傅里叶积分和变换

数学物理方法 数学物理方法 第五章 傅里叶变换 1 、 傅里叶级数 2 、 傅里叶积分与傅里叶变换 3 、 函数 数学物理方法 5.2.1 实数形式的傅里叶变换 5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 设 ()fx 是 定义 在 区间 x 上 的 函数 ， 一般来 说 ， 它是 非周期 的 ， 不能 展开 为 傅里叶 级数 。 为 了 研究 这样 的 函数 的 傅里叶 展开 ， 采取 如下 办法 ： 将 非 周期 函 数 ()fx 看作 是 某个 周期 函数 ()gx 于 周期 2 l 时 的 极限 情况 ， 这样 ， ()gx 的 傅里叶 展开 有 0 1 ( ) ( c os si n ) kk k k x k xg x a a b ll (5.2.1) 数学物理方法 首先，引入不连续参量 / ( 0 , 1 , 2 ) k k l k ， /k l ，这样，（ 5. 2 .1 ）就变成为 0 1 ( ) ( c os sin )k k k k k g x a a x b x （ 5. 2. 2 ） 其中傅里叶系数为 1 ( ) c o s 1 ( ) s in k l k l k l k l k a f d l b f d l （ 5. 2. 3 ） 数学物理方法 将（ 5. 2. 3 ）代入 ( 5. 2. 2) 中 ，然后取 l 的极限情况。 对于系数 0a ，如果 l im ( )l ll fd 有限，则 0 1l im l im ( ) 0 2 l lll a f dl 余弦部分为 1 1l im ( ) c os c osl kkll k f d xl /k l 1 1l im ( ) c os c osl k k kll k f d x 数学物理方法 于 l ， /0 k l ，不连续参量 k 变成连续 参量，记为 ，对 k 的求和变成对连续参量 的积分， 故上式变为 同理，正弦部分的极限是 1 0 1 l im ( ) si n si n 1 ( ) si n si n l kk ll k f d x l f d x d 0 1 ( ) c o s c o sf d x d 数学物理方法 于是（ 5. 2. 2 ）在 l 时的极限形式是： 00 ( ) ( ) c o s ( ) s i nf x A x d B x d （ 5. 2 . 4 ） 其中 1 ( ) ( ) c o s 1 ( ) ( ) sin A f d B f d （ 5. 2 . 5 ） (5 . 2 . 4 ) 右边 的 积分 称为 傅里叶 积分 ， 称为 非周期 函数 ()fx 的 傅里叶 积分 表达 式 。 （ 5 . 2 . 5 ） 称为 傅里叶 变换 式 。 数学物理方法 将上推导可归纳为如下定理， 傅里叶积分定理 ： 若函数 ()fx 在区间 ( , ) 上满足条件 （ 1 ） ()fx 在任一有限区间上满足 狄里希利 条件， （ 2 ） ()fx 在 ( , ) 上绝对可积（即 ()f x d x 收敛） 则 ()fx 能表成傅里叶积分，且 傅里叶积分值 ( 0 ) ( 0 ) / 2f x f x 。 数学物理方法 上式还可以改写为 0 ( ) ( ) c o s ( ) df x C x 其中 1 2 22 ( ) ( ) ( ) ( ) a r c t a n ( ) / ( ) C A B BA ()C 称为 ()fx 的振幅谱， () 称为 ()fx 的相位谱。 可 以对应于物理现象中波动（或振动） 。 数学物理方法 同傅里叶级数的情形类似，奇函数 ()fx 的傅里叶积分是 傅 里叶正弦积分 ， 0 ( ) ( ) s i nf x B x d （ 5. 2 . 6 ） ()B 是 ()fx 的 傅里叶正弦变换 ， 0 2 ( ) ( ) si nB f d （ 5. 2 . 7 ） ( 5. 2. 6 ) 满足条件 ( 0 ) 0f 同理，偶函数 ()fx 的傅里叶积分是 傅里叶余弦积分 0( ) ( ) c o sf x A x d ( 5 . 2. 8 ) 0 2( ) ( ) c o sA f d ( 5 . 2. 9 ) 数学物理方法 （ 5. 2. 6 ） ( 5. 2 . 9) 也可以写成对称的形式： 傅里叶正弦变换对 2 0 2 0 ( ) ( ) sin d ( ) ( ) sin d f x B x B f x x x （ 5 . 2 . 10 ） 傅里叶余弦变换对 2 0 2 0 ( ) ( ) c os d ( ) ( ) c os d f x A x A f x x x （ 5 . 2 . 11 ） 数学物理方法 例 5 . 2 . 1 矩形函数 r e c t x 指的是 1 1 , ( ) 2 1 0 , ( ) 2 x re c tx x ， 试将 矩形脉冲 ( ) r e c t ( / 2 )f t h t T 展为傅里叶积分。 