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8.2 椭圆的简单几何性质一、教学目标(一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等二、教材分析1重点：椭圆的几何性质及初步运用(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结)2难点：椭圆离心率的概念的理解(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，)3疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明)三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结四、教学过程(一)复习提问1椭圆的定义是什么？2椭圆的标准方程是什么？3.椭圆中a,b,c的关系是？学生口述，教师板书(二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是b0)来研究椭圆的几何性质说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变1范围即|x|a，|y|b，这说明椭圆在直线x=a和直线y=b所围成的矩形里(图2-18)注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点2对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的” 呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称类似可以证明其他两个命题同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心3顶点只须令x=0，得y=b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)教师还需指出：(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形根据前面所学有关知识画出下列图形（1） （2）4离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义先分析椭圆的离心率e的取值范围：ac0， 0e1再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了标准方程范围|x| a,|y| b对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)焦点坐标(c,0)、(-c,0)半轴长长半轴长为a,短半轴长为b. ab离心率a、b、c的关系a=b+c标准方程范围|x| a,|y| b|x| b,|y| a对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称同前顶点坐标(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)焦点坐标(c,0)、(-c,0)(0 , c)、(0, -c)半轴长长半轴长为a,短半轴长为b. ab同前离心率同前a、b、c的关系a=b+c同前 (三)应用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1例1 已知椭圆16x2+25y2=400，它的长轴长是： 。短轴长是： 。焦距是： 。 离心率等于： 。焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。 外切矩形的面积等于： 。并用描点法画出它的图形本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：(2)描点作图先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)要强调：利用对称性可以使计算量大大减少练习1.已知椭圆方程为6x+y=6它的长轴长是： 。短轴长是： 。焦距是： .离心率等于： 。焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。 外切矩形的面积等于： 。 例2过适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点P（-3，0） 、Q（0，-2） ；（2）长轴长等于20,离心率等于解:（1）由题意a=3,b=2,又长轴在x轴上，所以，椭圆的标准方程为.（2）由已知2a=20，e=. a=10，c=6， ，所以椭圆的标准方程为或 .例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程。椭圆的标准方程为或 .(四)小结本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。 解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关布置学生最后小结下列表格：五、布置作业：作业：P103 习题8.2 1、3、4、5.
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