静电场及高斯定理.ppt

本章主要内容研究真空中静电场的基本特 性： 第 1节 静电场基本定律： 库仑定律、电场强度、叠加定律 第 2节 静电场基本定理： 高斯定理及应用 第 3节 电场力做功、电势、电势能 第 4节 静电场中的电解质 第 5章 静电场 一、 电荷的量子化 电荷守恒定律 (1) 电荷 摩擦起电 ：用木块摩擦过的琥珀能 吸引碎草等轻小物体的现象。许多 物体经过毛皮或丝绸等摩擦后，都 能够吸引轻小的物体。人们 就说它 们带了电 ，或者 说它们有了电荷 。 电荷的定义： 带正负电的基本粒子。 单位：库仑 (C) 1、电荷的量子化 ( - ) )( 电子 中子 质子 原子核 原子 当物质处于电中性时，质子数电子数 当物质的电子过多或过少时，物质就带有电荷 电子过多时 物体带负电 电子过少时 物体带正电 正电子，又称阳电子 、反电子、正子，基本粒子的一种， 带 正电荷，质量和电子相等，是电子的反粒子 。 最早是由狄拉克从理论上预言的。 1932年 8月 2日，美国加州 理工学院的安德森等人向全世界庄严宣告，他们发现了正电 子。 正电子的发现是利用云雾室来观测的。正电子的发现开辟了 反物质领域的研究。 (2) 电荷量子化 1913年，密立根用液滴法从实验中测出 所有电子都 具有相同的电荷 ，而且 带电体的电荷是电子电荷的 整数倍 。 电子电量 e 带电体电量 q=ne, n=1,2,3,. 密立根测定电子电荷的实验 1909年密立根测量电子电荷； 1923年获得诺贝尔物理奖。 方法：观察均匀电场中带电油滴的运动。 不加电场时 ：油滴在重力 和阻力的作用下，最后得到 收尾速度。 0 6 1 rvmg r mgv 61 由此式可从实验中测量油滴的质量。 加电场时 油滴在重力、阻力和 电场力的作用下，最 后也得到收尾速度。 0 6 2 qErvmg r qEmgv 62 因而可得油滴的电荷为 E vvrq 216 密立根油滴实验的结果 油滴的电荷总是等于同一基元电荷的整数倍 q=ne, n=1,2,., 电子电荷的值为 e=1.603 10-19C，称为基元电荷； 即电荷是量子化的。 电荷的这种只能取离散的、不连续的量值的 性质，叫作 电荷的量子化 。电子的电荷 e称为 基元电荷 ，或 电荷的量子 。 1986年国际推荐值 Ce 1910)49(33 1 7 7 6 0 2.1 近似值 Ce 19106 0 2.1 说明： 电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程 ( 例如核反应和基本粒子过程 )，是物理学 中普遍的基本定律之一。 内容： 在孤立系统中，不管系统中的电荷如何 迁移，系统的电荷的代数和保持不变 。 2、电荷守恒定律 氘和氚的 核聚变 铀 235的 核裂变 二、库仑定律 库仑 (Charlse-Augustin de Coulomb 1736 1806) 法国物理学家 1773年提出的计算物体上应力和应变分布情 况的方法，是结构工程的理论基础。 1779年对摩擦力进行分析，提出有关润滑剂 的科学理论。 17851789年，用扭秤测量静电力和磁力，导 出著名的库仑定律。 2112 rrr 122 12 21 12 er qq kF 1、库仑定律内容 在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力，其大小 与点电荷电量的乘积成正比，与两点电荷之间距离的平方 成反比，作用力在两点电荷之间的连线上， 同号电荷互相 排斥，异号电荷互相吸引 。 12r 1r 2r O 21F 12F 1q 2q 12e 表示单位矢量 04 1 k 212120 mNC1085.8 122 12 21 0 12 4 1 e r qq F 真空介电 常数 1221 FF 库仑力满足牛顿第三定律 12r 1r 2r O 21F 12F 1q 2q 实验表明，库仑力满足 矢量叠加 原理。 库仑力的叠加原理： n i n i i i i i er qqFF 1 1 02 0 0 0 00 4 1 1q 4q 3q 2q oq1O r 2Or 4Or 3Or 例： 在氢原子中，电子与质子之间的距离约为 5.3 10-11m， 求 它们之间的库仑力与万有引力，并比较它们的大小 。 解：氢原子核与电子可看作点电荷， 库仑力为： N r eF e 8 211 219 9 2 2 0 102.8 )103.5( )106.1(109 4 1 万有引力为： N r mM GF g 47 211 2731 11 2 106.3 )103.5( 1067.1101.9 1067.6 例： 在氢原子中，电子与质子之间的距离约为 5.3 10-11m，求 它们之间的库仑力与万有引力，并比较它们的大小。 39 47 8 103.2 106.3 102.8 g e F F 结论：库仑力比万有引力大得多。 