有限元复习

有限元复习重点掌握一般问题的描述、模型简化、有限元的基本思想及分析原理、位移法求解基本过程、位移函数构造、单元特性、有限元计算的具体操作（单元刚阵形成、总纲阵组装）、边界条件处理（载荷等效/边界约束施加）、有限元分析的具体操作场问题的一般描述-微分方程+边界条件1) 应力场-弹性力学2) 温度场-热传导3) 电磁场-电磁学4) 流速场-流体力学A、B-微分算子（如对坐标或时间的微分）u-未知场函数，可为标量场（如温度），也可为矢量场（如位移、应变、应力等）一、基本概念1、平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；板壳问题；杆梁问题；温度场；线性问题/非线性问题（材料非线性/几何非线性）等1.）平面应力问题：如等厚度薄板。弹性体在一个坐标方向的几何尺寸远小于其他两个方向的几何尺寸，只受平行于板面，且不沿厚度变化的外力（表面力或体积力）。在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，即 （）。一般，并不一定等于零，但可由及求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑三个应变分量即可。2）平面应变问题：如长厚壁圆筒（受均匀内压或外压）重力坝一纵向(即Z向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿Z方向变化，它们都只是x和y的函数。此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看作对称面)，所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有Z方向的位移，即w = 0这种问题称为平面位移问题，习惯上常称为平面应变问题。只剩下三个应变分量。也只需要考虑三个应力分量即可。 两种平面问题，几何方程，虚功方程，物理方程相同。弹性矩阵不同。3.) 空间轴对称问题即弹性体内任一点的位移、应力与应变只与坐标r、z有关，与无关 几何形状关于轴线对称； 作用于其上的载荷关于轴线对称。 约束条件关于轴线对称。轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别） 轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接； 节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力； 单元边界是一回转面； 应变分量 中出现了 ，即应变不是常量；且应变矩阵在r-0时，存在奇异点，需特殊处理，通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。4.) 力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多的平板，且能承受横向或垂直于板面的载荷。如板不是平板而为曲的(指一个单元)，则称为壳问题。如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。 常用的单元有三角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一个扰度和分别绕x，y轴的转角 薄板矩形/三角形单元是非协调单元（相邻单元在公共边界上扰度是连续的但转角不一定连续）。但实践表明，当单元细分，其解完全能收敛真实解。2、不同类型单元的节点自由度的理解(平面、空间)单元类型单元图形节点数节点自由度杆单元21梁单元23平面单元32平面四边形42轴对称问题32板壳单元43四面体单元433、有限元法的基本思想（二次近似）与有限元分析的基本步骤（5步）有限元法的基本思想: 先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；-即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替（ 第一次近似） 对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示-通常称为插值函数或位移函数（第二近似） 基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程） 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组即可。有限元分析的基本步骤: 所研究问题的数学建模 物体离散（ 第一次近似）网格划分-即把结构按一定规则分割成有限单元 边界处理-即把作用于结构边界上约束和载荷处理为节点约束和节点载荷要求：1）离散结构必须与原始结构保形-单元的几何特性2）一个单元内的物理特性必须相同-单元的物理特性 单元分析（第二近似） 整体分析与求解，整体分析的四个步骤：1、）建立整体刚度矩阵；2、）根据支承条件修改整体刚度矩阵；3、）解方程组，求节点位移（消元法和迭代法）；4、）根据节点位移求出应力。 结果分析及后处理4、有限元法的基本定义（节点、单元、节点力、节点载荷） 单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域 节点：单元与单元间的连接点。 节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力 节点载荷：作用于节点上的外载（等效）。注意：1)节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别；2） 节点力与节点载荷的差别5、位移函数的构造方法及基本条件定义：有限单元法的基本原理是分块近似，对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示-通常称为插值函数或位移函数1.)