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第二章第二章 矩阵复习课矩阵复习课 主要内容主要内容 典型例题典型例题 自测题自测题本章知识结构图本章知识结构图矩阵矩阵矩阵矩阵概概概概念念念念定定定定 义义义义相等矩阵和同型矩阵相等矩阵和同型矩阵相等矩阵和同型矩阵相等矩阵和同型矩阵零矩阵零矩阵零矩阵零矩阵行行行行(列列列列)矩矩矩矩阵阵阵阵方方 阵阵三角方阵三角方阵三角方阵三角方阵 对角方阵对角方阵对角方阵对角方阵数量矩阵数量矩阵数量矩阵数量矩阵单位方阵单位方阵单位方阵单位方阵(反反反反)对称对称对称对称阵阵阵阵特特特特殊殊殊殊矩矩矩矩阵阵阵阵分分分分块块块块矩矩矩矩阵阵阵阵逆逆逆逆矩矩矩矩阵阵阵阵相关定理及性质相关定理及性质相关定理及性质相关定理及性质定定定定 义义义义 矩矩矩矩阵阵阵阵运运运运算算算算矩阵的和矩阵的和矩阵的和矩阵的和矩阵的数乘矩阵的数乘矩阵的数乘矩阵的数乘矩阵相乘矩阵相乘矩阵相乘矩阵相乘方阵行列式方阵行列式方阵行列式方阵行列式方阵的幂方阵的幂方阵的幂方阵的幂矩阵的定义矩阵的定义由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表称为一个称为一个 行行 列矩阵或列矩阵或 矩阵矩阵.记为记为 或或称为矩阵的第称为矩阵的第i i行行j j列的元素列的元素.元素为实数的称为实矩阵元素为实数的称为实矩阵,元素为复数的称为复矩阵元素为复数的称为复矩阵.2.2.几种特殊矩阵几种特殊矩阵元素全为零的元素全为零的 矩阵，记为矩阵，记为:O:O或或零矩阵零矩阵:行矩阵行矩阵:只有一行的矩阵。只有一行的矩阵。列矩阵列矩阵:只有一列的矩阵。只有一列的矩阵。方阵方阵:行数列数皆相等的矩阵。行数列数皆相等的矩阵。上三角方阵上三角方阵:非零元素只可能在主对角线及其上方。非零元素只可能在主对角线及其上方。下三角方阵下三角方阵:非零元素只可能在主对角线及其下方非零元素只可能在主对角线及其下方.对角方阵对角方阵:数量矩阵数量矩阵:单位方阵单位方阵:主对角线上全为主对角线上全为1 1的对角方阵的对角方阵.3.3.矩阵的运算矩阵的运算同型矩阵同型矩阵:行数和列数均相等的矩阵行数和列数均相等的矩阵.如果两个矩阵如果两个矩阵 是同型矩是同型矩阵阵,且各对应元素也相同且各对应元素也相同,即即则称矩阵则称矩阵 相等相等,记作记作两个两个 矩阵矩阵 的和的和矩阵的和矩阵的和:矩阵相等矩阵相等:定义为定义为矩阵的数乘矩阵的数乘:定义为定义为矩阵矩阵的线性运算的线性运算的运算规律的运算规律:矩阵相乘矩阵相乘:与与乘积规定为乘积规定为一个一个 矩阵矩阵其中其中矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律（其中（其中 为数）为数）;n n阶方阵的幂阶方阵的幂:若若A A是是 阶矩阵，定义阶矩阵，定义 为为A A的的 次幂次幂,为正整数，为正整数，。规定。规定 即即易证易证转置矩阵转置矩阵:把把的行与列依次互的行与列依次互换换得到另得到另矩阵矩阵矩矩阵阵，称，称为为一个一个的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质对称阵对称阵:设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即.则则 称为对称阵称为对称阵.反对称阵反对称阵:伴随方阵伴随方阵:设设是行列式是行列式中元素中元素的代数的代数余子式余子式,称方阵称方阵为方阵为方阵 的伴随方的伴随方阵阵.4.4.方阵的行列式方阵的行列式由由 阶方阵阶方阵 的各元素按原位置排列构成的的各元素按原位置排列构成的行列式，叫做方阵行列式，叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算性质运算性质5.5.逆矩阵逆矩阵对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果存在，如果存在 阶矩阵阶矩阵 ,使得使得则称则称 为可逆矩阵，为可逆矩阵，是是 的逆方阵。