快速傅里叶变换实验

实验七 迅速傅里叶变换实验00541 机 14 林志杭一、实验目的加深对几种特殊概念的理解:“采样”“混叠”;“窗函数”（截断）“泄漏”;“非整周期截取”“栅栏”。加深理解如何才干避免“混叠”，减少“泄漏”,避免“栅栏”的措施和措施以及估计这些因素对频谱的影响。3.对运用通用微型计算机及相应的FT 软件，实现频谱分析有一种初步的理解。二、实验原理为了实现信号的数字化解决，运用计算机进行频谱分析计算信号的频谱。由于计算机只能进行有限的离散计算（即 DF),因此就要对持续的模拟信号进行采样和截断。而这两个解决过程也许引起信号频谱的畸变,从而使FT 的计算成果与信号的实际频谱有误差。有时由于采样和截断的解决不当,使计算出来的频谱完全失真。因此在时域解决信号时要格外小心。时域采样频率过低,将引起频域的“混叠”。为了避免产生“混叠”,规定期域采样时必须满足采样定理,即:采样频率 fs 必须不小于信号中最高频率 fc 的 2 倍(fs2c）。因此在信号数字解决中,为避免混叠，依不同的信号选择合适的采样频率将是十分重要的。频域的“泄漏”是由时域的截断引起的。时域的截断使频域中本来集中的能量向它的邻域扩散（如由一种（f）变成一种 sinc(f）,而泄漏的旁瓣将影响其他谱线的数值。时域截断还会引起“栅栏效应”,对周期信号而言,它是由于截断长度不等于周期信号的周期的整数倍而引起的。因此避免“栅栏”效应的措施就是整周期截断。综上所述，在信号数字化解决中应十分注意如下几点：1.为了避免“混叠”，规定在采样时必须满足采样定理。为了减少“泄漏”,应合适增长截断长度和选择合适的窗对信号进行整周期截取，则能消除“栅栏数应”。增长截断长度,则可提高频率辨别率。三、预习内容熟悉alb 语言、函数和使用措施；运用 Matab 所提供的 FFT 函数编写程序。四、实验内容及环节调通所编写的程序，对下列信号函数进行离散 FFT 变换,根据题目的规定T 变换点数截断长度 及采样频率，计算各点的傅里叶变换值,画出频谱图,对典型的谱线标出其幅值及相角。()内容：1.ttttx0003cos2sin)6sin()(代码:inpt（N);n=inp（n=）;t=:N;w2i;xsin(w*(t-1)/n/6)+sn（2*（-1)/n)+cs(3*w*(-1)/n）；=fft(x1）；=fftsift(y);an=ang(y)/pi180;ya(y）/N;figre(1);(，y，.3)；grid n;如下类似(1)采样频率 f f0，截断长度=1幅频谱02468101214161800.10.20.30.40.50.60.7相频谱024681012141618-200-150-100-50050100150200最高频率为 3f0，采样频率为 8f0,满足采样定理。采样点数 N=1，辨别率:05.0fNffs。关注频率为正负 1、倍频()fs8 f0，N32幅频谱0510152025303500.10.20.30.40.50.60.7相频谱05101520253035-200-150-100-50050100150200 最 高 频 率 为 3f0,采 样 频 率 为 8f0,满 足 采 样 定 理。采 样 点 数 N=32，辨 别率:ffsN 0.25f0。关注频率为正负、2、3 倍频由上述分析可见,两种采样均满足采样定理,不浮现混叠。以上截取方式相称于添加了矩形窗函数,理论上存在泄漏效应但由于均为整周期截取(2 倍及 4 倍原函数周期）,故没有浮现现泄露现象。由于整周期截取,未产生栅栏效应。误差分析:3cos)3cos()22cos()22cos()3cos()3cos(21)(000000tttttttx明显关注频率为正负、2、倍频，理论上分解的幅值及相角与做 FFT 得到的值同样,幅值误差及相角误差均为零。2.tttx0011sin)6sin()(1)fs=8 f,=1幅频谱02468101214161800.10.20.30.40.50.60.7相频谱024681012141618-100-80-60-40-20020406080100最高频率为 1f0，采样频率为 8f0，不满足采样定理。采样点数=6，辨别率:ffsN 0.5f0。关注频率为正负 1、11 倍频(2）fs2 f0，=幅频谱0510152025303500.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5相频谱05101520253035-100-80-60-40-20020406080100最高频率为 11f0,采样频率为 32f0，满足采样定理。采样点数 N=32,辨别率：ffsNf0。关注频率为正负 1、1倍频（1)中采样不满足采样定理，正负 11 倍频未取到，在正负 3 倍频处浮现混叠,要消除混叠则可以增长采样频率。（）中采样满足采样定理,未浮现混叠。以上截取方式相称于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应但由于均为整周期截取(倍及 1 倍原函数周期),故没有浮现泄露现象。由于整周期截取，未产生栅栏效应。误差分析:x(t)12cos(0t3)cos(0t3)cos(110t2)cos(110t2)明显关注频率为正负 1、11 倍频,理论上分解的幅值及相角与做 FFT 得到的值比较:(1)中采样正负倍频的幅值相角均无误差，但由于未采到正负 1倍频，故误差为0。