《导数概念》PPT课件.ppt

第一节 导数的概念 一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的几何意义 五、可导与连续的关系 六、小结 思考题 一、问题的提出 1.自由落体运动的瞬时速度问题 0t t ,0 时刻的瞬时速度求 t t 如图 , ,0 tt 的时刻取一邻近于 ,运动时间 t sv 平均速度 0 0 tt ss ).( 2 0 tt g ,0时当 tt 取极限得 2 t)(tl i mv 0 0 g tt 瞬时速度 .0gt T 0 x xo x y )(xfy C N M 如图 , 如果割线 MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线 MT就称为曲线 C在点 M处的 切线 . 极限位置即 .0,0 N M TMN ).,(),( 00 yxNyxM设 的斜率为割线 MN 0 0t a n xx yy ,)()( 0 0 xx xfxf , 0 xxMN C 沿曲线 的斜率为切线 MT .)()(limt an 0 0 0 xx xfxfk xx 二、导数的定义 ,)( ,)( ,0 );()( ,) (, )( 0 0 0 00 0 0 0 xx yxxfy xxfy xx yxfxxfy yxx xxx xxfy 记为处的导数在点数 并称这个极限为函处可导在点 则称函数时的极限存在之比当 与如果得增量 取相应地函数时仍在该邻域内 点处取得增量在当自变量有定义 的某个邻域内在点设函数 定义 .)()(lim)( 00 00 h xfhxfxf h 其它形式 .)()(lim)( 0 0 0 0 xx xfxfxf xx x xfxxf x yy xxxx )()(limlim 00 000即 000 ()( ) , , x x x x dy df xfx dx dx 或 .)(, )( 内可导在开区间就称函数处都可导 内的每点在开区间如果函数 Ixf Ixfy 关于导数的说明： 0 , . x导 数 是 因 变 量 在 点 处 的 变 化 率 它 反 映 了 因 变 量 随 自 变 量 的 变 化 而 变 化 的 快 慢 程 度 x xfxxfy x )()(lim 0 即 .)()(lim)( 0 h xfhxfxf h 或 注意 : .)()(.1 00 xxxfxf , ( ) ( ) . () , ( ) , . x I f x fx dy df x y f x dx dx 对 于 任 一 都 对 应 着 的 一 个 确 定 的 导 数 值 ,这 样 就 构 成 了 一 个 新 的 函 数 ,这 个 函 数 叫 做 原 来 函 数 的 导 函 数 记 作 或 2.右导数 : 单侧导数 1.左导数 : ;)()(lim)()(lim)( 000 0 0 00 0 x xfxxf xx xfxfxf xxx ;)()(lim)()(lim)( 000 0 0 00 0 x xfxxf xx xfxfxf xxx 函数 )( xf 在点 0 x 处可导 左导数 )( 0 xf 和右 导数 )( 0 xf 都存在且相等 . 如果 )( xf 在开区间 ba , 内可导，且 )( af 及 )( bf 都存在，就说 )( xf 在闭区间 ba , 上可导 . . , ),( ),( )( 0 0 0 可导性 的讨论在点设函数 x xxx xxx xf x xfxxf x )()(lim 00 0若 x xxx x )()(lim 00 0 ,)( 0 存在xf 则 )( xf 在点 0 x 可导， ,)( 0 存在xf x xfxxf x )()(lim 00 0若 x xxx x )()(l i m 00 0 ,)()( 00 axfxf 且 .)( 0 axf 且 三、由定义求导数 步骤 : );()()1( xfxxfy 求增量 ;)()()2( x xfxxfxy 算比值 .lim)3( 0 xyy x 求极限 例 1 .)()( 的导数为常数求函数 CCxf 解 h xfhxfxf h )()(l i m)( 0 h CC h 0lim .0 .0)( C即 例 2 .)( s i n)( s i n,s i n)( 4 xxxxxf 及求设函数 解 h xhxx h s i n)s i n(lim)( s i n 0 2 2 s i n ) 2 c o s (l i m 0 h h h x h .cos x .c o s)( s i n xx 即 44 c o s)( s i n xx xx . 2 2 例 3 .)( 的导数为正整数求函数 nxy n 解 h xhxx nn h n )(lim)( 0 !2 )1(l i m 1210 nnnh hhxnnnx 1 nnx .)( 1 nn nxx即 更一般地 )(.)( 1 Rxx )( x例如 , 12 1 2 1 x . 2 1 x )( 1 x 11)1( x .12x 例 4 .)1,0()( 的导数求函数 aaaxf x 解 h aaa xhx h x 0lim)( h aa h h x 1l i m 0 .ln aa x .ln)( aaa xx 即 .)( xx ee 例 5 .)1,0(l o g 的导数求函数 aaxy a 解 h xhxy aa h l o g)(l o glim 0 .l o g1)( l o g exx aa 即 .1)(ln xx x x h x h a h 1)1(l o g l i m 0 h x ah x h x )1(l o gl i m 1 0 .lo g 1 e x a 例 6 .0)( 处的可导性在讨论函数 xxxf 解 xy x y o ,)0()0( hhh fhf h h h fhf hh 00 l i m)0()0(l i m ,1 h h h fhf hh 00 l i m )0()0(l i m .1 ),0()0( ff即 .0)( 点不可导在函数 xxfy 四、导数的几何意义 o x y )(xfy T 0 x M 1.