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习题课 第一章 自动控制一般概念 自动控制 ： 在无人参与的情况下，利用外加的设备或装置使整个生产 过程或工作机械自动地按预定规律运行，或使其某个参数按预 定的要求变化。 自动控制装置基本组成 ： 测量元件：获得被控量的实际值并进行变换。 比较元件：获得偏差 =测量结果 -要求值。 调节元件：通常包括放大器和校正装置。使 u=f(e) 执行元件：驱动被控对象动作，使被控量达到要求值 第一章 自动控制一般概念 控制系统方块图 ： 在方块图中，装置或环节用方块来表示，信号用箭头表示， 分支点用点 (.)表示，相加点（比较点）用 表示。 自动控制系统方块图 调节元件 执行元件 测量元件 控制对象 比较元件 扰动量 被控量 (输出量 ) - 给定量 (输入量 ) 电机、减速器、阀门 放大器 自动控制装置 第一章 自动控制一般概念 1-1举出几个你在实践中遇到的开环控制系统，闭环控制系统 扰动控制系统的例子。说明他们的工作原理，分析他们的组 成，画出方块图，讨论其特点。 开环控制系统：电风扇 电风扇控制系统方块图 调节元件 执行元件 控制对象 扰动量 被控量 (输出量 ) 电压 给定量 (输入量 ) 电机 放大器 自动控制装置 风扇扇叶 不同档位 风扇转速 第一章 自动控制一般概念 闭环控制系统：自动控制水位系统 自动水位控制系统方块图 调节元件 执行元件 测量元件 控制对象 比较元件 扰动量 (用水量 ) 被控量 (输出量 ) 给定水位 - 实际水位 给定量 (输入量 ) 连杆 电机、减速器、阀门 浮子 放大器 自动控制装置 水池 第一章 自动控制一般概念 扰动控制系统：楼道声控灯 楼道声控灯控制系统方块图 调节元件 执行元件 控制对象 扰动量 被控量 (输出量 ) 声音 给定量 (输入量 ) 开关 放大器 自动控制装置 灯泡 灯泡明灭 第二章 自动控制系统的数学模型 第二章 自动控制系统的数学模型 B A C 第二章 自动控制系统的数学模型 2-2 求下列由弹簧 -质量 -阻尼器组成的机械系统传递函数。 (a) (b) m k f 第二章 自动控制系统的数学模型 第二章 自动控制系统的数学模型 第二章 自动控制系统的数学模型 2-7根据结构图等效变换原则求出电动机传递函数 ， 。 第二章 自动控制系统的数学模型 解：先令 为 0，求出 。这种情况就是简单的 负反馈回路。结果为： 令 为 0，则可求出 ，先化简框图，在计算 ，注意正负号。化简后框图为： 第二章 自动控制系统的数学模型 可将框图看作是 输入的负反馈。 则结果为： 第二章 自动控制系统的数学模型 2-8化简下列系统结构图，并求出传递函数 。 第二章 自动控制系统的数学模型 解： 第二章 自动控制系统的数学模型 第二章 自动控制系统的数学模型 第二章 自动控制系统的数学模型 最终结果： 第二章 自动控制系统的数学模型 2-12 系统的结构如图所示。试绘出相应的信号流图并利用梅逊 公式求出闭环系统的传递函数。 解：先画出信号流图如下图所示： 第二章 自动控制系统的数学模型 解：仔细观察信号流图，其中共有 5个前向通道， 7各回路。 5个前向通道如下： 7各回路如下： 第二章 自动控制系统的数学模型 解： 观察所有回路，其中不接触回路为： 其中 第二章 自动控制系统的数学模型 解： 最终结果为： 其中： 例 利用结构图等效变换讨论两级 RC串联电路的传递函数。 解 ：不能把左图简单地看成两个 RC电路的串 联 ,因有负载效应。