创新设计(高中理科数学

诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 第 7讲 抛物线 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 最新考纲 1 掌握抛物线的定义 、 几何图形 、 标准方程及简单几何性质 2 理解数形结合的思想 3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用 . 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 知 识 梳 理 1 抛物线的定义 (1)平面内与一个定点 F和一条定直线 l(Fl)的距离 的点的 轨迹叫做抛物线 点 F叫做抛物线的焦点 ， 直线 l叫做抛物线 的 (2)其数学表达式： |MF| d(其中 d为点 M到准线的距离 ) 准线 相等 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 2 抛物线的标准方程与几何性质 图形 y 2 2 px ( p 0) y 2 2 p x ( p 0) x 2 2 py ( p 0) x 2 2 py ( p 0) 标准 方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 顶点 O (0,0) 对称轴 y 0 x 0 焦点 F p 2 ， 0 F p 2 ， 0 F 0 ， p 2 F 0 ， p 2 离心率 e 1 准线方程 x p 2 x p 2 y p 2 y p 2 范围 x 0 ， y R x 0 ， y R y 0 ， x R y 0 ， x R 性 质 开口方向 向右 向左 向上 向下 续表 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 辨 析 感 悟 1 对抛物线定义的认识 (1)平面内与一个定点 F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹 一定是抛物线 ( ) (2)抛物线 y2 4x的焦点到准线的距离是 4. ( ) 2 对抛物线的标准方程与几何性质的理解 (3)( 2013 北京卷改编 ) 若抛物线 y ax 2 的焦点坐标为 (0,1) ，则 a 1 4 ，准线方程为 y 1. ( ) 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 (4)抛物线既是中心对称图形 ， 又是轴对称图形 ( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的 线段叫做抛物线的通径 ， 那么抛物线 x2 2ay(a 0)的通径长 为 2a. ( ) 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 感悟 提升 1 一点提醒 抛物线方程中，字母 p 的几何意义是抛物线的 焦点 F 到准线的距离， p 2 等于焦点到抛物线顶点的距离牢记 它对解题非常有益如 (2) 2 两个防范 一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称 轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方 程； 二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准 方程，如 (3) . 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 考点一 抛物线的定义及其应用 【 例 1】 (2014深圳一模 )已知点 A(2,0)， 抛物线 C： x2 4y的焦 点为 F， 射线 FA与抛物线 C相交于点 M， 与其准线相交于点 N， 则 |FM| |MN| ( ) A 2 5 B 1 2 C 1 5 D 1 3 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 解析 如图所示，由抛物线定义知 | MF | | MH |， 所以 | MF | | MN | | MH | | MN |. 由 MHN FOA ， 则 | MH | | HN | | OF | | OA | 1 2 ， 则 | MH | | MN | 1 5 ， 即 | MF | | MN | 1 5 . 答案 C 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 规律方法 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种 距离 (抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离 ) 进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与 距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 【 训练 1】 (2014山东省实验中学诊断 )已知点 P是抛物线 y2 4x 上的动点，点 P在 y轴上的射影是 M，点 A的坐标是 (4， a)，则 当 |a| 4时， |PA| |PM|的最小值是 _ 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 解析 将 x 4 代入抛物线方程 y 2 4 x ，得 y 4 ， | a | 4 ，所以 A 在 抛物线的外部，如图，由题意知 F (1,0) ，则抛物线上点 P 到准线 l： x 1 的距离为 | PN |，由定义知， | P A | | PM | | PA | | PN | 1 | PA | | PF | 1. 当 A ， P ， F 三点共线时， | PA | | PF |取最小值，此时 | PA | | PM |也最小，最小值为 | AF | 1 9 a 2 1. 答案 9 a 2 1 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 考点二 抛物线的标准方程与几何性质 【 例 2】 (2014郑州一模 )如图，过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A， B，交其准线 l于点 C，若 |BC| 2|BF|，且 |AF| 3，则此抛物线的方程为 ( ) A y 2 9 x B y 2 6 x C y 2 3 x D y 2 3 x 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 解析 如图，分别过 A ， B 作 AA 1 l于 A 1 ， BB 1 l于 B 1 ，由抛物线 的定义知： | AF | | AA 1 |， | BF | | BB 1 |， | BC | 2| BF |， | BC | 2| BB 1 |， BC B 1 30 ， AFx 60 ，连接 A 1 F ，则 AA 1 F 为等边三角形，过 F 作 FF 1 AA 1 于 F 1 ，则 F 1 为 AA 1 的中点，设 l交 x 轴于 K ，则 | KF | | A 1 F 1 | 1 2 | AA 1 | 1 2 | AF |，即 p 3 2 ， 抛物线方程为 y 2 3 x ，故选 C. 