Tt 4、单位抛物线响应 )()()()( 3 3 2 2 tr dt dtr dt dtr dt dtr 抛物线斜坡阶跃脉冲 )1(21)( 22 T t eTTtttc 抛物线 T t etc 1)( 阶跃 T t eTtc 1)(脉冲 T t- TeT-t( t )c 斜坡 )()()()( 3 3 2 2 tc dt d tc dt d tc dt d tc 抛物线斜坡阶跃脉冲 结果分析 输入信号的关系为： 而时间响应间的关系为： 4.3.2 一阶系统的性能指标 1、调整时间 ts 经过时间 3T 4T，响应曲线已达稳态值的 95% 98%， 可以认为其调整过程已完成，故一般取 ts=(3 4)T。 2、稳态误差 ess 系统的实际输出 c(t)在时间 t趋于无穷大时，接近于输入 值，即 3、 超调量 一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应 ， 故系统无振 荡 、 无超调 ， 。 0)()(lim trtce tss 0 4.4 二阶系统的时域分析 4.4.1 二阶系统的标准形式 典型的二阶系统的结构图如图 3-1(a)所示 , 它是由一个惯性环 节和一个积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统。系统 的传递函数为 21 2 21 )( )( KKsTs KK sR sC 令 2n=K1K2/T, 1/T=2n, 则可将二阶系统化为如下标准形式 : 22 2 2)( )( nn n sssR sC (1) (2) 图 3-1 二阶系统结构图 ) ( a ) 1 1 s K T R ( s ) C ( s ) s K 2 + - ( b ) 22 2 2 nn n ss R ( s ) C ( s 对应的系统微分方程为 )()()(2)( 22 trtctctc nnn 式中 , 称为阻尼比 , n称为无阻尼自振角频率 。 与式 (3)对应的系 统结构图如图 3-1(b)所示 。 二阶系统的动态特性 , 可以用 和 n这两个参量的形式加以 描述 。 这两个参数是二阶系统的重要结构参数 。 由式 (2)可得二 阶系统的特征方程为 02 22 nn ss 所以 , 系统的两个特征根 (极点 )为 122,1 nns 随着阻尼比 的不同 , 二阶系统特征根 (极点 )也不相同。 (3) 4.4.2 闭环极点的分布 二阶系统的特征方程为 两根为 的取值不同 ,特征根不同。 1s 21 , 2 nn 02 22 nn ss 其中 阻尼比、阻尼系数 n 无阻尼振荡频率、自然振荡频率 1. 欠阻尼 (0 1) 当 0 1时 , 两特征根为 dnn jjs 22,1 1 这是一对共轭复数根。 如图 (a)所示。 n 其中 衰减系数 21 nd其中 阻尼振荡频率 2. 临界阻尼 (=1) 当 =1时 , 特征方程有两个相同的负实根 , s1,2=-n 此时 , s1, s2如图 (b)所示。 3. 过阻尼 ( 1) 当 1时 , 两特征根为 122,1 nns 这是两个不同的实根 , 如图 (c)所示。 4. 无阻尼 (=0) 当 =0时 , 特征方程具有一对共轭纯虚数根 , 即 njs 2,1 此时 , s1, s2如图 (d)所示。 )( 1 1)( 1 )( 21 1 2 C ( s ) 10 ( 1 ) 22 2 2 22 2 n 2 2 n dn n dn n dndn n n ss s s jsjs s s sss 时 4.4.3 二阶系统的单位阶跃响应 2 2 2 2 - - 2 - 1 1 a r c t g c o s 1s i n )s i n ( 1 e -1s i ne 1 c o se-1c ( t ) nd d t d t d t ttt n nn 响应曲线是由稳态分量和暂态分量两部分组成的 衰减振荡曲线。 t n co s-1) 0 90t d s i n (-1c( t ) 22 11 22 2 C ( s ) 0)2( ns s ss ns n 时 t n nn n n n nn n nettc ssssssss sC )1(1)( 1 )( 1 1 )( 1 2 )( 1( 3 ) 2 2 2 2 22 2 时 响应曲线是稳态值为 1的无超调单调上升曲线。 响应曲线是不衰减的等幅振荡曲线。 )1(12 1 a, )1(12 1 a 1 1 1 1 2 C ( s ) 1s 1)4( 22 2 22 1 2 2 2 1 22 2 2 2,1 nnnn nn n nn s a s a s sss 一对实根 e )1(12 1 e )1(12 1 -1c ( t ) )1(- 22 )1(- 22 2 2 t t n n 响应曲线由稳态分量 1和两个单调衰减的暂态分 量组成，是一条无超调单调上升的曲线。 2 2 d d 2 - 1 a r c t g 1 )ts i n ( 1 e -1c ( t ) 01- ( 5 ) n t n 时 一般 在 0.4 0.8间响应曲线较好 响应曲线是由稳态分量和暂态分量两部分组成的 发散振荡曲线。 图 3-2 二阶系统的单位阶跃响应曲线 0 0 . 1 0 . 3 0 . 5 0 . 