所以在原子中，作用在电子上的力，主要是电场力， 万 有引力完全可以忽略不计 。 三、 电场强度 (1)电场的概念 电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说 电荷周围存在有 电场 。 在该电场的任何带电体，都受到电场的作用力， 这就是所谓的 近距作用 。 电荷 电场 电荷 1、静电场 (2)电场的物质性 给电场中的带电体施以 力 的作用。 当带电体在电场中移动时，电场力作功； 表明电场具有 能量 。 变化的电场以光速在空间传播，表明电场 具有 动量。 静止电荷产生的场叫做 静电场 。 (3) 静电场 2、电场强度 （ 1）试验电荷： 线度足够小 ，小到可以看成点电荷； 电量足够小 ，小到把它放入电场中后， 原来的电场几乎没有什么变化。 （ 2）实验 在静止的电荷 Q周围的静电场中，放 入试验电荷 q0 ，讨论试验电荷 q0 的 受力情况。 r r Qq F 2 0 0 4 F与 r 有关，而且还与试验电荷 q0 有关。 （ 3）电场强度 试验电荷将受到源电荷的作用力与试验 电荷电量的比值 F/q0 则与试验电荷无 关，可以反映电场本身的性质 ，用这个 物理量作为描写电场的场量，称为 电场 强度 （简称场强）。 0 q F E r r Q 2 04 0q F E 电场中某点的电场强度在数值上等于位于 该点的单位正试验电荷所受的电场力 。 电场强度的方向与电场力的方向一致（当 q0为正值时）。 单位： N.C-1或 V.m-1 电场强度是电场的属性，与试验电荷的 存在与否无关，并不因无试验电荷而不 存在，只是由试验电荷反映。 r r Q 2 04 3、电场力 电荷 q在电场 E中的电场力 EqF 当 q0时，电场力方向与电场强度方向相同； 当 q0， 电场强度 E与 er同向 Q0， 电场强度 E与 er反向。 + - 4、点电荷电场强度 说明： (1)点电荷电场是非均匀电场； (2)点电荷电场具有球对称性。 + - 点电荷场强公式 rer Q q F E 2 00 4 （ 1）电荷离散分布 在点电荷系 Q1,Q2, Qn 的电场中，在 P点放 一试验电荷 q0，根据库仑力的叠加原理，可 知试验电荷受到的作用力为 i i i i er qQ FF 2 0 0 4 P点的电场强度 i i ii e r Q q F E 2 00 4 iEE iQ P ir 5、电场强度叠加原理 iEE 点电荷系电场中某点的场强等于各个点电荷单 独存在时在该点的场强的矢量和。 这就是电场强度的叠加原理。 （ 2）电荷连续分布 电荷呈线状分布 dq rer dl EdE 2 04 dq=dl 线密度 l Q 电荷面分布 ， dq=dS dS r e E S r 2 04 面密度 S Q 电荷体分布 ， dq=dV dV r e E V r 2 04 dV dQ 体密度 电荷体分布， dq=dV dV r eE V r 2 04 电荷面分布， dq=dS dS r eE S r 2 04 电荷线分布， dq=dl dl r e E r 2 04 体密度 dl dQ 面密度 dS dQ 线密度 dV dQ （ 3）电场强度的计算方法 离散型 r i i er QEE 2 04 连续型 rer dq EdE 2 04 计算的步骤大致如下： 取电荷元 dq，写出 dq在待求点的场强的表达式； 选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表 示式； 进行积分计算； 写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度 的大小和方向； 在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。 rer dqEdE 2 04 电偶极子：等量异号 电荷 +q、 -q，相距为 r0，它相 对于求场点很小，称该带电体系为 电偶极子 。 0rqp qq r0 电偶极矩： 电偶极子的轴： 从 -q 指向 +q 的矢 量 r0称为电偶极子的轴 （ 4）电场强度的计算 例 1、电偶极子的电场强度 求：电偶极子轴线延长线上任意一点 A处的电场强度 E qq E AO x r0 20 0 1 4 /2 qE xr 20 0 1 4 /2 qE xr 220 00 1 4 / 2 / 2 qqE E E x r x r 0 222 0 0 2 4 /4 xrq E xr 习题 P77 5-10 例 2、 均匀带电圆环轴线上一点的场强。 设正电荷 q均匀地分布在半径为 R的圆环上。计算在环的轴线 任一点 p 的电场强度。 X R Ed r L dq P 解：由对称性可知， p点场强只有 X分量 例 2、 均匀带电圆环轴线上一点 x处的场强。 设正电荷 q均匀地分布在半径为 R的圆环上。