北师大版数学选修44模块检测B

模块检测B(时间： 120 分钟满分： 150 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 50 分)1.下列有关坐标系的说法中，错误的是()A.在直角坐标系中，通过伸缩变换可以把圆变成椭圆B.在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小C.任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程D.同一条曲线可以有不同的参数方程解析直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变换可以改变图形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆是一样的，而平移变换不改变图形的形状和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，同一条曲线根据参数的选取的不同可以有不同的参数方程.答案C2.曲线的参数方程为x3t2 2，(t 为参数 )，则曲线是 ()yt21A.线段B. 双曲线的一支C.圆D. 射线解析消去参数 t，得到方程 x3y5.又因为 x3t222，所以方程为 x3y5 (x 2).所以曲线应为射线 .答案D3.一条光线从点 ( 2， 3)射出，经 y 轴反射后与圆 (x 3)2(y 2)2 1 相切，则反射光线所在直线的斜率为()5332A.3或5B. 2或3第 1页5443C. 4或 5D. 3或 4解析由已知，得点 ( 2， 3)关于 y 轴的对称点为 (2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2， 3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即 kxy2k 3 0.由反射光| 3k22k 3|43线与圆相切，则有 d21，解得 k 3或 k 4，故选 D.k 1答案D2)极坐标方程 (2sin ) 2sin 0 表示的图形为 (4.A.一个圆与一条直线B. 一个圆C.两个圆D. 两条直线解析将所给方程进行分解，可得 (2) (sin )0，即 2 或 sin ，化成直角坐标方程分别是x2y2 4 和 x2 y2y 0，可知分别表示两个圆 .答案C5.在参数方程xatcos ，ybtsin (t 为参数 )所表示的曲线上有 B， C 两点，它们对应的参数值分别为 t1，t2，则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是 ()t1 t2t1 t2A.2B. 2|t1 t2|D.|t1t2 |C.22解析将参数值代入方程，分别得到B， C 两点的坐标，而 M 点为 BC 中点，xBxCt1 t2M2 ，可得 M 点对应的参数值为2 .则有 x答案B6.极坐标方程 cos 20 表示的曲线为 ()A.极点B. 极轴C.一条直线D. 两条相交直线第 2页解析cos 20，cos 20，k，为两条相交直线 .4答案D已知 点的柱坐标是 2， ，1 ，点 Q 的球面坐标为1， ，根据空间坐标7.P424系中两点 A(x1，y1，z1)，B(x2， y2，z2)之间的距离公式 |AB|（x1 x2）2（ y1y2） 2（ z1z2）2，可知 P、Q 之间的距离为 ()2A.3B. 2C. 5D. 2解析首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把P 点的柱坐标转化为空间直角坐标 ( 2， 2，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q 点的球坐标转化为空间直角坐标22，代入两点之间的距离公式即可得2 ，2 ， 0到距离为2.答案Bxtan ，8.双曲线2(为参数 )的渐近线方程为 ()ycos A.x2y0B. x4y0C.2xy0D.4xy 0解析将双曲线方程化为普通方程为y224 x1，则 a 2， b 1， 渐近线方程为 y 2x，应选 C.答案Cx4cos3 ，9.已知曲线的方程是y4sin3 (为参数 )，则该曲线 ()A.关于原点、 x 轴、 y 轴都对称B.仅关于 x 轴对称C.仅关于 y 轴对称第 3页D.仅关于原点对称答案Ax a tcos ，(t 为参数 )所表示的曲线上有 B，C 两点，它们对10.在参数方程y b tsin 应的参数值分别为 t1，t2，则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是 ()t1 t2t1 t2A.2B. 2|t1 t2|D.|t1t2 |C.22x atcos ，11解析当 tt1 时，y1bt1 sin ，x2 at2cos ，tt2 时，y2 bt2sin ， 中点坐标为x1x2at 1cos at2cos t1 t222 a2cos ，y1y2bt 1sin b t2sin t1t222b2sin ，t1t2 中点 M 对应的参数值是2.答案B二、填空题 (每小题 5 分，共 25 分)x2t，11.已知直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正y3t半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 sin24cos 0( 0，02)，则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 _.x 2 t，解析参数方程化为普通方程为 y x 1.由 sin2 4cos 0，得y 3 t222 ，即2由4cos 0，其对应的直角坐标方程为y 4xy4x.sin0第 4页yx1，x1，可得故直线和抛物线的交点坐标为 (1，2)，故交点的极径为y24xy2，12 22 5.答案5x2pt，M1M2 所对应的参数分别是12.若曲线2(t 为参数 )上异于原点的不同两点y2ptt1、t2，则弦 M1M2 所在直线的斜率是 _.解析 设 M112221 ，2，2 ，(2pt2pt )M (2pt2pt )k2pt12 2pt22t12t22122pt1 2pt2t1 t2tt .答案t1t2在极坐标系中， 曲线C1和 C的方程分别为 sin2cos和 以极点13.2sin1.为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为 _.