广义坐标法构造一维单元位移函数： 3节点三角形单元的位移函数 为待定系数，也称为广义坐标2.)插值函数法即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和。一维：二维： Ni可为形函数 选择位移函数的一般原则（基本条件）：1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解6、位移函数的收敛性条件（协调元、非协调元）及单元协调性的判断影响有限元解的误差：1）离散误差 2）位移函数误差 收敛准则：1）位移函数必须包括常量应变（即线形项）3节点三角形单元为例证明2）位移函数必须包括单元的刚体位移（即单元应变为0时的位移）（即常量项）（平动和转动），3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）, 因为线性函数，内部连续。4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）,（相邻单元在公共边界上位移值相同）。设公共边界直线方程为y=Ax+B，代入位移函数可得：边界上位移为u,v仍为线性函数，即公共边界上位移连续协调。综上所述，常应变三角形单元的位移函数满足解的收敛性条件，称此单元为协调单元注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的单元称为协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满足前两个条件的单元称为完备元。7、 弹性力学的几个基本概念（位移、应力、应变等）剪应力互等定律； 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变)任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变8、弹性力学的基本方程（平衡方程、几何方程、物理方程）（注意基本假设/与非线性对比）9、虚功原理、最小势能原理及变分法（里兹法）外力虚功 T = 内力虚功 U 10、形函数特点即插值基函数，反映了单元的位移形态，由节点位移求单元内任意一点的位移1)形函数Ni为x、y坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。2)形函数Ni在i节点处的值等于1，而在其他节点上的值为0。3)单元内任一点的三个形函数之和恒等于1。4)形函数的值在01间变化。11、单元刚度矩阵的性质及元素的物理意义1.)对常应变三角形单元：单元刚度阵的一般格式可表示为则它建立了单元的节点力与节点位移之间的关系，是6*6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。2.) 平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵单元刚阵K的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。其元素的意义为：当第j个自由度发生单位位移，而其他自由度的位移为0时，在第i个自由度上所施加的力。若按节点来说明，则刚阵中每个子块表示：当节点j处发生单位位移，而其他节点固定时，在节点i上所施加的力。K的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-”的表示垂直方向。表示节点j在垂直方向产生单位位移时，在节点i所需要施加的水平节点力的大小 单元刚度矩阵的性质：1）对称阵 2）主对角线元素恒为正值 3）奇异阵，即|K|=0， 4）所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。 12、常用单元的特性（如单元内部边界位移/应变/应力分布，相邻单元边界的协调性分析）（常应变单元三角形/四面体；矩形单元；等参四边形单元；矩形板单元）1.) 三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则单元的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化，应变为常量） 应变矩阵B反映了单元内任一点的应变与节点位移间的关系 应力矩阵S反映了单元内任一点的应力与节点位移间的关系 显然，常应变三角形单元的应变矩阵B为常量矩阵，说明在该单元上的应力和应变为常值。由此可见，在相邻单元的边界处，应变及应力不连续，有突变。2.) 矩形单元：4节点8自由度矩形单元。位移函数 该位移函数满足收敛性条件，单元为协调元；且为等参单元 应变矩阵B的元素是x，y的函数，应力也是随x或y线性变化的。较常应变单元有更高的计算精度矩形板单元：13、等参单元定义、存在条件及特性定义：矩形单元比三角形有更高的精度，而三角形有较矩形单元更好的边界适应性。实际工程中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好的单元。等参单元具有此特点。即以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元。借助于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有限元离散。 等参变换：采用相同的节点数和形函数，将局部坐标下的规则形状单元转换为总体坐标下几何形状扭曲的单元，以满足任意形状离散的要求存在条件及特性： 等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充要条件。 等参单元存在的充要条件是：J称为Jacobi矩阵，由坐标变换式确定，当J的逆存在时，则形函数对x，y的导数可求，即应变阵可求。 