根据电路定理，有以下等式 和结构图： )(1)()( 1 1 sIRsusu i 1 1R )(1 sI)(sui )(su - )()()( 21 sIsIsI - )(sI )(1 sI )(2 sI )(1)( 1 susCsI sC1 1)(sI )(su )(1)()( 2 2 sIRsusu o 21R )(2 sI)(su )(suo - )(1)( 2 2 susCsI o sC2 1)(2 sI )(su o iu ou 1R 2R 1C 2C 1i 2i ui, 2i 25 总的结构图如下： 1 1R sC 1 1 2 1R sC 2 1- - - )(sI )(2 sI )(1 sI )(su)(sui )(suo 11R )(1 sI)(sui )(su - - )(sI )(1 sI )(2 sI sC11)(sI )(su 21R )(2 sI)(su )(suo - sC21)(2 sI )(suo 26 为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下： 1 1R sC 1 1 2 1R sC 2 1- - - )(sI )(2 sI )(1 sI )(su)(sui )(suo 1 1R sC 1 1 2 1R sC 2 1- - - )(sI )(2 sI )(1 sI )(su)(sui )(suo sC2 1 1R sC11 1 1 22 sCR - - )(sI )(1 sI )(su)(sui )(suo sC2 27 1 1R sC 1 1 1 1 22 sCR - - )(su)(sui )(suo sCR 21 1 1R sC11 1 1 22 sCR - - sC2 1 1R sC 1 1 1 1 22 sCR - - sCR 21 28 1 1 22 sCR - )(sui )(suo sCR 21 1 1 11 sCR sCRsCRsCR sCRsCR sCR sCRsCR su su sG i o 212211 2211 21 2211 )1)(1( 1 )1)(1( 1 )1)(1( 1 )( )( )( 29 1 1R sC 1 1 2 1R sC 2 1- - - )(sI )(2 sI )(1 sI )(su)(sui )(suo 1 1R sC 1 1 2 1R sC 2 1- - - )(sui )(suo sC21 1 1R 1 1R sC 1 1 2 1R sC 2 1- - - )(sui )(suo sC21 1 1R 解法二： 30 sCRsCRsCRsu susG i o 212211 )1)(1( 1 )( )()( 122 2 sCR sC - )(suo 111 1 sCR R 1 1 R sC2 1 )(sui )(suo sCRsCRsCR sCR 212211 21 )1)(1( 1 1 R sC2 1 )(sui 31 解法三： 1 1R sC 1 1 2 1R sC 2 1- - - )(sI )(2 sI )(1 sI )(su)(sui )(suo 1 1R sC 1 1 2 1R sC 2 1- - - )(sui )(suo 2 1R 1 1R sC 1 1 2 1R sC 2 1- - - )(sui )(suo 2 1R 2 1R + 32 1 1R sC 1 1 2 1R sC 2 1- - - )(sui )(suo 2 1R 2 1R + 1 1R- )(sui )(suo 2 1R + 1 1 22 sCR112 2 sCR R 1 1R- )(sui )(suo + 1 1 22 sCR112 2 sCR R )1( 1 222 sCRR 33 1 1R- )(sui )(suo + 1 1 22 sCR112 2 sCR R )1( 1 222 sCRR 1 1R- )(sui )(suo 1 1 22 sCR sCCsCCR sCR )( 1 21 2 212 22 )(sui )(suo 1 1 22 sCR 1)( 1 222111 2 2121 22 sCRsCRCRsCCRR sCR sCRsCRsCRsu susG i o 212211 )1)(1( 1 )( )()( 第三章 自动控制系统的时域分析 3-1 如图所示随动系统，当 K=4时，试求 （ 1）系统对单位脉冲 输入、单为阶跃输入、单位斜坡输入的响应；（ 2）写出闭环系 统传递函数，求阻尼系数 和无阻尼振荡频率 ；（ 3）计 算闭环系统瞬态过程性能指标 、 、 、 。 