（)中采样的幅值及相角误差均为 0。3.ttx010cos)(（）8f0，=1幅频谱02468101214161800.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5相频谱024681012141618-150-100-50050100150200最高频率为10f0,采样频率为f0,满足采样定理。采样点数 N16,辨别率:ffsN 0.5f0。关注频率为10倍频()f=32 f0,N幅频谱0510152025303500.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5相频谱05101520253035-150-100-50050100150最高频率为10f0,采样频率为 32f0，满足采样定理。采样点数 N=32，辨别率：ffsNf0关注频率为10倍频由上述分析可见，2 种采样均满足采样定理，未浮现混叠。以上截取方式相称于添加了矩形窗函数,理论上存在泄漏效应，由于均未整周期截取,故浮现了泄露现象。除两条幅值较大的谱线外,还浮现了某些幅值较小的谱线。且由于(2)中窗宽度更小,泄露更加明显。由于非整周期截取,产生了栅栏效应，频谱图中只有整周期频率而无10f0。且（2）中辨别率较低，相对（1）栅栏效应更明显。要减少泄露效应，可以采用其她类型的窗函数,或将截断长度调节为整周期。要避免栅栏效应,可以将截断长度调节为整周期。然而由于该种 x(t)中频率为无理数，难以做到整周期截断,因此不能完全避免泄露和栅栏效应。误差分析:x(t)cos 100t明显关注频率为10倍频,理论上分解的幅值及相角与做 FF得到的值比较:实际所求并没有理论的频率，故用 3 倍频来近似。理论、实际的幅值和相角分别为:（1）中:1、0.91，0deg、57e,(2）中:1、0.982,dg、7.7d故误差:()中：deg5709.0A（2）中:deg7.27018.0A4.ttx010cos)(对信号加窗(annn Windw)00)2cos1(21)(TtTttw（)s=8 f0，N16幅频谱02468101214161800.050.10.150.20.25相频谱024681012141618-150-100-50050100150200最高频率为10f0,采样频率为 8f0，满足采样定理。采样点数 N6,辨别率:ffsN 0.5f0。关注频率为10倍频(2)fs=32 f,=3幅频谱0510152025303500.050.10.150.20.25相频谱05101520253035-200-150-100-50050100150200最高频率为10f0，采样频率为 32f0,满足采样定理。采样点数=32,辨别率:ffsNf0。关注频率为10倍频2 种采样均满足采样定理，未浮现混叠。以上方式相称于添加了汉宁窗函数,理论上存在泄漏效应且由于均未整周期截取,故浮现了泄露现象。除两条幅值较大的谱线外,还浮现了某些幅值较小的谱线。且由于(）中窗宽度更小，泄露更加明显。要减少泄露效应，可以采用其她类型的窗函数，或将截断长度调节为整周期。由于非整周期截取，产生了栅栏效应，频谱图中只有整周期频率而无10f0。且()中辨别率较低，相对（1)栅栏效应更明显。要避免栅栏效应，可以将截断长度调节为整周期。然而由于该种 x(t)中频率为无理数，难以做到整周期截断,因此不能完全避免泄露和栅栏效应。误差分析:x(t)cos 100t明显关注频率为10倍频,理论上分解的幅值及相角与做FT 得到的值比较：实际所求并没有理论的频率,故用倍频来近似。理论、实际的幅值和相角分别为：（1)中:1、0.42,0eg、56.6d,(2)中:、0.92，、2.deg故误差:（1)中：deg6.56578.0A（2)中:deg2.29508.0A可见:在为按整周期截取时,采用汉宁窗函数所得到的成果相对矩形窗并没有得到改善。5.)699.0sin()(0ttx()fs=8 f0，N16幅频谱02468101214161800.10.20.30.40.50.60.7相频谱024681012141618-150-100-50050100150200最高频率为 0.9f0,采样频率为 8f0,满足采样定理。采样点数=16,辨别率：ffsN 0.5f0（2）fs2 f0，N=32幅频谱0510152025303500.10.20.30.40.50.60.7相频谱05101520253035-100-50050100150200最高频率为 0f0,采样频率为 32f0,满足采样定理。采样点数 N32，辨别率:ffsNf0。2 种采样均满足采样定理,未浮现混叠。以上截取方式相称于添加了矩形窗函数,理论上存在泄漏效应且由于均未整周期截取，故浮现了泄露现象。除两条幅值较大的谱线外,还浮现了某些幅值较小的谱线。由于非整周期截取,产生了栅栏效应。要减少泄露效应，可以采用其她类型的窗函数,或将截断长度调节为整周期。要避免栅栏效应，可以将截断长度调节为整周期。且由于该种x(）中频率为有理数,易做到整周期截断,因此可完全避免泄露和栅栏效应。误差分析:)3/99.0cos()3/99.0(cos(21)(tttx可见关注频率为 099 倍频,实际所求并没有理论的频率,故用 1 倍频近似。