为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角大于或等于或接近180度情况。 等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界。 上述等参单元的理论公式可适应三次以上的曲线型等参元，只是阶次提高，单元自由度相应增加，计算更复杂，积分更困难，实际中，很少超过3次曲线型。 上述推导要求：保持坐标变换中几何模式阶次与描述单元位移函数中形函数的阶次相同。如取坐标变换的几何模式阶次较单元的位移函数的阶次高，则称此单元为超单元，反之，为亚单元。这两类单元的收敛性也可得到满足。14、边界条件处理（载荷等效移置 集中力/均布力/线性分布力 边界位移约束处理 固定/指定位移等）连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向节点移置(分解)，而成为节点载荷。载荷移置的原则：能量等效（或静力等效原则），即单元的实际载荷与移置后的节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等 载荷移置的方法：1）直接计算法（静力等效法，虚功移置法）在线性位移模式下2）普遍公式法在非线性模式下 无约束结构的整体刚阵是奇异的，即整体平衡方程的解不唯一，所以，必须引入几何约束，才能求得唯一解。位移约束常分为：节点固定和给定节点位移两种约束。由于引入位移约束条件通常在整体刚阵及节点载荷形成后进行，即此时K、R中的元素均已按一定顺序分别储存于相应的数组，故引入位移约束时，要求尽量不要打乱K、R的储存顺序。引入约束的方法常有：1）降阶法（打乱KR的储存顺序）2）对角元素置1法3）对角元素乘大数法对于单元公共节点上的应力，由于据不同单元求得的结果是不同的，必须进行处理，常用方法有：1）绕点平均法2）单位面积加权平均法3）精确计算法15、总体刚度矩阵组装原则及总刚阵特点1）在整体离散结构变形后，应保证各单元在节点处仍然协调地相互连接，即在某一节点处所有单元在该节点上有相同位移，2）整体离散结构各节点应满足平衡条件。即环绕每个节点的所有单元作用其上的节点力之和应等于作用于该节点上的节点载荷Ri，1.) 对称性。只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。2.) 稀疏性。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。节点5只与周围的六个节点(2、3、4、6、8、9)用三角形单元相连，它们是5的相关节点。在矩阵K中，第5行的非零子块只有七个(即与相关节点对应的七个子块)。3.) 带形分布规律。矩阵K的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中(包括对角线元素在内)，每行具有的元素个数叫做半带宽，用d表示。半带宽的一般计算公式是：半带宽 d = ( 相邻结点码的最大差值 + 1 ) * 2利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的元素，叫半带存贮。同一网格中，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带宽，从而节省存贮容量。16、固有频率与特征向量（振型）定义及理解、振型特性(正交性)二、基本计算及证明1、等效载荷计算第三讲 45/712、单元刚阵计算在单元刚阵 中，表示j节点单位位移，其他节点位移为零时，单元e在i节点引起的节点力；类似，在整体刚阵中，表示j节点单位位移，其他节点位移为零时，整体结构在i节点引起的节点力（由于结构已被离散为一系列单元，即所有与i、j节点相关的单元在i节点引起的节点力之和）。如：计算时，与节点2和3相关的单元有单元和，当节点3发生单位位移时，相关单元和同时在节点2引起节点力，将相关单元在节点2的节点力相加，就得出结构在节点2的节点力 3、总体刚度矩阵组装1.) 结构中的节点编码称为节点的总码，各个单元的三个节点又按逆时针方向编为i,j,m,称为节点的局部码。在单元刚度矩阵中，把节点的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新排列。得到扩大的单元刚度方程2.) 据节点力平衡，各个单元相应节点力叠加=节点载荷：3.) 整理可得整体平衡方程：，其中K为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩阵4、 单元协调性证明(相邻单元在公共边界上位移值相同）。设公共边界直线方程为y=Ax+B，代入位移函数, u,v仍为线性函数，即公共边界上位移连续协调。5、振型正交性证明正交性：任意两个特征值对应的特征向量关于质量矩阵或刚度矩阵正交。即设,三、工程结构的有限元建模与结果分析1、影响有限元分析精度和成本的因素影响有限元解的误差：1）离散误差 2）位移函数误差单元类型和形态，网格划分，节点编号，位移函数选择2、有限元模型的基本构成（节点数据、单元数据、边界条件等）3、有限元建模的常用方法理解及应用（如分步计算、局部计算、子结构法、对称性简化等）4、单元类型选择的一般原则单元选择包括两方面的内容：1、）单元类型（杆、梁、板、壳、平面、实体）2、）单元自由度（低阶单元、高阶单元）选择原则：同一问题所选单元应使计算精度高、收敛速度快、计算量小。杆系结构：a、铰接连接时，选杆单元1; b、刚性连接时，选刚架单元（梁单元3）平面结构：a、外载平行于平面内，选平面单元2; b、外载不在平面内，选弯曲板壳单元3空间结构：a、结构和受力具有轴对称性，选轴对称单元3; b、一般实体，选三维实体单35、网格划分的基本原则及网格划分方案分析、网格形态基本要求（不同划分方案优劣比较）划分网格要兼顾精度和经济性，合理的网格划分应同应力梯度（应力变化率）相一致,在应力梯度大（应力急剧变化）的区域，单元小些，网格密些，而且网格划分应由密到疏逐渐过度。