7 0 . 9 1 . 0 1 . 5 2 . 0 20 40 60 80 1000 0 . 5 1 1 . 5 2 c ( t ) t 典型二阶系统的两个特征参量阻尼比 和自然频 率 对系统的暂态过程具有重要的影响，其中阻尼比 的影响更大。 在欠阻尼（ 0 1）时，阻尼比越小，超调量越 大，上升时间越短。通常取 =0.4 0.8为宜，此时超调 量适中，调节时间较短。在临界阻尼和过阻尼（ 1） 时，响应曲线变成单调上升的曲线，阻尼比 越大，上 升时间越长。若二阶系统的阻尼比不变， 变化，则 其振荡特性相同，但响应速度不同， 越大，响应速 度越快。 结论： n n n %100)( )()(% c ctc )c(|)c(-c ( t )| 4.4.4 二阶系统的性能指标 1.定义 超调量 : 上升时间 tr : 峰值时间 tp： 单位阶跃响应达到第一个峰值所需时间。 振荡次数 N：在调整时间内响应过程穿越其稳态值 C( ) 次数的一半定义为振荡次数。 调节时间 ：单位阶跃响应进入到使下式成立所需时间。 ，一般取 05.002.0 单位阶跃响应第一次达到其稳态值所需时间。 % t c ( t) 2 t r t p t s c( ) 1 a r c t a n 1 ) 1 a r c t a n ( 1 t 1 t a n: 1 )s i n 1 ( c os1)c ( t ,1)( tt 2 d 2 2 r 2 2 r r n d rd rdrd r t n r t tte tc 得 由此得 即时当 2.性能指标的计算 (1)上升时间 rt 2 2 pd 2 pdn 2 pdd - 2 pd - n 2 - 1 , . .3,2,0 ,0s i n 0)c os 1 t( - s i n )s i n 1 t( c os- 0)c os 1 ts i n(-e )s i n 1 t( c ose- ,0 dt dc ( t ) )s i n 1 ( c ose-1c ( t ) n n n ppd pdpd pd d d d pd d t d t tt dd t tt tt t t t t tt p p p n 则取因为第一个峰值时间 有由 （ 2）峰值时间 t p 由最大超调量的定义式和系统的阶跃响应式可得 %1 0 0%1 0 0s i n 1 c o s %1 0 0s i n 1 c o s%1 0 0 )( )()( 2 2 pnpn pn tt pdpd tp p ee tte c ctc 即 %100% 21/ e （ 3）超调量 % 由前面可知 , 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线 c(t)位于 一对曲线 21 1)( tne ty 之内 , 这对曲线称为响应曲线的包络线 。 可以采用包络线代替 实际响应曲线估算过渡过程时间 ts, 所得结果一般略偏大 。 若允 许误差带是 , 则可以认为 ts就是包络线衰减到 区域所需的时间 , 则有 21 tne 解得 21 11111 nnt n s （ 4）调节时间 若取 =5% , 时 , 则得 )9.00( 1 11 2 n n st 3 若取 =2%, 时 , 则得 21 11 n (0 0.9) n st 4 根据振荡次数的定义 , 有 p s d s t t T tN 2 当 =5%和 =2%时 , 可得 %)2( 12 %)5( 15.1 2 2 N N （ 5） 振荡次数 N 若已知 %, 考虑到 , 即 21/% e 21 %1 n 求得振荡次数 N与最大超调量之间的关系为 %)2( %1 2 %)5( %1 5.1 n N n N (3.36) (3.37) 对典型二阶系统，选择参数使 4.4.5 二阶工程最佳参数 7 0 7.021 此时将 代入二阶系统标准式 ，则开环传递函数 GK(s)和闭环传递函数 (s)可分别写成 nn T 212 1 )1(2)( TsTs KsG K 122 1)( 22 TssTs 根据暂态性能指标的定义，二阶系统单位阶跃响应的暂态 性能指标为： 超调量 上升时间 调节时间 4 . 3 %100%e% 21- T n 7.41t 2r %)2(8 Tt s %)5(6 Tt s 以上一组参数就是二阶工程最佳参数。 4.4.6 计算举例 例 4-1：设控制系统结构图如图所示，其中 K 10。 求该系统的 (1)自然频率 n ，阻尼比 ，超调量 %和调 节时间 ts；（ 2）如果要求 0.707，应怎样改变系统 参数 K值 ? )1( ss K )(sC)(R (1) 由图可求得系统的闭环传递函数为 与标准形式相对照 自然频率 阻尼比由 调节时间 (2）当要求 0.707时，由 2n 1，得 由此可以看出，要实现二阶工程最佳参数的要求，必须降低开环增益 . Kss Ks 2)( 22 2 2)( nn n sss 16.3 Kn 得 12 n 1 58.02 1 n %061 0 0 %e% 21- )(63 st n s 5.0,21 2 nn K 解： 例 4-2：设控制系统结构图如图所示。要求系统的 超调量等于 15%，峰值时间为 0.8s。试确定系统参 数 K和 Td，并计算系统单位阶跃响应的上升时间 tr和 调节时间 ts。 