第三章 自动控制系统的时域分析 解：当 K=4时，系统的闭环传递函数为： 单位脉冲输入： 第三章 自动控制系统的时域分析 单为阶跃输入： 第三章 自动控制系统的时域分析 单位斜坡输入： 第三章 自动控制系统的时域分析 （ 2）当 K=4时，系统的闭环传递函数为： 则 解得： 第三章 自动控制系统的时域分析 （ 3）由 由于本题是典型的二阶系统，则可得： 第三章 自动控制系统的时域分析 3-6某单位反馈随动系统的开环传递函数为： 若将开环特性近似为二阶的（即可考虑略去小时间常数）计算 闭环系统的瞬态性能指标 和 值。 解：先将开环传递函数写成时间常数形式： 第三章 自动控制系统的时域分析 解：由于要略去小时间常数项，即略去： 则新的开环传递函数为： 闭环传递函数为： 第三章 自动控制系统的时域分析 解：系统为典型二阶系统 根据公式计算得： 第三章 自动控制系统的时域分析 3-9 某系统的特征方程为 试用代数判据确定使系统稳定的 K值范围。 解：列出劳斯阵： 第三章 自动控制系统的时域分析 解： 由劳斯判据可列出下式： 解该方程发现无解，所以使系统稳定的 K值不存在。 第三章 自动控制系统的时域分析 3-10 设系统结构图如下所示。试确定临界放大系数 和时间 常数 、 、 的关系。在什么情况下 具有最小值 。 解：闭环传递函数如下： 第三章 自动控制系统的时域分析 解： 特征方程为： 列出劳斯阵： 第三章 自动控制系统的时域分析 解：由劳斯判据可得： 解得： 所以 最小值为 8 第三章 自动控制系统的时域分析 3-13 设单位反馈系统的开环传递函数为： 试用代数判据确定系统是否稳定及是否有 的稳定裕度 。 解：由开环传递函数得特征方程为： 列出劳斯阵： 系统稳定。 第三章 自动控制系统的时域分析 解：要判断是否有 的稳定裕度，令 代入特征方程得到新得特征方程为： 得到劳斯阵为： 第一列有负值，显然不稳定，所以该系统没有 的稳定 裕度 50 例 3： 系统的特征方程为： 试用胡尔 维茨定理判稳。 014.02.005.00 0 1.0 234 ssss 解 ： 系统的特征方程为： 01 0 0 04 0 02 0 050 234 ssss 列胡尔维茨行列式如下： 100020010 0400500 010002001 0040050 ,0501 ,0 2001 40050 2 0 4 0 0500 1 0 0 02 0 01 04 0 050 3 01,01 0 0 0 434 a且 所以，系统是稳定的。 第四章 根轨迹法 4-2 设开环传递函数为： 试绘制控制系统的根轨迹草图。 第四章 根轨迹法 解：开环传递函数为 （ 1） 所以根轨迹有三条分支 （ 2）极点： 零点：都在无穷远处 （ 3）实轴根轨迹区间 : （ 4）渐近线： 第四章 根轨迹法 （ 4）渐近线： （ 5）分离会合点： 解得： 后者不在根轨迹上，舍去。 第四章 根轨迹法 （ 6）与虚轴交点：令 ，代入 解得： 或 画出的根轨迹如下图： 第四章 根轨迹法 第四章 根轨迹法 解：开环传递函数为 （ 1） 根轨迹有两个分支 （ 2）极点： 零点： （ 3）实轴上根轨迹区间 （ 4）渐近线： 第四章 根轨迹法 （ 5）分离会合点 : 解得： 后者不在根轨迹上，舍去。 （ 6）与虚轴交点：令 代入 解得： 第四章 根轨迹法 （ 7）可估算出射角范围 画出根轨迹为： 第四章 根轨迹法 解：开环传递函数为 （ 1） 根轨迹有四条分支 （ 2）极点： 零点：无 （ 3）实轴上根轨迹区间： （ 4）渐近线： 第四章 根轨迹法 （ 5）分离会合点： 解得： （ 6）分离角： 第四章 根轨迹法 画出根轨迹为： 第四章 根轨迹法 4-3设控制系统的结构图如下图所示， 为速度反馈系数，试 绘制以 为参变量的根轨迹图。 