答案 C 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法 ， 其关 键是判断焦点位置 ， 开口方向 ， 在方程的类型已经确定的前提 下 ， 由于标准方程只有一个参数 p， 只需一个条件就可以确定抛 物线的标准方程 (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时 ， 要注意利用几何图形 的形象 、 直观的特点来解题 ， 特别是涉及焦点 、 顶点 、 准线的 问题更是如此 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 【训练 2 】 (2014 兰州一模 ) 已知 圆 x 2 y 2 mx 1 4 0 与抛物线 y 1 4 x 2 的准线相切，则 m ( ) A 2 2 B. 3 C. 2 D 3 答案 D 解析 抛物线的标准方程为 x 2 4 y ，所以准线为 y 1. 圆的 标准方程为 x m 2 2 y 2 m 2 1 4 ，所以圆心为 m 2 ， 0 ，半径 为 m 2 1 2 .所以圆心到直线的距离为 1 ，即 m 2 1 2 1 ，解得 m 3 . 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 考点三 直线与抛物线的位置关系 【 例 3】 (2013湖南卷 )过抛物线 E： x2 2py(p 0)的焦点 F作斜 率分别为 k1， k2的两条不同直线 l1， l2， 且 k1 k2 2， l1与 E相 交于点 A， B， l2与 E相交于点 C， D， 以 AB， CD为直径的圆 M， 圆 N(M， N为圆心 )的公共弦所在直线记为 l. (1) 若 k 1 0 ， k 2 0 ，证明： FM FN 2 p 2 ； (2) 若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 7 5 5 ，求抛物线 E 的方程 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 审题路线 (1) 写出直线 l 1 的方程 与抛物线联立 用根与系数的 关系求 M ， N 的坐标 写出 FM ， FN 的坐标 求 FM FN 用基本不 等式求得结论 (2) 由抛物线定义求 | AB |， | CD | 得到圆 M 与圆 N 的半径 求出圆 M 与圆 N 的方程 得出圆 M 与圆 N 的公共弦所在直线 l的方程 点 M 到 直线 l的距离求出其关于 k 1 的函数式求其最小值 求得 p . 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 解 (1) 由题意知，抛物线 E 的焦点为 F 0 ， p 2 ，直线 l 1 的方程为 y k 1 x p 2 . 由 y k 1 x p 2 ， x 2 2 py 得 x 2 2 pk 1 x p 2 0. 设 A ， B 两点的坐标分 别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ，则 x 1 ， x 2 是上述方程 的两个实数根 从而 x 1 x 2 2 pk 1 ， y 1 y 2 k 1 ( x 1 x 2 ) p 2 pk 2 1 p . 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 所以点 M 的坐标为 pk 1 ， pk 2 1 p 2 ， FM ( pk 1 ， pk 2 1 ) 同理可得点 N 的坐标为 pk 2 ， pk 2 2 p 2 ， FN ( pk 2 ， pk 2 2 ) ， 于是 FM FN p 2 ( k 1 k 2 k 2 1 k 2 2 ) 因为 k 1 k 2 2 ， k 1 0 ， k 2 0 ， k 1 k 2 ， 所以 0 k 1 k 2 k 1 k 2 2 2 1. 故 FM FN p 2 (1 1 2 ) 2 p 2 . 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 (2) 由抛物线的定义得 | FA | y 1 p 2 ， | FB | y 2 p 2 ，所以 | AB | y 1 y 2 p 2 pk 2 1 2 p ，从而圆 M 的半径 r 1 pk 2 1 p . 故圆 M 的方程为 ( x pk 1 ) 2 y pk 2 1 p 2 2 ( pk 2 1 p ) 2 ， 化简得 x 2 y 2 2 pk 1 x p (2 k 2 1 1) y 3 4 p 2 0. 同理可得圆 N 的方程为 x 2 y 2 2 pk 2 x p (2 k 2 2 1) y 3 4 p 2 0. 于是圆 M ，圆 N 的公共弦所在直线 l 的方程为 ( k 2 k 1 ) x ( k 2 2 k 2 1 ) y 0. 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 又 k 2 k 1 0 ， k 1 k 2 2 ，则 l 的方程为 x 2 y 0. 因为 p 0 ，所以点 M 到直线 l 的距离 d |2 pk 2 1 pk 1 p | 5 p |2 k 2 1 k 1 1| 5 p 2 k 1 1 4 2 7 8 5 . 故当 k 1 1 4 时， d 取最小值 7 p 8 5 . 由题设， 7 p 8 5 7 5 5 ，解得 p 8. 故所求的抛物线 E 的方程为 x 2 16 y . 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 、 双曲线的 位置关系类似 ， 一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题 ， 要注意直线是否过抛物线的 焦点 ， 若过抛物线的焦点 ， 可直接使用公式 |AB| x1 x2 p， 若 不过焦点 ， 则必须用一般弦长公式 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 【训练 3 】 设抛物线 C ： x 2 2 py ( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l ， A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B ， D 两点 . (1) 若 BFD 90 ， ABD 的面积为 4 2 ，求 p 的值及圆 F 的方 程； (2) 若 A ， B ， F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m ， n 距离的比值 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 解 (1) 由已知可得 BFD 为等腰直角三角形， | BD | 2 p ，圆 F 的 半径 | FA | 2 p . 