由图可求得系统的闭环传递函数为 与标准形式相对照得 由已知条件得 ， 即 再由 解出 所以 KsKTs K sR sCs d )1()( )()( 2 Kn dn KT 12 517.0 %151 0 0 %e% 21- 178.005.21 1588.4517.0212 KT nd 05.215 8 8.4 22 nK 解： )(sR _ )1( ss K sT d1 )(sC 8 9 7.115.0 1ln1 2 st n p 8.01 2 )05.0(26.1588.4517.0 33 st n s sr a dn /5 8 8.45 1 7.018.0 2 st n r 538.0517.01588.4 517.0a r c c os 1 22 .K t c ( t ) , p 之值及内反馈系数 益试确定前置放大器的增 秒峰值时间 和调量 有超具阶跃响应 要求该系统的单位如图所示已知某控制系统方框图例 ,1 %3.16% :34 r a d / s 3 . 6 363.3 1 2 1 0 . 55.0 %3.16%100 2 1/ % p % )1(: n n p t e np t 得 又 得 由 及计算出二阶系统参数和由已知解 )1( 10 ss k s C (s )R (s ) 0 . 2 6 3 32.1 10 2 101 n 2 2 2 2 s 2 R ( s ) C ( s ) ( 3 ) 10)101( 2 s 10K R ( s ) C ( s ) , ( 2 ) K K n n s n n Ks 解得 与标准形式比较 并化成标准形式求闭环传递函数 例 4-4 原控制系统如下图所示 ， 引入速度反馈后的控制系统 如图 (b)所示 。 已知在图 (b)中 ， 系统单位阶跃响应的超调量 %=16.4%， 峰值时间 tp=1.14s， 试确定参数 K和 Kt， 并计算 系统在 (a) 和 (b)的单位阶跃响应 c(t)。 例 3-25图 解： 对于 图 (b)系统 ， 其闭环传递函数为 与典型二阶系统相比较，有 而已知 %=16.4% tp=1.14s 根据 求得 KsKKs KsG sR sC t B )1()()( )( 2 Kn tn KK 12 %4.16%1 0 0% 21 e 5.0 st n p 01.11 2 再根据 求得 将 代入 (3-55)得 其单位阶跃响应为 sr a dn 16.3 16.35.0 n和 2 16.0 12 102 K K K n t n )6074.2s i n (154.11 )1s i n ( 1 1 1)( 58.1 2 2 te tetc t n tn 对于系统 (a)， 其闭环传递函数为 与典型二阶系统比较有 系统的最大超调量 峰值时间 其单位阶跃响应为 10 10 )( )()( 22 ssKss K sR sCsG B 1 5 8.0 16.310 sr a dn %60%1 0 0% 21 e st n p 01.11 2 )9.8012.3s i n (0 1 6.11)( 5.0 tetc t t 1s i ne 1 )1)(1( Lc ( t ) 1)(0 s i nLc ( t ) 0)( 2 c ( s ) 2- 2 n 22 2 n1- n2 n 2 2 n1- 22 2 n n n t nnnn n nn jsjs t s ss 4.4.7 二阶系统的脉冲响应 （ 1）无阻尼 脉冲响应 （ 2）欠阻尼 脉冲响应 12 )1( )1( Lc ( t ) 1)( )( Lc ( t ) 1)( )1()1( 2 n 2 12 2 12 1- 2 2 n 2 n1- 22 2 n 2 n tt nn nn t n nn n ee s s te s （ 3）临界阻尼 脉冲响应 （ 4）过阻尼 脉冲响应 1 a r c t a n 1 a r c t a n )1s i n ( -1 2 -1c ( t ) 10 1 )( 2 )( R ( s ) C ( s ) 2 2 2 2 22 22 2 n n n t n nn n z te s sR ss zs 4.4.8 具有闭环零点的二阶系统的单位阶跃响应 二阶系统的闭环传函具有如下 标准形式 当 时，对欠阻尼情况 222 n 2 1 )( 2221 2 2 )1()( 02.0 ln4 05.0 ln3 %1002% 1 1 nn n z l s n z l s n p n r zl z t t e t t 这里 对应的性能指标为 闭环极点与零点的相对位置 闭环零点对二阶系统的过渡过程特性的影响 当阻尼比 一定时， z值越小，则 值越大，零点越靠近 虚轴，系统的振荡性越强 。反之， z值越大，则 值越小，零点 离虚轴越远，影响也越小。由于闭环零点的存在，系统的振荡 性增加。 )1s i n ( -1 2 -1c ( t ) 2 2 22 te ntn 结论： 1.闭环零点可以加速二阶系统的响应过程 (起始段 )； 2.使系统阻尼减小，超调量增大； 3.合理的取值范围为 。 5)(2z n z n 4.4.9 二阶系统的性能改善 1. 