计算在环的轴线 任一点 p 的电场强度。 2 322 0 2 0 )(44 c o s xR qx r q E 2 04 x q E 讨论：当求场点远大于环的半径时， 方向在 X轴上，正负由 q的正负决定。 说明远离环心的场强相当于 点电荷 的场。 X R Ed r L dq P x 习题 P76 5-6（ 1） 例 3、均匀带电圆盘轴线上一点 x处的场强。 设圆盘带电量为 q，半径为 R。 解：带电圆盘可看成许多同心的圆环 组成，取一半径为 r，宽度为 dr 的细 圆环带电量 drrdq 2 )( 1 2 21220 xR x R x xr r d rx pE 0 2322 0 )(2 )( 322 2 04 ( ) dq xdE rx d E R x p r o d r d q x 面密度 2R q S Q 习题 P76 5-6 （ 2） )( 12 21220 xR x Rx xr r d rxpE 0 2322 0 )(2 )( 2 2 0 2 22 00 4 44 R E x Rq xx 在远离带电圆面处， 相当于 点电荷 的场强。 相当于无限大带电平面附近的 电场 ，可看成是均匀场，场强 垂直于板面，正负由电荷的符 号决定。 02 E 讨论： 1.当 xR d E R x p r o d r d q x 习题 P76 5-9 附： (1+x)m的 泰勒级数 展开为 ： n m x n nmmmm x mmm x mm mxx ! )1) . . (2)(1( . . !3 )2)(1( !2 )1( 1)1( 32 小 结 电荷的量子化 电荷守恒定律 库仑定律 静电场的概念 电场强度 电场强度叠加原理 电场强度的计算 第 2节 静电场的高斯定理 1、电场强度通量 2、高斯定理 3、高斯定律应用举例 一、电场强度通量 (1)定义 电场线上每一点的场强的方 向与该点切线方向相同 ， 而 且电场线箭头的指向表示场 强的方向 。 E q E q 1、电场线 (2)几种典型的电场线分布 -Q +2Q +Q +Q (3)电场线密度 定义：经过电场中任一点，作一 面积元 dS，并使它与该点的场强 垂直，若通过 dS面的电场线条数 为 d，则电场线密度为 d/dS。 S E d d 对于匀强电场，电场线 密度处处相等，而且方 向处处一致。 (1) 定义 通过电场中某一面的电场线的条数叫做通过这一 面元的 电场强度通量 。 SdEd e 2、电场强度通量 (2)匀强电场的电通量 ESe 平面 S的法向向量与 E有夹角 时 引入 面积矢量 neSS dS dS ne 平面 S的法向向量与 E平行时 c o sES SeESE ne (3)非均匀电场的电通量 微元 dS SdEd e S e SdE 对封闭曲面 S e SdE S n dS E 高斯（ Carl Friedrich Gauss 17771855） 德国数学家、天文 学家和物理学家。 高斯在数学上的建 树颇丰，有“数学 王子”美称。 高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和 大地测量学等领域的研究，主要成就： (1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦电的 研究、利用绝对单位法则量度非力学量以及地磁分布的 理论研究。 (2)光学 ：利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为 和成像，建立高斯光学。 (3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，地 球大小和形状的理论研究等。 (4)试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概率 统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误 差曲线。 3、高斯定律 高斯定律的内容： 通过任一闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的所有电荷 的代数和除以 0， 与封闭曲面外的电荷无关。 i iSe qSdE 0 1 q dS E r S 包围点电荷 q的任意封 闭曲面 S q S S 电场线 对于任意一个闭合曲面 S，只要电荷被包围在 S 面内，由于电场线是连续的，在没有电荷的地 方不中断，因而穿过闭合曲面 S与 S的电场线数 目是一样的。 由于 电场线的连续性 可知，穿入与穿出任一闭 合曲面的电通量应该相等。所以当闭合曲面无 电荷时，电通量为零。 通过不包围点电荷的任意 闭合曲面的电通量为零 S q 多个点电荷的电通量等于它们 单独存在时的电通量的代数和 iq 2q 1q 0 dq SdE 连续分布 00 ii qqE dS 离散分布 高斯定理的一个重要应用， 是用来计算带电体周围 电场的电场强度 。 