第四章 根轨迹法 解：由框图可得系统的闭环传递函数为 特征方程为： 方程两边同时除以 化简为： 所以等效开环传递函数为 第四章 根轨迹法 （ 1） 所以有两个根轨迹分支 （ 2）极点： 零点： （ 3）实轴上根轨迹区间为 （ 4）渐近线： 第四章 根轨迹法 （ 5）分离会合点： 解得 由于后面的解不在根轨迹上，所以舍去。 （ 6）估计出射角范围大概在 所以不会与虚轴相交，不用计算与虚轴交点。 第四章 根轨迹法 画出根轨迹图为： 第四章 根轨迹法 4-7设飞非最小相位系统的开环传递函数为 试绘制根轨迹，并确定使闭环系统稳定的 范围。 解： （ 1） 根轨迹有四个分支 （ 2）极点： 零点： （ 3）实轴上的根轨迹区间 第四章 根轨迹法 （ 4）渐近线： （ 5）分离会合点： 解得： 第四章 根轨迹法 （ 6）出射角： （ 7）与虚轴交点：令 代入 解得： 观察图可知 K范围是（ 23.3,35.7）。 第四章 根轨迹法 根轨迹草图如下： 第四章 根轨迹法 4-8设单位反馈控制系统的开环传递函数为 若要求其闭环主导极点的阻尼角为 60度，试用根轨迹法确定该 系统的瞬态性能指标 和稳态性能指标 。 解：先画出根轨迹 （ 1） 根轨迹共有三条分支。 （ 2）极点： 零点： （ 3）实轴上的根轨迹范围 第四章 根轨迹法 （ 4）渐近线： （ 5）与虚轴交点：令 代入 解得： 第四章 根轨迹法 根轨迹如图：如图可知不可能有 60度的阻尼角。 第四章 根轨迹法 4-10设某系统的结构图如下所示，如果 试选择 K值。 解：系统的开环传递函数为 第四章 根轨迹法 （ 1） 根轨迹有三个分支 （ 2）极点： 零点：无 （ 3）实轴根轨迹区间 （ 4）渐近线： 第四章 根轨迹法 （ 5）与虚轴交点：令 代入 解得： （ 6）画出根轨迹草图 （ 7） 解得 解得 取 则 代入特征方程 第四章 根轨迹法 根轨迹草图： 第四章 根轨迹法 解得： 因此主导极点为 满足条件 由于 所以闭环系统极点之和等于开 环系统极点之和。则另一个闭环极点为 不满足主导极点要求 不行。 第四章 根轨迹法 取 则 代入特征方程解得 其中由于 所以闭环系统极点之和等 于开环系统极点之和。则另一个闭环极点为 满足主导极点要求。 K值可以取。 第四章 根轨迹法 4-12设单位反馈系统的开环传递函数为 试用根轨迹法回答 （ 1）能否通过选择 满足最大超调量 的要求。（ 2）能否通过选择 满足调节时间 秒的要求 （ 3）能否通过选择 满足速度误差系数 的要求。 解：先画根轨迹： （ 1） 共有三条根轨迹分支 （ 2）极点： 零点：无 第四章 根轨迹法 （ 3）渐近线： （ 4）实轴上的根轨迹区间 （ 5）分离点： 解得： 第四章 根轨迹法 （ 6）与虚轴交点：令 代入特征方程式 解得： （ 7）画出根轨迹 （ 8） 解得 由根轨迹图可知满足主导极点，所以可以满足要求 （ 1） （ 9） 由根轨迹图可知 所以无法满足要求 第四章 根轨迹法 根轨迹草图： 第四章 根轨迹法 （ 10） 解得： 由根轨迹图可知要想系统稳定， 所以无法满足要求。 85 一、 单回路负反馈系统的根轨迹 例 开环传递函数为： ，画根轨迹。 16)3)(2()( 2 sss ksG g k 实轴上根轨迹区间是： -2， 0； 渐进线倾角： 与实轴的交点为： ,43,4)12( mnk 24 620 mn zp ij 解 ： 标出四个开环极点： 0， -2， 。有四条根轨迹。 43 j 86 23 4j 4j 0 12 3 1 -3+4j处的出射角 ： 1 9.141)904 3 4( )( 11 3211 tgtg 根据对称性，可知 -3-j4处的出射 角 为： 2 9.1412 与虚轴的交点：闭环特征方程为： 050378 234 gkssss 劳斯阵为： 00 00 75.30 85.1 5 3 7 075.30 0508 371 0 1 2 3 4 g g g g k k k k s s s s s 当劳斯阵某一行全为零时，有共 轭虚根。这时， 。 2.192gk 辅助方程为： ， 解得共轭虚根为： 02.1 9275.30 2 s 5.22,1 js 即为根轨迹与虚轴的交点。 