几何意义 )(,t a n)( , )(,( )()( 0 00 0 为倾角 即切线的斜率 处的在点 表示曲线 xf xfxM xfyxf 切线方程为 法线方程为 ).)( 000 xxxfyy 0 0 0 0 1 ( ) ( ( ) 0). ()y y x x f xfx 若 例 7 ., )2, 2 1 ( 1 方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率 处的切线的在点求等边双曲线 x y 解 由导数的几何意义 , 得切线斜率为 2 1 xyk 2 1) 1( xx 212 1 xx .4 所求切线方程为 法线方程为 ),21(42 xy ),21(412 xy .044 yx即 .01582 yx即 五、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数 . 证 ,)( 0 可导在点设函数 xxf )(lim 00 xfxyx )( 0 xfxy xxxfy )( 0 )(limlim 000 xxxfy xx 0 .)( 0 连续在点函数 xxf )0(0 x 注意 : 该定理的逆定理不成立 . 例 8 .0 , 0,0 0, 1 s i n )( 处的连续性与可导性在 讨论函数 x x x x x xf 解 ,1s i n 是有界函数x 01s i nl i m 0 xxx .0)( 处连续在 xxf 处有但在 0 x x x x x y 00 1s i n)0( x 1sin .11,0 之间振荡而极限不存在和在时当 xyx .0)( 处不可导在 xxf 0)(l i m)0( 0 xff x 六、小结 1. 导数的实质 : 增量比的极限 ; 2 . axf )( 0 )( 0 xf ;)( 0 axf 3. 导数的几何意义 : 切线的斜率 ; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导 ; 5. 求导数最基本的方法 : 由定义求导数 . 6. 判断可导性 不连续 ,一定不可导 . 连续 直接用定义 ; 看左右导数是否存在且相等 . 思考题 函数 )( xf 在某点 0 x 处的导数 )( 0 xf 与导函数 )( xf 有什么区别与联系？ 思考题解答 由导数的定义知， )( 0 xf 是一个具体的 数值， )( xf 是由于 )( xf 在某区间 I 上每一 点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即 Ix ，有唯一值 )( xf 与之对应，所以两 者的 区别 是：一个是数值，另一个是函数两 者的 联系 是：在某点 0 x 处的导数 )( 0 xf 即是导 函数 )( xf 在 0 x 处的函数值 一、 填空题： 1 、 设 )( xf 在 0 xx 处可导，即 )( 0 xf 存在，则 _ _ _ _ _ _ _ )()( lim 00 0 x xfxxf x , _ _ _ _ _ _ _ )()( lim 00 0 x xfxxf x . 2 、 已知物体的运动规律为 2 ts ( 米 ) ，则该物体在 2t 秒时的速度为 _ _ . 3 、 设 3 2 1 )( xxy , 2 2 1 )( x xy , 5 3 22 3 )( x xx xy , 则 它们的导数分别为 dx dy 1 =_ _ _ _ _ _ _ _ _ ， dx dy 2 =_ _ _ _ _ _ ， dx dy 3 =_ _ _ _ _ . 练习题 4 、 设 2)( xxf , 则 )( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； )( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 5 、 曲线 xey 在点 )1,0( 处的切线方程为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 二、 在下列各题中均假定 )( 0 xf 存在，按照导数的定 义观察下列极限，分析并指出 A 表示什么？ 1 、 A xx xfxf xx 0 0 )()( lim 0 ； 2 、 A h hf h )( lim 0 ，其中 )0(0)0( ff 且 存在； 3 、 A h hxfhxf h )()( lim 00 0 . 三、证明：若 )( xf 为偶函数且 )0(f 存在，则 0)0( f . 四、 设函数 0,0 0, 1 s in )( x x x x xf k 问 k 满足什么条 件， )( xf 在 0 x 处 (1) 连续； （ 2 ）可导； （ 3 ）导数连续 . 五、 设函数 1, 1, )( 2 xbax xx xf , 为了使函数 )( xf 在 1x 处连续且可导， ba , 应取什么值 . 六、 已知 0, 0,s i n )( xx xx xf , 求 )( xf . 七、 证明：双曲线 2 axy 上任一点处的切线与两 坐标轴构成的三角形的面积都等于 2 2 a . 八、 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点 的坐标为 x ，于是分布在区间 1,0 上细棒的质 量 m 是 x 的函数 )( xmm 应怎样确定细棒在点 0 x 处的线密度 （对于均匀细棒来说，单位长度细棒 的质量叫作这细棒的线密度）？ 一、 1 、 )( 0 xf ； 2 、 )( 0 xf ； 3 、 6 5 3 3 1 6 1 , 2 , 3 2 x x x ； 3 、 2 4 x , 2 2 x ； 5 、 01 yx . 二、 1 、 )( 0 xf ； 2 、 )0(f ； 3 、 )(2 0 xf . 四、 (1) 当 0k 时 , )( xf 在 0 x 处连续； (2) 当 1k 时 , )( xf 在 0 x 处可导 , 且 0)0( f ； (3) 当 2k 及 0 x 时 , )( xf 在 0 x 处连续 . 五、 1,2 ba . 六、 0,1 0,c os )( x xx xf . 八、 0 xx dx dm . 练习题答案