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专项强化练(一)选修42：矩阵与变换(理独)题型一常见平面变换1已知变换T把平面上的点(3，4)，(5,0)分别变换成(2，1)，(1,2)，试求变换T对应的矩阵M.解：设M，由题意得，解得即M.2(2019高邮中学模拟)已知点A在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点B.若点B的坐标为(4,3)，求点A的坐标解：设A(x，y)，则A在变换T下的坐标为(x3y，y)，又绕原点逆时针旋转90对应的矩阵为，所以，得解得所以点A的坐标为(9,4). 3设矩阵M(其中a0，b0)，若曲线C：x2y21在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C：y21，求ab的值解：设曲线C：x2y21上任意一点P(x，y)，在矩阵M所对应的变换作用下得到点P1(x1，y1)，则，即又点P1(x1，y1)在曲线C：y21上，所以y1，则(by)21为曲线C的方程又曲线C的方程为x2y21，故a24，b21，因为a0，b0，所以a2，b1，所以ab3.临门一脚1把点A(x，y)绕着坐标原点旋转角的变换，对应的矩阵是，这个矩阵不能遗忘2求点被矩阵变换后的点的坐标或求曲线被矩阵变换后的曲线所用方法是求轨迹中的相关点法3求直线在矩阵作用下所得直线方程，可以取两个特殊点求解比较简便题型二矩阵的复合、矩阵的乘法及逆矩阵1已知a，b是实数，如果矩阵A所对应的变换T把点(2,3)变成点(3,4)(1)求a，b的值；(2)若矩阵A的逆矩阵为B，求B2.解：(1)由题意，得，即解得(2)由(1)，得A.由矩阵的逆矩阵公式得B.所以B2.2设二阶矩阵A，B满足A1，(BA)1，求B1.解：设B1，因为(BA)1A1B1，所以，即解得所以B1.临门一脚1矩阵的行列式adbc，如果adbc0，则矩阵存在逆矩阵2矩阵的逆矩阵为.3逆矩阵求解可以用定义法求解也可以用公式求解，用公式求解时要写出原始公式4若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1B1A1，乘法顺序不能颠倒题型三特征值和特征向量1已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值解：(1)设M，由题意，M8，M，解得即M.(2)令特征多项式f()(6)(4)80，解得18，22.矩阵M的另一个特征值为2.2已知矩阵A，A的两个特征值为12，23.(1)求a，b的值；(2)求属于2的一个特征向量.解：(1)令f()(a)(4)b2(a4)4ab0，于是12a4，124ab.解得a1，b2.(2)设，则A3，故解得xy.所以属于2的一个特征向量为.3已知矩阵M，计算M6.解：矩阵M的特征多项式为f()223.令f()0，解得13，21，对应的一个特征向量分别为1，2.令m1n2，得m4，n3.所以M6M6(4132)4(M61)3(M62)4363(1)6.临门一脚1A是一个二阶矩阵，则f()2(ad)adbc称为A的特征多项式2矩阵M的特征值满足(a)(d)bc0，属于的特征向量满足M.3特征值和特征向量，可以用定义求解也可以用公式求解4Mn的计算流程要熟悉，这也是求特征值和特征向量的应用4
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