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第 2讲 椭圆、双曲线、抛物线 专题五 解析几何 2016考向导航 适用于全国卷 圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容， 所占分数约在 12 18分主要考查圆锥曲线的标准方程、几 何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容对圆锥曲线方 程与性质的考查，以选择题、填空题为主，对直线与圆锥曲 线的位置关系的考查，常与其他知识交汇，形成曲线中的存 在性问题、曲线中的证明问题等，多以解答题的形式出现 专题五 解析几何 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 1 必记定义与性质 (1)圆锥曲线 名 称 椭 圆 双曲线 抛物线 定 义 |PF1| |PF2| 2a(2a |F1F2|) |PF1| |PF2| 2a(2a |F1F2|) |PF| |PM|， PM l 于 M (l为抛物 线的准线 ) 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 名 称 椭 圆 双曲线 抛物线 几何性质 轴 离心率 渐近线 e c a 1 b 2 a 2 ( 0 e 1 ) y bax 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 ( 2 ) 抛物线的过焦点的弦长 抛物线 y 2 2 px ( p 0 ) 的过焦点 F p 2 ， 0 的弦 AB ， 若 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 x 2 p 2 4 ， y 1 y 2 p 2 ， 弦长 | AB | x 1 x 2 p . 2 辨明易错易混点 ( 1) 忽略定义：题目中出现与焦点有关的问题时 ， 易忽略定义的 使用 ( 2) 易忽略焦点位置：焦点位置没有明确给出时 ， 应对焦点位置 进行分情况讨论 ， 椭圆、双曲线有两种情况 ， 抛物线有四种情况 ( 3) 混淆椭圆、双曲线 中 a 、 b 、 c 的关系 ， 椭圆： a 2 b 2 c 2 ， 双 曲线： c 2 a 2 b 2 . 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 考点一 圆锥曲线的定义及标准方程 命题角度 1 求圆锥曲线的方程 2 圆锥曲线的定义及其应用 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 ( 1 ) ( 2 0 1 5 高考天津卷 ) 已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的一个焦点为 F (2 ， 0 ) ， 且双曲线的渐近线与圆 ( x 2) 2 y 2 3 相切 ， 则双曲线的方程为 ( ) A. x 2 9 y 2 13 1 B. x 2 13 y 2 9 1 C. x 2 3 y 2 1 D x 2 y 2 3 1 ( 2 ) 已知抛物线 C ： y 2 8 x 的焦点为 F ， 准线为 l， P 是 l 上一点 ， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点 ， 若 FP 4 FQ ， 则 | QF | ( ) A. 7 2 B. 5 2 C 3 D 2 D C 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 思路点拨 ( 1 ) 利用渐近线与圆相切以及焦点坐标 ， 列出方程组 求解 ( 2 ) 利用 FP 4 FQ 转化长度关系 ， 再利用抛物线定义求解 解析 ( 1 ) 由双曲线的渐近线 y b a x 与圆 ( x 2) 2 y 2 3 相切可 知 | b a 2| 1 b a 2 3 ， c 2 ， a 2 b 2 c 2 ， 解得 a 1 ， b 3 . 故所求双曲线的方程为 x 2 y 2 3 1. 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 ( 2 ) 因为 FP 4 FQ ， 所以 | FP | 4| FQ |， 所以 | PQ | | PF | 3 4 . 如图 ， 过 Q 作 QQ l， 垂足为 Q ， 设 l 与 x 轴的交点为 A ， 则 | AF | 4 ， 所以 | PQ | | PF | | QQ | | AF | 3 4 ， 所以 | QQ | 3 ， 根据抛物线定义可知 | QQ | | QF | 3. 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 1 本例 ( 1 ) 中条件变为 “ 一条渐近线过点 (2 ， 3 ) ， 且双曲线的一 个焦点在抛物线 y 2 4 7 x 的准线上 ” ， 则双曲线的方程为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 解析：由双曲线的渐近线 y b a x 过点 ( 2 , 3 ) ， 可得 3 b a 2. 由双曲线的焦点 ( a 2 b 2 ， 0 ) 在抛物线 y 2 4 7 x 的准线 x 7 上 ， 可得 a 2 b 2 7 . 由 解得 a 2 ， b 3 ， 所以双曲线的方程为 x 2 4 y 2 3 1. x 2 4 y 2 3 1 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 2 把本例 ( 2 ) 条件 “ FP 4 FQ ” 改为 “ PF 1 2 PQ ” ， 其他条件不 变 ， 则 | QF | _ _ _ _ _ _ _ _ 解析：如图 ， 过 Q 作 QQ l， 垂足为 Q ， A 为 l 与 x 轴的交点 因为 PF 1 2 PQ ， 所以 | PF | 1 2 | PQ |. 因为 P A F PQ Q ， 所以 | AF | | QQ | | PF | | PQ | ， 所以 | QQ | 8 ， 因此 | QF | | QQ | 8. 