解析222，所以曲因为 x cos ，ysin ，由 sin cos，得 sincos线 C1 的普通方程为 y2 x.由 sin 1，得曲线 C2 的普通方程为 y1.由y2 x，x1，故曲线 C1 与曲y1得y1，线 C2 交点的直角坐标为 (1，1).答案(1，1)14.在以 O 为极点的极坐标系中，圆 4sin 和直线 sin a 相交于 A，B 两点 .若 AOB 是等边三角形，则 a 的值为 _.解析由 4sin 可得 x2y24y，即2(y2)24.由 xsina 可得 y a.设圆的圆心为 O，y a 与 x2(y 2)2 4 的两交点 A，B 与 O构成等边三角形，如图所示.由对称性知 OOB30，ODa.在 Rt DOB 中，第 5页3易求 DB 3 a，B 点的坐标为33 a，a .又 B 在 x2 y2 4y 0 上，32242 3 aa4a 0，即 3a 4a0，解得 a0(舍去 )或 a3.答案3点， 是椭圆2x23y212 上的一个动点， 则 x2y 的最大值为 _.15. P(xy)x2y2解析椭圆为6 4 1，设 P( 6cos ，2sin )，x 2y 6cos 4sin 22sin( ) 22.答案22三、解答题 (共 6 题，共 75 分)16.(12 分)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 2cos ， 0，2 .(1)求 C 的参数方程；(2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l：y3x2 垂直，根据 (1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标 .解 (1)C 的普通方程为 (x 1)2 y21(0y1).可得 C 的参数方程为x 1 cos t，(t 为参数， 0 t ).y sin t(2)设 D(1 cos t，sin t)，由 (1)知 C 是以 G(1，0)为圆心， 1 为半径的上半圆 .因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直，所以直线 GD 与 l 的斜率相同， tan t3，t3， 3故的直角坐标为1cos，sin，即D332 2 .3.x12t，17.(12 分)求直线(t 为参数 )被圆 x2 y29 截得的弦长 .第 6页x12t，x15t 2 ，?5解1y2ty2 5t5把直线x12t代入 x2 y29，y2t得 (1 2t)2 (2t)2 9，5t2 8t40.28 2161212|t1t2 （1t2） 4t1 2555，弦长为5|t1t2 55.|tt|18.(12分过点， 的直线l与抛物线y28x 交于 M、N 两点，求线段 MN 的)A(1 0)中点的轨迹方程 .x8t2，解设抛物线的参数方程为 (t 为参数 )，y8t可设 M(8t21，8t1)，N(8t22，8t2)，8t2 8t11则 kMN 8t22 8t12t1t2.又设 MN 的中点为 P(x，y)，x8t128t222，4（t1t2）则 8t18t2 kAP4（t12t22） 1，y2.1x 4（ t21t22），由 kMN kAP 知 t1t2 8，又 y 4（ t1t2），则 y216(t21 t222t1t2)16 x4 14 4(x1).所求轨迹方程为y24(x1).x2y219.(12 分)已知 A、 B 是椭圆 9 4 1 与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点 P，使四边形 OAPB 的面积最大 .x 3cos ，解椭圆的参数方程为(为参数 ).y 2sin 设点 P 的坐标为 (3cos ，2sin )，其中 02，第 7页SOAPBS APB S AOB，其中 SAOB 为定值，故只需 S APB 最大即可 .又 AB 为定长，故只需点 P 到 AB 的距离最大即可 .AB 的方程为 2x3y 6 0，点 P 到 AB 的距离为 d|6cos 6sin 6| 62sin 41 .131332.当 时，d 取最大值，从而 S APB 取最大值， 这时点 P 的坐标为， 2423x 5 2 t，20.(13 分)已知直线 l：(t 为参数 ).以坐标原点为极点， x 轴的正半1y3 2t轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2cos .(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点 M 的直角坐标为 (5， 3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求 |MA| |MB| 的值 .22222解 (1)2cos 等价于 2cos .将 x y ， cos x 代入 2cos 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y22x 0.3x5 2 t，3t18 0.设这个(2)将(t 为参数 )代入 x2 y22x0，得 t251y3 2t方程的两个实根分别为 t1， t2，则由参数 t 的几何意义知， |MA| |MB| |t12 t | 18.21.(14 分)将圆 x2 y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2 倍，得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程；(2)设直线 l：2xy20 与 C 的交点为P1 ，P2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 求过线段 P12 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 .P解 (1)设 (x1，y1)为圆上的点， 在已知变换下变为曲线C上的点， ，依题意，(x y)xx1，y2得 y2y1. 由 x12y12 1 得 x221，2xcos t，即曲线 C 的方程为 x2 y 1.故 C 的参数方程为(t 为参数 ).4y2sin t第 8页x2y21，x1， x0，(2)由4解得y0或2xy20，y2.1不妨设 P1(1，0)，P2 (0，2)，则线段 P1P2 的中点坐标为2，1 ，所求直线斜率为1y111，化为极坐标方程， 并整理得 2cos k2，于是所求直线方程为2 x23 4sin 3，即 .4sin 2cos 第 9页