利用系统结构参数与特征参数之间关系来改善性能 45)-(4 1, 1 2 1 , 12)( )( 12121 1 22 K TKKKK T T TssT K sR sY 46)-(4 1 , )1( 1 2 , 1 12)( )( 21 21 2121 21 21 21 22 KK KK K TTKK TT KK TT T TssT K sR sY )( sR )( sY 12 2sT K 11 1sT K)(sR )(s11 1sT Ks2 可得以下系统结构参数与特征参数之间的定性关系： 1） 当 01时 ，若开环放大系数 K1或 K1K2 ，则 、 T 或 K ， % 和 Ns ，振荡加剧，系统稳定性下降 ； 2） 当 01时， 若开环放大系数 K1或 K1K2 ，则 ， T 使 n ， 响应加快，调节时间 ts ； 4） 当 1时 ，若系统的时间常数 T1或 T1T2，则 ， T ， n， 过渡时间长，调节时间 ts 。 47)-(4 1 , 1 , 1 12)( )( 1 1 1 1 1 1 22 K K K KK T T TssT K sR sY 12 11 221 1 sTsT K )( sR )( sY 例 4-5 随动系统 ， K=16， T=0.25， (1)求系统的 n； (2) ， %， nd和 ts， (3) 若 =0.5，求 K，计算 %， nd 和 ts。 22 2 2 2)( )( nn n ssKsTs K sR sY 解：闭环传递函数： KTTKn 21 ， 1825.016 )1( s n 自然振荡角频率 st en e ns d 5.1)825.0/(33 06.5 %45.44%100% 25.025.0162/1)2( 2 2 25.01 5.0 25.01 25.0 调节时间： 衰减比： 系统超调量： 阻尼系数： )1( Tss K)( sR )( sY st s en e sTK ns n d 5.1)45.0/(33 425.04 55.37 %32.16%100% 4)4(1 5.0)3( 1 5.01 5.01 5.0 12 2 2 调节时间： 自然振荡角频率： 衰减比： 超调量： 则 若 说明：超调量下降，而衰减比大幅度增加，说明振荡明显 减弱，但调节时间不变，系统的瞬态响应性能得到改善。 )1( Tss K)( sR )( sY 2.利用速度反馈来改善性能 48 )-(4 2 )1( )1( )1( 1 )1( )( )( )( 22 2 2 nn n d d ss KsKTs K Tss sK Tss K sR sY sT 49)-(421 KTKTK dn ， 速度反馈控制可通过改变速度 反馈参数 d来调整阻尼系数 ， 为改善系统的性能提供了另一 个手段。 )1( Tss K)( sR )( sY)( sE sd )1( Tss K )( sY sd1 )( sR 例 4-6：在例 4-1的系统中 加入速度反馈，要求阻尼 系数 =0.5，且不改变结 构参数 K和 T，确定 d， 求上例中的各项指标 . 1825.016 0625.0 16 125.0165.0212 s s K KT n d KT K T K d n 2 1 ， st n ns d 75.0)85.0/(33 55.37 %32.16% 调节时间： 衰减比： 超调量： 加入速度反馈后，超 调量下降，衰减比增 加，同时调节时间被 进一步缩短，系统的 瞬态响应性能得到较 大改善。 )125.0( 16 ss )( sR )( sY 在实际控制系统中， 一般取 0.40.8，对应的超调量在 1.52%25%范围内。 工程上，某些控制系统常 取 =0.707 为二阶工程最佳参数。 需要指出的是，由于各瞬态性能指标之间是相互关联的，有时 是相互矛盾的，因此，二阶工程最佳参数不等于是实际系统所 要求的最佳性能指标。例如，当要求控制系统更注重对参考输 入有足够快速的跟随响应时，常取衰减比指标在 4： 110： 1之 间，而调节时间适当即可，也就是说，此时最短调节时间反而 不是实际控制系统所要求的最佳性能指标。 4.4.10 扰动作用下的二阶系统分析 64)-(4 )()()( )( )()()( 1 )()( )()()(1 )()( )( )( )( hpchpc hpc hpc hpc pc pc pc pc R KKKsDsDsD sDKK sDsDsD KKK sDsD KK sHsGsG sGsG sR sY sT 参考输入下闭环传函 65)-(4 )()()( )()( )()()( 1 )( )()()(1 )( )( )( )( hpchpc hcp hpc hpc p p pc p D KKKsDsDsD sDsDK sDsDsD KKK sD K sHsGsG sG sD sY sT 扰动作用下的闭环传函 参考输入作用下系统的闭环传递 函数无零点，然而，扰动作用下 系统的闭环传递函数一般却是具 有零点的。 )( sR )( sE )( sH )( sG c )( sY )( sG p)( sB )( sD 一个具体例子，如图 chpcc hpc n nn cn hc c hpc c c c hpc hc hpcc cp c hpc p D TKKKT KKK ss sT KK T KKK s T s sT T KKK KK KKKssT sTK sTs KKK s K sD sY sT 2 1 , 66 )-(4 2 )1(1 1 )1( 1 )1( )1( 1 )( )( )( 22 2 2 2 67)-(4)s i n 1 a rc co ss i n 1 1 1( 1 )( 10 2 2 te T te KK ty d tnnc d tn hc 为例，阶跃响应为：以二阶系统 1sT K c c )( sY)( sE hK)( sR s K p )( sD )( ty t0 1B 3Bhc KK 1 m axy 69)-(4 )()( )()( 68)-(4%100 )( )()( % 2 2 1 2 3 1 3 1 1 )a r c c o s( e B B yty yty n elT y yty d c p 衰减比： 超调量： 70)-(4 02.0, )l n (4ln4 05.0, )l n (3ln3 n c n n c n s lTr lTr t 调节时间估计为： 71)-(4 1 ar c t an 1 1 2 2 2 2 nc c d c nc T lT r T T l 72)-(4 1 )(0)( hc dssd KKyee 得到稳态误差为： 4.5 高阶系统的时域分析 凡是用高于二阶的常微分方程描述输出信号与输入信号之 间关系的控制系统 , 均称为 高阶系统 。 严格地说 , 大多数控制系统都是高阶系统 , 这些高阶系统往 往是由若干惯性子系统 (一阶系统 )或振荡子系统 (二阶系统 )所组 成的 。 由于高阶系统动态性能指标的确定是复杂的 , 因此这里只 对高阶系统时间响应进行简要的定性说明 。 设高阶系统闭环传递函数的一般形式为 mnasasas bsbsbsbsR sC nn nn mm mm ,)( )( 1 1 1 1 1 10 设此传递函数的零 、 极点分别为 -zi(i=1, 2, m)和 -pi(i=1, 2, , n), 增益为 K, 则有 (3-4-1) mnpspsps zszszsKsR sC n m , )( )( )( )( 21 21 ）（ ）（ 令系统所有零 、 极点互不相同 , 且极点有实数极点和复数极点 , 零点均为实数零点 。 当输入单位阶跃函数时 , 则有 4.5.1 高阶系统对单位阶跃信号的时域响应 (3-4-2) q j r k nknkkj m i i sspss zsK sC 1 1 22 1 )2()( )( )( 式中 , n=q+2r, q为实极点的个数 , r为复数极点的个数。将式 (3-4-3)展成部分分式得 r k nknkk knkknkkk q j j j ss CsB ps A s AsC 1 22 2 1 0 2 1)()( 对上式求拉氏反变换得 )0(,1s i n 1c o s)( 2 1 1 2 1 0 tteC teBeAAtc knk r k t k r k knkk q j tp j nkk nkkj (3-4-3) (3-4-5) 由此可见 , 单位阶跃函数作用下高阶系统的稳态分量为 A0, 其瞬态分量是一阶和二阶系统瞬态分量的合成 。 分析表 明 , 高阶系统有如下结论 : (1) 高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系 数 pj和 k、 nk决定 。 如果某极点远离虚轴 (对应的衰减系数 大 ), 那么其相应的瞬态分量比较小 , 且持续时间较短 。 (2) 高阶系统各瞬态分量的系数 Ak、 Bk和 Ck不仅与复平面中极点 的位置有关 , 而且与零点的位置有关 。 当某极点 pj越靠近某零 点 zi而远离其他极点 , 同时与复平面原点的距离也很远时 , 相 应瞬态分量的系数就越小 , 该瞬态分量的影响就越小 。 极端情 况下 , 当 pj和 zi重合时 (称这对重合的零极点为偶极子 ), 该极 点对系统的瞬态响应几乎没有影响 。 因此 , 对于系数很小的瞬 态分量 , 以及远离虚轴的极点对应的快速衰减的瞬态分量常可 以忽略 。 于是高阶系统的响应就可以用低阶系统的响应去近似 。 (3) 在系统中 , 如果距虚轴最近的极点 ， 其实部的绝对值为 其他极点实部绝对值的 1/5甚至更小 , 并且在其附近没有零点 存在 , 则系统的瞬态响应将主要由此极点左右 。 这种支配系 统瞬态响应的极点就是系统的主导极点 。 一般高阶系统的瞬 态响应是有振荡的 , 因此它的近似低阶系统的主导极点往往 是一对共轭的复数极点 。 4.5.2 高阶系统的降阶 1. 闭环主导极点 在所有的闭环极点中，无闭环零点靠近而又距离虚轴最近 的极点在单位响应中的对应分量既在 t=0时刻具有最大的初值， 又在全部响应分量中衰减得最慢，从而在系统的时间响应过 程中起主导作用，这样的闭环极点称为闭环 主导极点。 一般其它极点的实部绝对值比主导极点的实部绝对 值大 5倍以上时，则那些闭环极点可以略去不计，有时甚 至比主导极点的实部绝对值大 2 3 倍的极点也可以忽略 不计，即在闭环传递函数中除去。 工程上往往只用主导极点估算系统的动态特性，即 将系统近似地看成是一阶系统或二阶系统。 2. 偶极子 将一对靠得很近的闭环零、极点称为 偶极子 。 