由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d | FA | 2 p . 因为 ABD 的面积为 4 2 ，所以 1 2 | BD | d 4 2 ， 即 1 2 2 p 2 p 4 2 ， 解得 p 2( 舍去 ) 或 p 2. 所以 F (0,1) ，圆 F 的方程为 x 2 ( y 1) 2 8. 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 (2) 因为 A ， B ， F 三点在同一直线 m 上，所以 AB 为圆 F 的直径， ADB 90 . 由抛物线定义知 | AD | | FA | 1 2 | AB |. 所以 ABD 30 ， m 的斜率为 3 3 或 3 3 . 当 m 的斜率为 3 3 时，由已知可设 n ： y 3 3 x b ，代入 x 2 2 py 得 x 2 2 3 3 px 2 pb 0. 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 由于 n 与 C 只有一个公共点，故 4 3 p 2 8 pb 0 ， 解得 b p 6 . 因为 m 的纵截距 b 1 p 2 ， | b 1 | | b | 3 ， 所以坐标原点到 m ， n 距离的比值也为 3. 当 m 的斜率为 3 3 时，由图形对称性可知，坐标原点到 m ， n 距离 的比值为 3. 综上，坐标原点到 m ， n 距离的比值为 3. 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 1 认真区分四种形式的标准方程 (1)区分 y ax2(a 0)与 y2 2px(p 0)， 前者不是抛物线的标 准方程 (2)求标准方程要先确定形式 ， 必要时要进行分类讨论 ， 标准 方程有时可设为 y2 mx或 x2 my(m 0) 2 抛物线的离心率 e 1， 体现了抛物线上的点到焦点的距离等 于到准线的距离 因此 ， 涉及抛物线的焦半径 、 焦点弦问 题 ， 可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距 离 ， 这样就可以使问题简单化 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即 | PF | | x | p 2 或 | PF | | y | p 2 ，它们在解题中有重要的作用，注意运 用 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 教你审题 9 灵活运用抛物线焦点弦巧解题 【典例】 已知 过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的焦点 ，斜率为 2 2 的直 线交抛物线于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 )( x 1 x 2 ) 两点，且 | AB | 9. (1) 求该抛物线的方程； (2) O 为坐标原点， C 为抛物线上一点， 若 OC OA OB ， 求 的值 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 审题 一审：由直线过抛物线焦点可利用焦点弦长公式求解 二审：由点 C 为抛物线上一点，可设出 C 点坐标，利用 OC OA OB 表示出点 C 坐标，将点 C 坐标代入抛物线方程求解 解 (1) 直线 AB 的方程是 y 2 2 x p 2 ，与 y 2 2 px 联立，从而有 4 x 2 5 px p 2 0 ，所以 x 1 x 2 5 p 4 ， 由抛物线定义得： | AB | x 1 x 2 p 5 p 4 p 9 ， 所以 p 4 ，从而抛物线方程为 y 2 8 x . 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 (2) 由于 p 4,4 x 2 5 px p 2 0 可简化为 x 2 5 x 4 0 ， 从而 x 1 1 ， x 2 4 ， y 1 2 2 ， y 2 4 2 ， 从而 A (1 ， 2 2 ) ， B (4,4 2 ) ； 设 C ( x 3 ， y 3 ) ，则 OC ( x 3 ， y 3 ) (1 ， 2 2 ) (4,4 2 ) (4 1,4 2 2 2 ) ， 又 y 2 3 8 x 3 ，即 2 2 (2 1) 2 8(4 1) ， 即 (2 1) 2 4 1 ，解得 0 或 2. 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 反思感悟 (1) 解决与抛物线的焦点弦有关问题，常用到 x 1 x 2 p 2 4 ， y 1 y 2 p 2 ， | AB | x 1 x 2 p 2 p sin 2 ( 为 AB 的倾斜角 ) ， 1 | AF | 1 | BF | 2 p 这些结论，就会带来意想不到的效果 (2) 解析几何中像这样可以引申推广的规律有很多，只要我们平时 善于总结、归纳同类题的解题方法，并注意探究和发掘变换事物 中所蕴涵的一般规律，就一定会有更多发现 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 【 自主体验 】 1 (2012安徽卷 )过抛物线 y2 4x的焦点 F的直线交该抛物线于 A， B两点 若 |AF| 3， 则 |BF| _. 解析 法一 由 1 | AF | 1 | BF | 2 p .得 | BF | 3 2 . 法二 设 BFO ，则 | AF | p | AF | cos ， | BF | p | BF | cos ， 由 | AF | 3 ， p 2 ，得 cos 1 3 ， | BF | 3 2 . 答案 32 诊断 基础知识 突破 高频考点 培养 解题能力 2 (2012 重庆卷 ) 过抛物线 y 2 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A ， B 两点，若 | AB | 25 12 ， | AF | | BF |，则 | AF | _ _. 解析 由 1 | AF | 1 | BF | 2 p 2 及 | AB | | AF | | BF | 25 12 ，得 | AF | | BF | 25 24 ，再由 | AF | | BF | 25 12 ， | AF | | BF | 25 24 ， 解得 | AF | 5 6 ， | BF | 5 4 . 答案 56