87 会合点与分离点（重根点）：分离角为 2 d 由 得： 0)()()()( sDsNsDsN 05074244 23 sss 由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用 下述近似方法： 我们知道，分离点在负实轴 -2， 0区间上，所以当 s在实 数范围内变化时， 最大时为分离点。 gk )50378( 234 ssssk g 6.28 11.49 15.59 18.47 20.0 20.01 18.28 14.57 8.58 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 s gdk 可见分离点在 -0.8-1.0之间，近似取 -0.9。 88 绘制根轨迹，如下图所示。 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Real Axis Imag Ax is 5.2j 5.2j 9.0 9.141 89 一、 条件稳定系统的分析 例 4-11： 设开环系统传递函数为： )14.1)(6)(4( )42()( 2 2 sssss ssksG g k 试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时 的取值范围。 gk 开环极点： 0， -4， -6， ，零点： 714.07.0 j 732.11 j 实轴上根轨迹区间 ： 0,4),6,( 渐进线：与实轴的交点： 13.33 24.164 mn zp ii ,3)12( mn k 倾角： 解 根据绘制根轨迹的步骤，可得： 046 2 2 4 2 4 90 分离会合点： 22)(,42)( 2 ssNsssN ssssssD 246.43394.11)( 2345 242.871176.455)( 234 sssssD 3.949 7.457 9.375 8.80 5.971 3 1.628 0 -4 -3.5 -3 -2.5 -2.0 -1.5 -1 -0.5 0 s gdk 的最大值为 9.375，这时 s=-2.5，是近似分离点。 gdk 由： dsgd sN sD k sDsNsDsN |)( )( 0)()()()( 可以求得分离点 s= 2.3557 。 近似求法： 分离点在 -4， 0之间。 2 d 分离角： 91 由图可知：当 和 时，系统是 稳定的； 6.150 gK 6.16 85.67 gK 画出根轨迹如图所示，该图是 用 Matlab工具绘制的。 出射角： ，入射角： 55c 103r 与虚轴的交点和 对应的增益值： 6.168 5.67 6.15 gpk 755.3 151.2 213.1 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5.676.156.16 8 gg KK 和当 时，系统是不稳定的。 这种情况称为条件稳定系统 6.15 213.1 gK 5.67 151.2 gK 6.168 755.3 gK 6.15 5.67 6.168 92 例 4-12单位反馈系统的开环传递函数为： 若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 ，试确定 开环放大系数。 )6)(4()( sss ksG g k %18% 解 ： 首先画出根 轨迹如右。由图 可以看出：根轨 迹与虚轴的交点 为 +j5,-j5，这时的 临界增益 当 时， 闭环系统不稳定。 240gpk 240gk A B 93 下面计算超调量和阻尼角的关系。由于： %,100% c t ge 当 时解得： %18% 37.61 这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着 的增加， 主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计 算。 