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2.3变量的相关性第二章统 计学习目标1.了解变量间的相关关系，会画散点图.2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系.3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点一变量间的相关关系粮食产量与施肥量间的相关关系是正相关还是负相关？在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高，所以是正相关.答案思考2怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系.答案1.相关关系的定义变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有 的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为 和 .2.散点图将样本中n个数据点(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图.梳理梳理随机性函数关系相关关系3.正相关与负相关(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为 .(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为 .正相关负相关思考知识点二两个变量的线性相关任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？用最小二乘法求回归直线方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归直线方程是无意义的.答案梳理梳理回归直线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 附近，就称这两个变量之间具有 关系，这条直线叫做回归直线.(2)回归直线方程：对应的方程叫做回归直线方程.一条直线线性相关回归直线斜率截距题型探究命题角度命题角度1判断两个变量的相关性判断两个变量的相关性例例1为了研究质量对弹簧长度的影响，对6根相同的弹簧进行测量，所得数据如下：解答类型一相关关系的判断与应用质量(g)51015202530弹簧长度(cm)7.258.128.959.9010.9011.80判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关.在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以作出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；(2)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间就有线性相关关系；(3)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规律，那么这两个变量之间不具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的.反思与感悟跟跟踪踪训训练练1下表是某地的年降雨量与年平均气温的统计表，判断两者是否具有相关关系，求回归直线方程有意义吗？解答年平均气温()12.5112.7412.6413.6913.3312.8413.05年降雨量(mm)748542507813574701432 命题角度命题角度2函数关系与相关关系的区别与联系函数关系与相关关系的区别与联系例例2下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系A.正方体的棱长和体积B.圆半径和圆的面积C.正n边形的边数和内角度数之和D.人的年龄和身高答案解析A、B、C都是函数关系，对于A，Va3；对于B，Sr2；对于C，g(n)(n2).而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高，选D相关关系与函数关系的区别与联系如表所示.反思与感悟函数关系相关关系相同点两者均是指两个变量之间的关系不同点是一种确定性关系是一种非确定性关系是两个变量之间的关系一个为变量，另一个为随机变量；两个都是随机变量是一种因果关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系是一种理想的关系模型是更为一般的情况 跟踪训练跟踪训练2下列图形中两个变量具有相关关系的是答案解析A是一种函数关系；B也是一种函数关系；C中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关；D中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的.例例3一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：类型二回归直线的求解与应用转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985散点图如图所示.(1)画出散点图；解答近似直线如图所示.(2)如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；解答由y10得解得x14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内.(3)在实际生产中，若它们的近似方程为允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？解答引申探究引申探究1.本例(3)中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？解答2.本例(3)中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器的转速.解答求回归直线方程的一般步骤(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i1,2，n)(数据一般由题目给出).(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系.反思与感悟10答案解析(2)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地区若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年教育支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年教育支出y具有相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程为 0.15x0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加_万元.0.15回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加0.15万元.答案解析当堂训练1.设有一个回归直线方程为 21.5x，则变量x增加1个单位时，y平均A.增加1.5个单位 B.增加2个单位C.减少1.5个单位 D.减少2个单位2233445511答案2.由三点(3,10)，(7,20)，(11,24)确定的回归直线方程为答案解析223344551122334455113.某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合 0.8x0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是_亿元.12.1答案解析根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是_万元，家庭年平均收入与年平均支出有_线性相关关系.22334455114.某市居民20122016年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出y(单位：万元)的统计资料如表所示：答案解析 年份20122013201420152016收入x11.512.11313.315支出y6.88.89.8101213正5.某5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如表所示：2233445511学生ABCDE总成绩x428383421364362数学成绩y7865716461(1)画出散点图；散点图如图所示：2233445511解答(2)求y对x的回归直线方程(结果保留到小数点后3位数字)；由题中数据计算可得2233445511解答(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩.由(2)得当总成绩为450分时，12.0860.20445080，即这个学生的数学成绩大约为80分.2233445511解答规律与方法1.判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图.根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关.2.求回归直线方程时应注意的问题(1)知道x与y成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归直线方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的.本课结束
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