8 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 3 ( 2 0 1 5 云南省第一次统一检测 ， T 10 ) 已知 F 1 、 F 2 是双曲线 M ： y 2 4 x 2 m 2 1 的焦点 ， y 2 5 5 x 是双曲线 M 的一条渐近线 ， 离心 率 等于 3 4 的椭圆 E 与双曲线 M 的焦点相同 ， P 是椭圆 E 与双曲 线 M 的一个公共点 ， 设 | PF 1 | | PF 2 | n ， 则 ( ) A n 12 B n 24 C n 3 6 D n 12 且 n 24 且 n 36 A 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 解析： 由题意得 ， 双曲线的方程为 y 2 4 x 2 5 1 ， 椭圆的方程为 x 2 7 y 2 16 1 ， 不妨设 | PF 1 | | PF 2 | ， 从而可知 | PF 1 | | PF 2 | 8 ， | PF 1 | | PF 2 | 4 | PF 1 | 6 ， | PF 2 | 2 | PF 1 | | PF 2 | n 1 2 . 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 方法归纳 (1)圆锥曲线定义的应用 已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、 双曲线的定义求解 应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与 到准线的距离相互转化使问题得解 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 (2)圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是 “先定型，后计算 ” 定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置， 从而设出标准方程 计算即利用待定系数法求出方程中的 a2， b2或 p.另外，当 焦点位置无法确定时，抛物线常设为 y2 2ax或 x2 2ay(a0)， 椭圆常设为 mx2 ny2 1(m0， n0)，双曲线常设为 mx2 ny2 1(mn0). 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 考点二 圆锥曲线的几何性质 命题角度 1 求椭圆 、 双曲线的离心率或离心率的范围 2 由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程 3 求双曲线的渐近线方程 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 ( 1 ) ( 2 0 1 5 高考湖南卷 ) 设 F 是双曲线 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1 的一个 焦点若 C 上存在点 P ， 使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端 点 ， 则 C 的离心率为 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 2 ) 已知椭圆 E ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的右焦点为 F ， 短轴的一个 端点为 M ， 直线 l ： 3 x 4 y 0 交椭圆 E 于 A ， B 两点若 | AF | | BF | 4 ， 点 M 到直线 l 的距离不小于 4 5 ， 则椭圆 E 的离心率的 取值范围是 ( ) A (0 ， 3 2 B (0 ， 3 4 C 3 2 ， 1 ) D 3 4 ， 1 ) 5 A 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 思路点拨 ( 1 ) 根据题意建立 a ， c 间的联系 ， 再利用离心率公 式计算 ( 2 ) 根据椭圆的对称性可求得 a 的值 ， 再根据短轴的端点到直线的 距离求得 b 的取值范围 ， 代入离心率公式即可 解析 ( 1 ) 不妨设 F ( c ， 0 ) ， PF 的 中点为 ( 0 ， b ) 由中点坐标 公式可知 P ( c ， 2 b ) 又点 P 在双曲线上 ， 则 c 2 a 2 4 b 2 b 2 1 ， 故 c 2 a 2 5 ， 即 e c a 5 . 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 ( 2 ) 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A ， B 两点到椭圆左、右 焦点的距离为 4 a 2 ( | AF | | BF |) 8 ， 所以 a 2. 又 d |3 0 4 b | 3 2 （ 4 ） 2 4 5 ，所以 1 b 2 ， 所以 e c a 1 b 2 a 2 1 b 2 4 . 因为 1 b 2 ， 所以 0 e 3 2 . 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 方法归纳 圆锥曲线性质的应用 (1)分析圆锥曲线中 a， b， c， e各量之间的关系是求解问题的 关键 (2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围 ， 其关键就是确立 一个关于 a， b， c的方程 (组 )或不等式 (组 )， 再根据 a， b， c的 关系消掉 b得到 a， c的关系式 建立关于 a， b， c的方程 (组 )或 不等式 (组 )， 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质 、 点的坐 标的范围等 注 求椭圆 、 双曲线的离心率 ， 常利用方程思想及整体代 入法 ， 该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 1 ( 2 0 1 4 高考广东卷 ) 若实数 k 满足 0 k 5 ， 则曲线 x 2 16 y 2 5 k 1 与曲线 x 2 16 k y 2 5 1 的 ( ) A 实半轴长相等 B 虚半轴长相等 C 离心率相等 D 焦距相等 解析： 因为 0 k b 0 ) 的左、右焦点 ， 在此 椭圆上存在点 P ， 使 F 1 PF 2 60 ， 且 | PF 1 | 2| PF 2 |， 则此椭圆 的离心率为 ( ) A. 1 3 B. 2 2 C. 3 3 D. 6 6 C 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 解析： 如图所示 ， 由 F 1 PF 2 60 ， | PF 1 | 2| PF 2 |， 可得 PF 2 F 1 90 ， 所以 e c a 2 c 2 a | F 1 F 2 | | PF 1 | | PF 2 | 3 | PF 2 | 2| PF 2 | | PF 2 | 3 3 ， 故选 C. 