工程上，当某极点和某零点之间的距离比它们的模值 小一个数量级，就可认为这对零极点为偶极子。 闭环传递函数中 ， 如果零 、 极点数值上相近 ， 则可将该 零点和极点一起消掉 ， 称之为偶极子相消 。 在对系统进行综合校正时，往往有意识地在系统中加入 适当的零点，以抵消对系统动态响应过程影响较大的不利 极点，使系统的动态特性得以改善。 4.5.3 零极点对阶跃响应的影响 1. 零点对阶跃响应的影响 具有零点的系统 ， 其响应速度变快 ， 上升时间 、 峰值时 间减小 ， 但系统的超调量会增大 ， 并且这种影响会随零点接 近虚轴而加剧 。 如果闭环零点位于复平面的右半平面 ， 将使系统响应过 程变慢 ， 超调量减小 ， 系统对输入作用的反应不灵敏 。 2. 极点对阶跃响应的影响 闭环非主导极点对系统单位阶跃响应总的影响是增大 峰值时间 ， 是系统响应速度变慢 ， 但可减小系统的超调量 和调节时间 ， 这种影响作用会随着闭环非主导极点接近主 导极点而加剧 。 对于闭环传递函数存在右极点的情况 ， 系统时域响应 是发散的 ， 系统不稳定 。 )()()( 0 tctct 1.误差与偏差 4.6.1 误差与稳态误差的定义 系统输出量的期望值 c0(t)与实际输出 c(t)之差定义为反馈系 统响应 r(t)的误差信号，即 4.6 反馈系统的稳态误差及计算 )(sG )(sC)(sR )(sE 对于单位反馈系统，其输入量 r(t)的值即为输出量期望值，即 )()(0 trtc 代入上式得 )()()()()()( 0 tetctrtctct 单位反馈系统的偏差和误差是相等的，偏差的稳态值 ess就 是系统的稳态误差 ss ，即 ssss e )(te 偏差 )()( C ( s )( s )CH ( s ) H ( s ) C ( s )( s )H ( s ) CE ( s ) ( s )H ( s ) CR ( s ) ( s )H ( s ) C-R ( s )0 0 0 0 0 ssH 因而 )(sG )(sC)(sR )(sE )(sH 对于非单位反馈系统 )()()()( sCsHsRsE 偏差为零时的输出量即为期望值，即 非单位反馈系统的偏差和误差之间并不相等，但具有确定 的关系。 稳态误差： 反馈系统误差信号 (t)的稳态分量，记作 ss(t)。 动态误差： 反馈系统误差信号 (t)的暂态分量，记作 ts(t)。 ),()()( ttt tsss 对稳定系统， 0)( tt ts 2.稳态误差 说明： 1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望值与实际 值之差，这种方法定义的误差在性能指标提法中经常使用，但 在实际系统中有时无法测量，因而一般只具有数学意义。 2）偏差是从系统的输入端来定义的，它是系统输入信号与主 反馈信号之差，这种方法定义的误差，在实际系统中是可以测 量的，因而具有一定的物理意义。 3）对单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。 4）有些书上对误差、偏差不加区分，只是从不同的着眼点 （输入、输出点）来定义。 5）影响系统稳态误差的因素有很多，如系统的机构、参数以及 输入量的形式等。 4.6.2 给定输入信号作用下系统的误差分析 ( s )G1 1 )( )( ( s ) K sR sE e R ( s ) ( s )G1 1R ( s ) G ( s ) H ( s )1 1E ( s ) K 对于非单位反馈系统而言，有 令 系统的误差传递函数 对于稳定的系统，根据拉氏变换的终值定理和稳态误差的 定义，系统的稳态误差为 )(1 )(lim)(lim)(lim 00 sG ssRssEtee K sstss 稳态误差的大小与系统开环传递函数 GK(s）以及输入信号 R(s)的形式有关。 )1( )1(K )1()1)(1( )1()1)(1K( S)G 1 m 1i i 21 21 K( vn j j vvn v m sTs s sTsTsTs sss 系统型别 1、稳态误差终值的计算 设系统的开环传函为 称为零型系统 称为 I 型系统 称为 II 型系统 系统的型别以 来划分 0 1 2 优点： 1可以根据已知的输入信号形式，迅速判 断是否存在稳态误差及稳态误差的大小。 2系统阶数 m,n的大小与系统型别无关，且 不影响稳态误差的数值。 )()(lim)(s lim 0s0sss sRsssE e 。控制系统的稳态误差值时试求当输入信号为 传递函数为设单位反馈系统的开环例 , 2 1 )( , 1 ( s )G . 2 K ttr Ts 2.利用终值定理计算 应用终值定理的条件是 sE(s)在 s右半平面及虚 轴上解析，或者说 sE(s)的极点位于左半平面（包括 坐标原点）。 