gK 在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 的直线，与根轨 迹交与 A、 B两点。 则 A、 B两点就是闭环共轭主导极点， 这时系统的超调量小于 18%。通过求 A、 B两点的坐标，可 以确定这时的根轨迹增益 ，进而求得开环放大系数 K。 60 gK 046 A 123 j 设 A点坐标为： ，则： j 360 tg （ 1） 相角条件为： 321 6412 0 11 tgtg （ 2） 94 由 (1)， (2)式解得： 1.2,2.1 共轭主导极点为： 。 1.22.1 2,1 js n j j m i i k sT sK sG 1 1 )1( )1( )( 开环传递函数以 的形式表示时， K称为开环放 大系数。 显然 的关系为： ，式中 不计 0极点。 gKK与 j ig p zKK jp 所以，开环放大系数： 824.164 776.43 K 由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点 为： 。该极点是共轭复极点实部的 6倍多。 6.7 3 s 解得： 776.43gK jsx 1.22.12.1 ， 0324320 024208 2 23 xx Kxxx g 实部方程 虚部方程 也可令 xjxs 3 代入特征方程 02410 23 gKsss 第五章 频率法 5-5开环系统的传递函数为： 试绘出相应的对数幅频特性曲线（用分段直线近似表示）。 第五章 频率法 解 （ 1） 将开环传递函数写成时间常数形式： 计算各部分转折频率及斜率如下表： 第五章 频率法 转折频率 改变斜率 累计频率 1 30 0 2 0.8 -20 -20 3 1 -20 -40 4 3 20 -20 5 5 -40 -60 第五章 频率法 第五章 频率法 解 （ 2）将开环传递函数写成时间常数形式： 计算各部分转折频率如下表： 第五章 频率法 转折频率 改变斜率 累计频率 1 40 0 2 -20 -20 3 0.5 -20 -40 4 1 40 0 5 5 -20 -20 6 20 -20 -40 第五章 频率法 第五章 频率法 解 （ 3）将开环传递函数写成时间常数形式： 转折频率列出如下表所示： 第五章 频率法 转折频率 改变斜率 累积频率 1 2 0 2 -40 -40 3 0.4s+1 2.5 20 -20 4 10 -20 -40 5 20 -20 -60 第五章 频率法 第五章 频率法 5-6设开环系统的对数幅频特性分段直线近似表示。写出开环系 统的传递函数。（设系统为最小相位系统） 解 （ a）转折频率为 0.025 0.05 0.2 由图可知初始斜率为 -20，所以为 I型开环传递函数，所以函数 中有 项。 0.025 斜率下降 20 包含项为： 0.05 斜率上升 20 包含项为： 0.2 斜率下降 20 包含项为： 第五章 频率法 解：所以总的传递函数为： 折线过（ 0.1,0） 所以传递函数为： 第五章 频率法 （ b）如图可知系统为 0型，转折频率为 4,400 4 斜率下降 20 包含项为： 400 斜率下降 20 包含项为： 传递函数为： 第五章 频率法 由图中可列方程为： 第五章 频率法 （ c）如图初始斜率为 -40，所以是 II型函数，包含项： 转折频率为： ， 0.4 斜率上升 20 包含项为： 0.4 斜率下降 20 包含项为： 总的传递函数为： 第五章 频率法 解：由图可知： 折线过（ 0.4,0）点 第五章 频率法 （ d）如图可知初始斜率是 -20，所以为 I型函数，包含项 转折频率为 斜率下降 20 包含项为 : 总的传递函数为： 由图可知过（ 1,20lgK） 第五章 频率法 折线过点（ 10,0） 第五章 频率法 （ e）由图可知初始斜率为 20 所以包含项 s 转折频率为 ， 。 