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 考点三 直线与圆锥曲线的位置关系 命题角度 1 由直线与圆锥曲线的位置关系求直线方程有关问题 2 由直线与圆锥曲线的位置关系求圆锥曲线的方程及其性 质 在平面直角坐标系 x Oy 中 ， 已知椭圆 C 1 ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0 ) 的左焦点为 F 1 ( 1 ， 0 ) ， 且点 P (0 ， 1 ) 在 C 1 上 ( 1 ) 求椭圆 C 1 的方程； ( 2 ) 设直线 l 同时与椭圆 C 1 和抛物线 C 2 ： y 2 4 x 相切 ,求直线 l 的 方程 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 审题路线图 审条件 ( 1 ) 条件 b ， c 的值 椭圆 C 1 的方程 ( 2 ) 设直线方程 为 y kx m 椭圆、 抛物线方程 转化为关于 x 的 一元二次方程 相 切 0 k 、 m 的等式 k 、 m 的值 结果 解 ( 1 ) 因为椭圆 C 1 的左焦点为 F 1 ( 1 ， 0 ) ， 点 P (0 ， 1 ) 在 C 1 上 ， 所以 c 1 ， b 1 ， 所以 a 2 b 2 c 2 2. 所以椭圆 C 1 的方程为 x 2 2 y 2 1. 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 ( 2 ) 由题意可知 ， 直线 l 的斜率显然存在且不等于 0 ， 设直线 l 的 方程为 y kx m ， 由 x 2 2 y 2 1 ， y kx m ， 消去 y 并整理得 (1 2 k 2 ) x 2 4 k m x 2 m 2 2 0. 因为直线 l 与椭圆 C 1 相切 ， 所以 1 16 k 2 m 2 4 ( 1 2 k 2 ) ( 2 m 2 2) 0. 整理得 2 k 2 m 2 1 0. 由 y 2 4 x ， y kx m ， 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 消去 y 并整理得 k 2 x 2 (2 km 4) x m 2 0. 因为直线 l 与抛物线 C 2 相切 ， 所以 2 (2 km 4) 2 4 k 2 m 2 0 ， 整理得 km 1. 综合 ， 解得 k 2 2 ， m 2 ， 或 k 2 2 ， m 2 . 所以直线 l 的方程为 y 2 2 x 2 或 y 2 2 x 2 . 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 方法归纳 解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤 ( 1 ) 设方程及点的坐标； ( 2 ) 联立直线方程与曲线方程得方程组 ， 消元得方程 ( 注意二次项 系数是否为零 ) ； ( 3 ) 应用根与系数的关系及判别式； ( 4 ) 结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式 求解 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 ( 2 0 1 5 兰州调研 ) 已知椭圆 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0 ) 的一个焦点是 F (1 ， 0 ) ， 且离心率为 1 2 . ( 1 ) 求椭圆 C 的方程； ( 2 ) 设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M ， N 两点 ， 线段 MN 的垂直 平分线交 y 轴于点 P (0 ， y 0 ) ， 求 y 0 的取值范围 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 解： ( 1 ) 设椭圆 C 的半焦距是 c . 依题意 ， 得 c 1. 因为椭圆 C 的离心率为 1 2 ， 所以 a 2 c 2 ， b 2 a 2 c 2 3. 故 椭圆 C 的方程为 x 2 4 y 2 3 1. 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 ( 2 ) 当 MN x 轴时 ， 显然 y 0 0. 当 MN 与 x 轴不垂直时 ， 可设直线 MN 的方程为 y k ( x 1 ) ( k 0) 由 y k （ x 1 ） ， x 2 4 y 2 3 1 消去 y 并整理得 ， (3 4 k 2 ) x 2 8 k 2 x 4( k 2 3) 0. 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， 线段 MN 的 中点为 Q ( x 3 ， y 3 ) 又 x 1 x 2 8 k 2 3 4 k 2 . 所以 x 3 x 1 x 2 2 4 k 2 3 4 k 2 ， 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 y 3 k ( x 3 1) 3 k 3 4 k 2 . 线段 MN 的垂直平分线的方程为 y 3 k 3 4 k 2 1 k x 4 k 2 3 4 k 2 . 在上述方程中 ， 令 x 0 ， 得 y 0 k 3 4 k 2 1 3 k 4 k . 当 k 0 时 ， 3 k 4 k 4 3 . 所以 3 12 y 0 0 或 0 y 0 3 12 . 综上 ， y 0 的取值范围是 3 12 ， 3 12 . 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 栏目 导引 要点整合 夯基释疑 导学导练 核心突破 专题强化 精练提能 专题五 解析几何 本部分内容讲解结束 按 ESC键退出全屏播放