《参数方程的概念》PPT课件.ppt

教学目标 1. 弄清曲线参数方程的概念 2. 能选取适当的参数，求简单曲线 的参数方程 教学重点 曲线参数方程的定义及方法 如图 ,一架救援飞机在离灾区地面 500m高处以 100m/s 的速度作水平直线飞行 . 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面 (不记空气阻力 ),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？ ？ 救援点 投放点 x y 500 o 物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （ 1）沿 ox作初速为 100m/s的匀速直线运动； （ 2）沿 oy反方向作自由落体运动。 如图 ,一架救援飞机在离灾区地面 500m高处以 100m/s 的速度作水平直线飞行 . 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面 (不记空气阻力 ),飞行员应如何确定投放 时机呢？ x y 500 o 0,y 令 1 0 .1 0 .ts得 1 0 0 , 1 0 1 0 .x t x m代 入 得 . 1010 所 m以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 时 投 放 物 资 ， 可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 tx y 解 ： 物 资 出 舱 后 ， 设 在 时 刻 ， 水 平 位 移 为 ， 垂 直 高 度 为 ， 所 以 2 1 0 0 , 1 5 0 0 . 2 xt y g t )2（ g=9.8m/s 如图 ,一架救援飞机在离灾区地面 500m高处以 100m/s 的速度作水平直线飞行 . 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面 (不记空气阻力 ),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 读教材 填要点 1 参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x ， y 都是某 个变数 t 的函数 x f t ， y g t ， ，并且对于 t 的每一个允许值，由方程 组 所确定的点 M ( x ， y ) ，那么 叫做 这条曲线的参数方程 联系变量 x ， y 的 叫做参变数，简称参数 2 普通方程 相对于参数方程而言，直接给出 的方程叫做 普通方程 都在这条曲线上 方程组 变数 t 点的坐标间关系 小问题 大思维 1 参数方程中的参数 t 是否一定有实际意义？ 2 曲线的参数方程一定是唯一的吗？ 提示： 参数是联系变数 x， y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数 提示： 同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一 样如 x 4 t 1 y 2 t t R 和 x 2 m 1 y m ( m R) 都表示直线 x 2 y 1. 研一题 例 1 已知曲线 C 的参数方程是 x 2 t y 3 t 2 1 ( t 为参数 ) (1) 判断点 M 1 (0 ， 1) 和 M 2 (4,10) 与曲线 C 的位置关系； (2) 已知点 M (2 ， a ) 在曲线 C 上，求 a 的值 精讲详析 本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关 系解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在 (1) 把点 M 1 的坐标代入参数方程 x 2 t， y 3 t 2 1 ， 得 0 2 t 1 3 t 2 1 ， t 0. 即点 M 1 在曲线 C 上 把点 M 2 的坐标代入参数方程 x 2 t， y 3 t 2 1 ， 得 4 2 t 10 3 t 2 1 ，方程组无解 即点 M 2 不在曲线 C 上 (2) 点 M (2 ， a ) 在曲线 C 上， 2 2 t， a 3 t 2 1. t 1 ， a 3 1 2 1 2. 即 a 的值为 2. 悟一法 已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点 的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如 果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上 通一类 1 已知曲线 x 2sin 1 y sin 3 ( 为参数， 0 ) ， 则下列各点 A (1,3) ， B (2,2) ， C ( 3,5) 在曲线上的点是 _ 解析： 将 A (1,3) 点代入方程得 0 ；将 B 、 C 点坐标代入方程， 方程无解，故 B 、 C 点不在曲线上 答案： A (1,3) 练习 1 1、曲线 与 x轴的交点坐标是 ( ) A、（ 1， 4）； B、 C、 D、 21 ,( 43 xt t yt 为 参 数 ） 25( , 0) ; 16 (1, 3); 25( , 0) ; 16 B 已知曲线 C的参数方程是 点 M(5,4)在该 曲线上 . （ 1）求常数 a; （ 2）求曲线 C的普通方程 . 