lims E ( s )lime ( 2 ) )(lime t T)-T ( teTe ( t ) -( s ) R ( s )E ( s ) ( 1 ) R ( s ) tr ( t ) ( s ): 1 /T )s ( s 1 0s0s ss ss T t - 2 1 /Ts 2 T s 2 T 2 s T 1 /T )(s 2 s 1 3 s 12 2 1 /1 s ( s )1 1 e 由终值定理 时 时当 解 te t Ts K G 1)(1lim)()(1 1lime 00ss pKsKs K A sG AsR sGs 3应用静态误差系数计算给定信号作用下的稳态误差 已知 )()(1 1lim)(lime 00ss sRsGsssE Kss R ( s ) 1 ( t )Ar ( t ) sA 定义 位置误差系数 )(limK 0p sG Ks 1）对于 0型系统， 0，则 K sTs s sG vn j j v s K s 1 m 1i i 00 p )1( )1(K lim)(limK 0型系统静态位置误差的大小近似与开环增益成反比， K越 大，稳态误差越小，稳态精度越高。所以，增加系统的开环增 益可以减小稳态误差。 故 1 1e ss K A K A p （ 1）阶跃输入 (位置输入 )作用下的稳态误差 2）对于 型 和 型系统， 1或 2，则 vn j j v s K s sTs s sG 1 m 1i i 00 p )1( )1(K lim)(limK 故 型和 型系统的静态位置误差为 0 1 1 e ss A K A p 阶跃信号作用下的系统的误差情况分别如下图所示。 结论： 阶跃输入信号作用在 0型 系统上时，系统的输出量能 够跟随输入量的变化，但存 在稳态误差。作用在 型以 上系统时，稳态误差都为零， 表明 型以上的随动系统能 够误差地跟踪阶跃输入。 阶跃输入稳态误差 A 0 型 I 或 I I 型 )(1)( tAtr sse )(tC t 定义 速度误差系数 )(limk 0v ssG Ks v s KKs K B ssG B s B sGs 0 20ss )(lim.)(1 1lime R ( s )t r ( t ) 2sBB 对于 0型系统， 0，则 0 )1( )1(K lim)(limK 1 m 1i i 00 v vn j j v s K s sTs ss ssG 2v 1v 故 0 e ss BKB v 同理， 时， K BeKK ssv ,时 ， 0, ssv eK （ 2）斜坡输入 (速度输入 )作用下的稳态误差 斜坡信号作用下的系统的误差情况分别如下图所示。 结论： 在斜坡输入情况下， 0型系统 的稳态误差为 ，说明 0型系统的 输出量不能跟随按时间变化的斜 坡输入的变化， 型系统能够跟 踪，但有稳态误差，稳态误差的 大小与开环增益成反比。 型系 统能够准确地跟踪，稳态误差为 零。 0 型 Bttr )( I 型 sset)(tC I I 型 斜坡输入稳态误差 )(lim 1 )(1 1lime 2 0 30ss aKsK s K C sGs C ssG s 定义 加速度误差系数 )(limk 2 0a sGs Ks R ( s ) Ct21r ( t ) 32 sC 对于 0型系统， 0，则 0 )1( )1(K lim)(limK 1 m 1i i 2 0 2 0 vn j j v s K s a sTs ss sGs 2v 1v 故 0 e ss CKC a 同理， 时， ssa eK ,0 时， K CeKK ssa , （ 2）抛物线输入（加速度输入）作用下的稳态误差 抛物线输入信号作用下系统的误差情况分别如下图所示。 结论： 在加速度输入情况下， 0型和 型系统的稳态误差 为 ，说明 0型和 型系统 的输出量不能跟随加速度输 入，而 型系统能够跟踪， 但存在稳态误差，稳态误差 的大小与开环增益成反比。 加速度输入稳态误差 0 型 或 I 型 0 2 2 1)( cttr sse)(tC tI I 型 k 1 t 2 1 0 k 1 t 0 0 k1 1 1 ( t) II I 0 a 2 v p 输入 型型型差 型别误 输入 型型型差 型别误 当系统的输入信号是多种典型输入信号的组合时，例如 2 2 1)(1)( CtBttAtr 根据线性系统的叠加原理，可以将每一输入分别单独作 用于系统，再将各输入分量所产生的稳态分量叠加在一 起，得到系统的稳态误差，即 ap ss K C K B K Ae v1 解 ：（ 1）根据公式可以分别求得 例 4-6 系统的开环传递函数 ，试求： （ 1） Kp ， Kv 和 Ka ；（ 2）当 r(t) 5 t 时的 ess ； (3）当 r(t) 2 2t t 时的 ess )1( 10)( sssG K )1( 10lim)(lim 00 sssGK sKsp 10)1(10lim)(lim 00 ss sssGK sKsv 0)1(10lim)(lim 2 0 2 0 ss ssGsK sKs 5.01055 v ss Ke （ 3）当输入当 r(t) 2 2 t t 时，稳态误差为 021021 1221 2 v KKK e p ss （ 2）当输入 r(t) 5t 时，稳态误差为 例 4-7 考虑两个控制系统的开环传递函数分别为 )13( 8)(2 )1( 8)(1 2 sssGsssG LL ：系统：系统 试分别计算 Kp， Kv， Ka； 计算输入分别为 对应的稳态误差 221 31)(31)( tttrttr 和 0,8, :1 KKK vp系统 8, :2 KKK vp系统 375.0831 11 ssre 02831 12ssre 031 11 ssre 25.08 23 1 1 2 ssre :利用叠加原理 系统 1： 系统 2： 解 ：根据公式可以分别求得 4.6.3 扰动输入作用下系统的误差分析 假定给定输入信号 r(t)=0。