的逆方阵。定义定义 若方若方阵阵 可逆，可逆，则则其逆矩其逆矩阵阵必唯一。必唯一。可逆可逆相关定理及性质相关定理及性质;(););，,;.，则，则若若可逆，且可逆，且，其中，其中为为的伴随方阵。的伴随方阵。6.6.分块矩阵分块矩阵矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相似分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相似典型例题典型例题 一、矩阵的运算一、矩阵的运算一、矩阵的运算一、矩阵的运算 二、有关逆矩阵的运算及证明二、有关逆矩阵的运算及证明二、有关逆矩阵的运算及证明二、有关逆矩阵的运算及证明 三、矩阵方程及其求解方法三、矩阵方程及其求解方法三、矩阵方程及其求解方法三、矩阵方程及其求解方法一、矩阵的运算一、矩阵的运算矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算性质及运算规律，可极大地提高运算效率性质及运算规律，可极大地提高运算效率.例例1 1注：对一般的注：对一般的 阶方阵阶方阵 ，我们常常用归纳的方，我们常常用归纳的方法求法求 .例例2 2解解:例例3 3若若 阶实对称阵阶实对称阵 满足满足 ,证明证明证证:为对称阵为对称阵,故有故有 ,因此有因此有比较比较 两端的两端的 元素元素由于由于 为实数为实数,故故 即即二、有关逆矩阵的运算及证明二、有关逆矩阵的运算及证明1.1.利用定义求逆阵利用定义求逆阵利用定义求利用定义求 阶方阵阶方阵 逆阵，即找或猜或凑一逆阵，即找或猜或凑一个个 阶方阵阶方阵 ，使，使 或或 ，从而，从而 .例例4 4例例4 42.2.利用伴随矩阵利用伴随矩阵 求逆阵求逆阵例例5 5注：对注：对2 2阶数字方阵求逆一般阶数字方阵求逆一般,都用都用 来做，既简便又来做，既简便又迅速，但对迅速，但对3 3阶及其以上的数字方阵一般不使用阶及其以上的数字方阵一般不使用 求求其逆阵，因为若用其逆阵，因为若用 去做，计算工作量太大且容易出去做，计算工作量太大且容易出错，而是利用下章所介绍的初等变换法错，而是利用下章所介绍的初等变换法.3.3.利用分块矩阵求逆阵利用分块矩阵求逆阵例例6 6从而从而4.4.利用定义证明某一矩阵利用定义证明某一矩阵 为矩阵为矩阵 的逆阵的逆阵例例7 7注：注：1.1.矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个内容，主要包括：内容，主要包括：证明矩阵证明矩阵 可逆；可逆；求逆阵；求逆阵；证明矩阵证明矩阵 是矩是矩2.证明矩阵证明矩阵 A 可逆，可利用可逆，可利用 A 的行列式不为零或找的行列式不为零或找一个矩阵一个矩阵 B，使，使 AB=E 或或 BA=E 等方法；对数字矩等方法；对数字矩阵，若求其逆阵，一般用阵，若求其逆阵，一般用 A*(如如2阶矩阵阶矩阵)或初等变换或初等变换(3阶及阶及3阶以上的方阵阶以上的方阵)的方法的方法来来做，有时也利用分做，有时也利用分块矩阵来做块矩阵来做.对抽象的矩阵对抽象的矩阵 A，若求其逆，一般是用，若求其逆，一般是用定义或定义或 A*来做；证明矩阵来做；证明矩阵 B 是矩阵是矩阵 A 的逆阵，只需的逆阵，只需验证验证 AB=E 或或 BA=E 即可即可.阵阵 的逆阵的逆阵.三三.矩阵方程及其求解方法矩阵方程及其求解方法矩阵方程矩阵方程解解例例8 8以及以及 及及 ，再求，再求 及及 就麻烦多了就麻烦多了.因此，在求解矩阵方程时，一定要注因此，在求解矩阵方程时，一定要注意先化简方程意先化简方程.例例9 9注：此题若不先化简给出的矩阵方程，而直接求注：此题若不先化简给出的矩阵方程，而直接求 第二章自测题第二章自测题一、填空题一、填空题(8分分/题题)1)1)为为3阶方阵阶方阵,已知已知 则则 3)已知已知 则则二二.证明题证明题(26分分)自测题答案1)1)3,1/31/3,9,-1/3;-1/3;2)4;2)4;3)0;3)0;一一.三三.
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