理论、实际的幅值和相角分别为:（）中:1、1.0，-60deg、-63.4deg,（2)中：1、1.0,-0deg、-1.9e故误差:（1)中:deg4.30A（2）中：deg9.10A由于截断长度虽不是整周期但比较接近，故幅值误差不大,但相角误差较大。（一）典型函数 FFT 变换（重排 FF成果,使 D在谱图中间。)1、对不同占空比方波信号 FT 分析(均取每周期点数 200,总点数 400，根据实验指引书生成方波。）从上到下依次为：方波信号、幅频信号、相频信号。（1）占空比 3024681012-202-20246810121400.51-202468101214-2000200（2）占空比 6024681012-202-20246810121400.51-202468101214-2000200（3）占空比 9%024681012-202-20246810121400.51-202468101214-2000200（4）占空比 2%024681012-202-20246810121400.51-202468101214-2000200（5）占空比0024681012-202-20246810121400.51-202468101214-2000200（6）占空比 60024681012-202-20246810121400.51-202468101214-2000200（7）占空比0%024681012-202-20246810121400.51-202468101214-2000200（8）占空比 9%024681012-202-20246810121400.51-202468101214-2000200分析:由以上占空比不同的方波的频谱图可见,在占空比0如下,随着占空比的增大,幅值较大的特性频率向低频集中。在占空比%如下，可以发现方波占空比越大，低频分量越多的特点。而相角则无明显的变化规律。由此推断得到:当占空比为 10(常数信号）时，能量所有集中在分量上（delta 函数），而当占空比为 0(单位脉冲信号）时，能量均匀分布在各个频率上（常数），两种极端的状况都符合前述变化规律。2、用伪随机模仿白噪声信号进行 FFT 分析伪随机信号：050010001500200025003000350040004500500000.10.20.30.40.50.60.70.80.91幅频图：010002000300040005000600000.10.20.30.40.50.60.7相频图：0100020003000400050006000-200-150-100-50050100150200明显能量几乎完全集中在频率为 0(DC 分量）上，因此伪随机信号的频谱图具有随机信号的特性。运用该特点，可以运用伪随机信号生成随机数或者其她有用的随机信号,便于进行工程应用。（二）实际信号频谱分析1、电电扇振动信号分析采样频率 128Hz，采样点数为 512。为提高频谱辨别率做 18 点的 FFT(截断长度2）。为了减小外界干扰带来的误差,将采样点数分为组（按点号 128、12256、574、385512 分)，分别求得每组数据的 FT 后来求平均，即可得到较为精确的频谱图。分析振动时，一般只考虑幅值（能量)大小,而不考虑相角,故只做出幅频图即可。（1）低速alab 程序:x1=s(1:18）;x2ls(129:5）；x=l(57：84);x4l(3：12);y1=ff(x1）;y=fftsit(y);y1abs(y1)128；y2=fft(2);y2=ftsi(y2);y2=as(y2)/128；y3ft()；y3=ffshift(y3);y=as(y3)18;y4=f(x4);y4tshift（y4）;4=abs（y)/128;y=(y12+y3y)/4;n=1：12;ar(n,y,0）;gr on；幅频图：02040608010012014000.050.10.150.20.250.30.350.40.45可见幅值较大的特性谱线频率为 10z、20z、30z、4z,幅值分别为 0.27、07、.23、0.154。（2）高速matlab 程序:x1=hs(1:128)；=hs(29:256);x3=s(27:384);x4=hs(38:52）;y=ft(1)；y=thift（y1）;y1=bs(y1)8;2=fft(2);y=fthit(2);y2=abs(2)128；y3ft（3）;y3=fftshift（y3)；3=bs(y3）/128;y4=f(4);y4=fftsift(4);y4=as(y）128;y=(y1+y2+y4)/4；n:1;ba(,y,0.3);gri o；幅频图:02040608010012014000.050.10.150.20.25可见幅值较大的特性谱线频率为 14Hz、2Hz、42Hz、48H，幅值分别为 0093、0036、036、0.16。分析以上两种转速下的振动成果可见，不管转速高下,8Hz 均出目前特性频率中,与转速无关，阐明这部分也许是电电扇机械或电子部件固有的振动频率。而其她的特性频率从低速的0H、Hz、30Hz 变为高速时的、27Hz、42z，转速越快,频率越高，阐明这些也许和电机、扇叶等旋转部件有关,同步,10,20,3；14，,42 分别为:2:3与电电扇的三片叶片有关。分析振幅大小可以得出结论:电扇低速时振动重要产生自自身的固有振动(固有频率下的振动),高速时的振动则重要产生自旋转部件，如电机、扇叶等的振动。