此时，由于扰动作用使系统 产生输出，输出值的大小就是误差的大小。扰动作用产生的 误差称为系统的 扰动误差 ，是以输出量 c(t)的稳态值来分析 系统的扰动作用。 )(1 sG )( sC)( sR )( sE )(2 sG )( sN 如图所示系统 当 R(s)=0时，有 )()()(1 )()( 21 2 sN sGsG sGsC 扰动误差 )()()()()(1 )()(0)( 21 2 sNssN sGsG sGsCsE en 式中 系统对扰动作用的误差传递函数 )()(1 )()( 21 2 sGsG sGs en 系统的扰动稳态误差 essn为 )()(1 )(lim)()()(1 )(lim)(lim 20 21 2 00 sNsG ssGsN sGsG ssGssEe Ksss ssn 式中 系统的开环传递函数 )()()( 21 sGsGsG K 系统扰动稳态误差与系统的开环传递函数、扰动作用点的位 置以及扰动作用的形式有关。 扰动作用点不同，相同的扰动输入的稳态误差不一定相同。 具有相同的传递函数的两个系统，对于给定作用，有相同的 误差系数。但扰动作用点不同，相同的扰动引起不同的扰动作用。 )(1 sG )( sC0)( sR )( sE )(3 sG )( sN )(2 sG )(1 sG )( sC0)( sR )( sE )(3 sG )( sN )(2 sG 如右图所示两个系统， 具有相同的开环传递函数， 扰动作用点不同。 1 )(,)( ,)(, 1 )( 3 3 2 2 11 Ts K sG s K sG KsG s sN设 (a) (b) 图 (a)系统的稳态误差为 0 1 . )1( 1 1 lim )( )()()(1 )( lim 321 3 0 321 3 0 s Tss KKK Ts K s sN sGsGsG ssG e s s ssn 图 (b)系统的稳态误差为 1321 32 0 321 32 0 11 . )1( 1 )1( lim )( )()()(1 )()( lim Ks Tss KKK Tss KK s sN sGsGsG sGssG e s s ssn 图 (a)系统的稳态误差为零，而图 (b)系统的稳态误差不 为零。 增加偏差到扰动作用点之间前向通道的积分环节个数或增 大开环增益，可使系统稳态精度提高。 对于实际系统，当给定输入作用和扰动输入作用同时存在 时，可用叠加原理将两种作用分别引起的稳态误差相叠加。 4.6.4 复合控制系统的误差分析 在控制系统中采用复合控制的方法，可以进一步减小给 定和扰动误差。 )(1 sG )(sC)(sR )(sE )(2 sG 如右图所示系统 )()(1 )()()( 21 21 sGsG sGsGs 特征方程式为 0)()(1 21 sGsG 给定误差为 （ 1） )()(1 )()( 21 sGsG sRsE )(1 sG )(sC)(sR )(2 sG )(3 sG + 在系统中引入开环补偿环节 G3(s)， 使之构成复合控制系统。如右图所 示。 此时系统称为前馈控制，它实质 上是一种补偿控制 )()(1 )()()()( 21 231 sGsG sGsGsGs 系统的闭环传递函数为 由于系统的特征方程式没有改变，所以引入前馈控制不 改变系统的稳定性。 系统的给定误差为 )()()(1 )()(1)()(1)()()( 21 32 sR sGsG sGsGsRssCsRsE （ 2） 计较 (1)式和 (2)式可见，引入前馈控制可以减小误差。 若满足 )( 1)( 2 3 sGsG （ 3） 则误差 E(s)=0，即系统的输出量完全复现给定输入作用。这 种将误差完全补偿的作用，称为全补偿。 式 (3)称为按给定作用实现完全不变性的条件。 （ 2） 同理，可以求出按扰动作用实现完全不变性的条件。 如右图所示，扰动误差为 )(1 sG )( sC0)( sR )(2 sG )(3 sG + . )( sN )( )()(1 )()()(1 )()( 21 231 sN sGsG sGsGsG sCsE 若满足 )( 1)( 1 3 sGsG 则 E(s)=C(s)=0，系统的输出量完全不受扰动影响，即实现全补 偿。式 (4)称为按扰动作用实现完全不变性的条件。 (4) 实际上，实现完全补偿是很困难的，但是即使采取部分 补偿，也可大大提高稳态精度。 4.6.5 提高系统稳态精度（减小稳态误差）的措施 1、提高系统的型别或增大系统的开环增益，可以保证系统 对给定信号的跟踪能力。但开环增益不能过大，否则会造 成系统不稳定。 2、增加系统的前向通道上或偏差到扰动作用点之间积分环 节个数，可以降低扰动信号引起的稳态误差。但一般系统 积分环节个数不能超过 2，否则会造成系统不稳定。 3、采用复合控制方法，即将反馈控制与扰动信号的前馈或 与给定信号的顺馈相结合。 3.8 顺馈控制的误差分析 )()( )( )(1这时 的影 响 影)(对)(则 可消除 扰动 信 号 ,0)()(1)()(若取 ( s ) F