2 1 2 , () . xt t y a t 为 参 数 , a R 解 : (1)由题意可知 : 1+2t=5 at2=4 解得 : a=1 t=2 a=1 (2)由已知及 (1)可得 ,曲线 C的方程为 : x=1+2t y=t2 由第一个方程得 : 1 2 xt 代入第二个方程得 : 21( ) , 2 xy 2( 1 ) 4xy 为 所 求 . 训练 2： 动点 M作等速直线运动 , 它在 x轴和 y轴方向的速度分别 为 5和 12 , 运动开始时位于点 P(1,2), 求点 M的轨迹参数 方程。 解：设动点 M (x,y) 运动时间为 t，依题意，得 ty tx 122 51 所以，点 M的轨迹参数方程为 ty tx 122 51 研一题 例 2 如图， ABP是等腰直角三角形， B是直角，腰 长为 a，顶点 B、 A分别在 x轴、 y轴上滑动， 求点 P在第一象限的轨迹的参数方程 精讲详析 本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需 要先确定参数，然后分别用同一个参数表示 x和 y. 法一： 设 P 点的坐标为 ( x ， y ) ，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴 于 Q . 如图所示，则 Rt OAB Rt QBP . 取 OB t， t 为参数 (0 t a ) | OA | a 2 t 2 ， | BQ | a 2 t 2 . 点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为 x t a 2 t 2 y t ， (0 t a ) 法二： 设点 P 的坐标为 ( x ， y ) ，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴 于点 Q ，如图所示 取 QBP ， 为参数 (0 2 ) ， 则 ABO 2 . 在 Rt OAB 中， | OB | a cos ( 2 ) a sin . 在 Rt QBP 中， | BQ | a cos ， | PQ | a sin . 点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为 x a sin cos ， y a sin . ( 为参数， 0 2 ) 悟一法 (1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系， 设 (x， y)是轨迹上任意一点的坐标画出草图 (画图时要注意根 据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系 ) 第二步，选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点： 一是曲线上每一点的坐标 x， y与参数的关系比较明显，容易列 出方程；二是 x， y的值可以由参数唯一确定例如，在研究运 动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋 转角为参数此外，离某一定点的 “有向距离 ”、直线的倾斜角、 斜率、截距等也常常被选为参数 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意 义等，建立点的坐标与参数的函数关系式 (2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求 出参数的取值范围并标注出来 通一类 2. 如图所示， OA 是圆 C 的直径，且 OA 2 a ， 射线 OB 与圆交于 Q 点，和经过 A 点的切线 交于 B 点，作 PQ OA 交 OA 于 D ， PB OA ， 试求点 P 的轨迹的参数方程 解： 设 P ( x ， y ) 是轨迹上任意一点，取 DOQ ，由 PQ OA ， PB OA ，得 x OD OQ cos OA cos 2 2 a cos 2 ， y AB OA tan 2 a tan . 所以 P 点轨迹的参数方程为 x 2 a cos 2 y 2 a tan ， ( 2 ， 2 ) 曲线参数方程的应用 ， 是高考模拟的热点内容 . 实际问题为背 景考查曲线参数方程的实际应用 ， 是高考模拟命题的一个新亮点 考题印证 已知弹道曲线的参数方程为 x 2 t c os 6 ， y 2 t s i n 6 1 2 gt 2 . ( t 为参数 ) ( 1) 求炮弹从发射到落地所需时间； ( 2) 求炮弹在运动中达到的最大高度 命题立意 本题主要考查曲线参数方程中参数的实际意 义及其应用 解 (1) 令 y 0 ，则 2 t s in 6 1 2 gt 2 0. 解之得 t 2 g . 炮弹从发射到落地所需要的时间为 2 g . (2) y 2 t sin 6 1 2 gt 2 1 2 gt 2 t 1 2 g ( t 2 2 g t ) 1 2 g ( t 1 g ) 2 1 g 2 1 2 g ( t 1 g ) 2 1 2 g 当 t 1 g 时， y 取最大值 1 2 g . 即炮弹在运动中达到的最大高度为 1 2 g .