实际上， 只有在场强分布具有一定的对称性 时，才 能比较方便应用高斯定理求出场强。 求解的关键是选取适当的高斯面。常见的具有对称 性分布的源电荷有： 4、高斯定律应用举例 球对称分布： 包括均匀带电的 球面，球体和多 层同心球壳等 无限大平面电 荷： 包括无限 大的均匀带电 平面，平板等。 轴对称分布： 包括无限长均匀 带电的直线，圆 柱面，圆柱壳 等； 步骤： 1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的 对称性， 判断能否用高斯定理来求电场强度的分布 （常见的 对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求： 待求场强的场点应在此高斯面上 。 穿过该高斯面的电通量容易计算 ： 一般地， 高斯面各面元的法线矢量 n与 E平行或垂直 ， n与 E平行时， E的大小要求处处相等，使得 E能提到积分号外 面 ； 3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高 斯定理求出场强。 例 5-2、 均匀带电球壳的场强。 P66 设有一半径为 R、均匀带电为 Q的薄球壳。求球壳内部和外 部任意点的电场强度。 解：以球心到场点的距离为半径作 一球面，则通过此球面的电通量为 ErdSESdE SS e 2 4 根据高斯定理，通过球面的电通量 为球面内包围的电荷 0/ qe 当场点在球壳外时 (rR) Qq 2 04 r QE 当场点在球壳内时 (rR) Qq 204 r QE 例、均匀带电球体的场强。 设有一半径为 R、均匀带电为 Q的球 体。求球体内部和外部任意点的电场 强度。 E Q R r E Q R r 当场点在球体外时 Qq 2 04 r QE 当场点在球体内时 rR 3 3 3 3 3 4 3 4 R Qr r R Q q 3 04 R QrE 例 3、无限长均匀带电直线的场强 P76 5-8 设有一无限长均匀带电直线， 电荷线密度为 ，求距离直线为 r 的 P处的电场强度。 O r P 例 3、无限长均匀带电直线的场强 设有一无限长均匀带电直线，电荷线密 度为 ，求距离直线为 r 处的电场强度。 解：以带电直导线为轴，作一个通过 P点， 高为 h的圆筒形封闭面为高斯面 S， 通过 S 面的电通量为圆柱侧面和上、下底面三部 分的通量 。 E h S O r p 下上侧面 SdESdESdESdESe 其中 上、下底面的电场强度方向与面平行，电通量为零 。 所以式中后两项为零。 侧面侧面 rhEdSESdEe 2 例 3、无限长均匀带电直线的场强 设有一无限长均匀带电直线，电荷线密 度为 ，求距离直线为 r 处的电场强度。 E h S O r p 侧面侧面 rhEdSESdEe 2 hq i 此闭合面包含的电荷总量 hrhEe 0 12 r E 02 其方向沿直导线的垂线方向。 正负由电荷的符号决定。 思考 P76 5-7 设有一无限长均匀带电平 板，单位面积上的电荷，即 电荷面密度为 ，求距离平板 为 r处的 P点的电场强度。 E S 例 4、无限大均匀带电平面的场强。 P66 例 5-3 P 解： 由于无限大平面的电荷分布对于场 点是对称的，所以 P点的电场方向垂直 于该无限大平面，（ 即侧面为 0） 例 4、无限大均匀带电平面的场强。 设有一无限长均匀带电平板，单位面积上的电荷，即电 荷面密度为 ，求距离平板为 r处的电场强度。 o P E S ESSdESdESdESe 2 右左 高斯面所包围的电量为 Sq 0/2 SES 由高斯定理可知 例 4、无限长均匀带电平面的场强。 设有一无限长均匀带电平板，单位面积上的电荷，即电 荷面密度为 ，求距离平板为 r处的电场强度。 o P E S电场强度的方向 垂直于带电平面。 由此可知，电场强度为 0/2 SES 02 E 电场强度方向离开平面 0 电场强度方向指向平面 0 例、求两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场 设面电荷密度分别为 1=+ 和 2= - 解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用高斯定 律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯定律求出， 然后 再用叠加原理 求两个带电平面产生的总场强。 BA C由图可知， 在 A 区和 B区场强均为零。 C区场强的方向从带正电的平板指向带 负电的平板。场强大小为一个带电平板 产生的场强的两倍。 A BC 002 2 EEE C 小 结 电场强度通量 高斯定理 电场线 电场强度通量 高斯定律 高斯定律应用举例