斜率下降 20 包含项为： 斜率下降 20 包含项为： 总的传递函数为： 第五章 频率法 解：折线过点 则 第五章 频率法 （ f）由图可知初始斜率为 20，包含项 s 转折频率为： 斜率下降 20 包含项为： 传递函数为： 折线过点 第五章 频率法 解： 第五章 频率法 5-9绘制下列开环系统的极坐标特性曲线，利用奈氏判据判别系 统的稳定性和比例系数 K的关系。 第五章 频率法 解 ：（ 1）令 化简得： 第五章 频率法 解： 令 解得： 由以上可以画出极坐标曲线。 第五章 频率法 第五章 频率法 解：由于 P=0， Z=N+P，若要系统稳定，则 N=0 有极坐标图可知 第五章 频率法 解 ：（ 2）令 化简得： 第五章 频率法 解： 令 由上可以的极坐标曲线为： 第五章 频率法 第五章 频率法 解：因为 P=0， Z=N+P，所以若要是系统稳定， N=0 如图可知 解得 第五章 频率法 解 ：（ 3）令 化简得： 第五章 频率法 解： 令： 解得： 画出极坐标图为： 第五章 频率法 第五章 频率法 解：因为 P=1， Z=N+P，若要系统稳定，则 N=-1 由图可知： 130 例 1设开环系统传递函数为： ，试用奈氏稳定性判据 确定闭环系统稳定时 k的取值范围。 )52)(1()( 2 sss KsG k 350)( ，解得令 P 22222 2 )7()35( )35()( KP 解 ： 2222 2 )7()35( )7()( KQ 16)7(700)( KPQ ，此时和，解得令 与实轴的交点 131 当 K=52时，开环极点为 1， 1 j2，都在 s左半平面，所 以 P = 0。奈氏图如右。从图中 可以看出：奈氏图顺时针围绕 ( 1， j0)点 2圈。所以闭环系统 在 s右半极点数为： Z = N + P = 2 ，闭环系统是不稳定的。 若要系统稳定，则 116)7( KP 即 K 16时，奈氏图不围绕 ( 1， j0)点。 52K 132 Nyquist Diagram Real Axis Im ag ina ry Ax is -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Nyquist Diagram Real Axis Im ag ina ry Ax is -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 16K 5K 当 K 1，则要求 K 5。 于是系统稳定的条件为 5 K 16。 133 上述结论同样可由劳思 赫尔维茨判据得到。 0573 23 Ksss 劳斯阵： K K K s s s s 5 0 3 16 53 71 0 1 2 3 要使 系统稳定 ，则第一列都大于 0 于是得： 5 K 16。 5.5.2 稳定裕度的计算 )(180 cjG 解法 I：由幅相曲线求 。h, 例 2 )10)(2( 1 0 0 )110)(12( 5)( sssssssG ，求 。h, (1)令 1)( cjG 2222 102 1 0 0 ccc 2 4 2 104 400 10000c c c 9.2c试根得 )9.2(180 10 9.2a r c t a n 2 9.2a r c t a n901 8 0 5.181.164.5590 第五章 频率法 )( 1 gjG h (2.1)令 18 0)( g 10a r c t a n2a r c t a n90 gg 90ta n 20 1 102 2 g gg 可得 9010a r c t a n2a r c t a n gg 202 g 47.4g )dB6.7(4.2100 102 47.42222 gggg 第五章 频率法 )( 1 gjG h (2.2)将 G(j)分解为实部、虚部形式 )10)(2( 100)( jjjjG 令 0)(I m YGjG )1 0 0)(4( )20(1 0 01 2 0 0 22 2 j YX jGG 47.420 g得 41 67.0)( gXG 代入实部 4.24 1 6 7.0 1 4167.0)( gG 第五章 频率法