解 ： ()fx 是偶函数，可以展开为傅里叶余弦积分 0( ) ( ) c o sf t A t d 其中傅里叶变换 0 0 0 2 ( ) ( ) c os 2 ( ) c os 2 2 2 si n c os T A f d hre c t d T hT hd 数学物理方法 5.2.2 复数形式的傅里叶变换 除了实数形式，还有复数形式的傅里叶积分，在很多情 况下，复数形式的傅里叶积分比实数形式的傅里叶积分 要更加方便。 利用欧拉公式 i i i i11c os ( ) , sin ( ) 2 2 i x x x xx e e x e e 代入（ 5.2.4 ） 中，整理得 i 0 i 0 1 ( ) ( ) i ( ) d 2 1 ( ) i ( ) d 2 x x f x A B e A B e 数学物理方法 在右边的第二个积分中，将 换成 ，则 i 0 0 i 1 ( ) ( ) i ( ) d 2 1 ( | | ) i ( | | ) d 2 x x f x A B e A B e 两个积分可以合并写为 ( ) ( ) ixf x F e d （ 5 . 2 . 1 2 ） 其中， ( ) i ( ) / 2 , ( 0 ) () ( | |) i ( | |) / 2 , ( 0 ) AB F AB 数学物理方法 将 ( 5. 2. 5 ) 代入上式，可以证明，无论 0 还是 0 ， i*1( ) ( ) d 2 xF f x e x ( 5 . 2. 13 ) （ 5. 2. 12 ）是 ()fx 的复数形式的傅里叶积分表示式， （ 5. 2. 13 ）则是 ()fx 的傅里叶变换式。这两个式子还可以 写成对称的形式： i1 2 i1 2 ( ) ( ) d ( ) ( ) d x x f x F e F f x e x (5.2.14) 并常用符号简写为 ( ) F ( ) F f x ， -1( ) F ( ) f x F （ 5 . 2 . 1 5 ） ()fx 和 ()F 分别称为傅里叶变换的 原函数 和 像函数 。 数学物理方法 例 5 . 2 . 2 求 1( ) 00 tcf t ctc 的复数 形式的傅里叶变换 1( ) ( ) 2 itF f t e dt 1 2 c it c e dt 解 : si n ,0 c , = 0 c 数学物理方法 例 5 . 2 . 3 求矩形脉冲 ( ) r e c t ( / 2 )f t h t T 的复数 形式的傅里叶变换 解 ： 1 F r e c t ( / 2 ) ( ) 2 1 r e c t ( / 2 ) 2 si n 2 it it T it T h t T f t e dt h t T e dt h h T e dt 数学物理方法 5.2.3 傅里叶变换的基本性质 下面介绍傅里叶变换的基本性质。 为方便叙述， 以下 均假定 ()fx 的傅里叶变换存在， F ( ) ( )f x F （ 1 ） 导数定理 F ( ) ( )f x i F 证明： 1 F ( ) ( ) 2 11 ( ) ( ) 22 ix i x i x f x f x e dx f x e f x e dx 由傅里叶积分定理，有 l im ( ) 0 x fx ，所以 1F ( ) ( ) ( ) 2 ixf x f x e dx i F 数学物理方法 证明： 记 () ( ) ( ) x f d x ，则 ( ) ( )x f x ，对于 ()x 应用导数定理有 F ( ) F ( ( ) )x i x 即： () 1 ( ) F ( ) F ( ) = x F f d f x ii 导数定理和积分定理很重要，原函数的求导和积分运 算，通过傅里叶变换后，变成了像函数的代数运算。 （ 2 ） 积分定理 () ()F ( ) x Ffd i 数学物理方法 （ 3 ） 相似 性 定理 1F ( ) ( )f ax F aa 证明： 1 F ( ) ( )2 ixf a x f a x e d x 令 y a x ，则上式变为 11 F ( ) ( ) 2 11 () 2 y i a y i a f a x f y e d y a f y e d y a 1 1 1( ) ( ) 2 ixaf x e d x F a a a 数学物理方法 （ 4 ） 延迟 定理 00F ( ) ( )ixf x x e F 证明： 00 1F ( ) ( ) 2 ixf x x f x x e dx 令 0y x x ，则上式变为 0 0 0 () 0 1 F ( ) ( ) 2 1 () 2 () i y x ix iy ix f x x f y e d y e f y e d y eF 数学物理方法 （ 5 ） 位移 定理 0 0F ( ) ( )ixe f x F 证明： 00 0 0 () 0 1 F ( ) ( ) 2 1 () 2 () i x i x ix ix e f x e f x e dx f x e dx F 数学物理方法 （ 6 ） 卷积 定理 若 11F ( ) ( )f x F ， 22F ( ) ( )f x F ，则 1 2 1 2F ( ) ( ) 2 ( ) ( )f x f x F F 其中 1 2 1 2( ) * ( ) ( ) ( )f x f x f f x d 称为 1 ()fx 与 2 ()fx 的 卷积 。 证略。 数学物理方法 作业 P104 （ 3），（ 4） 证明：延迟定理 位移定理