数据模型与决策课程案例分析

数据模型与决策课程案例一 生产战略一、问题提出好身体公司（BFI）在长岛自由港工厂生产健身练习器械。最近他们设计了两种针对家庭 锻炼所广泛使用的举重机。两种机器都是用了 BFI专利技术，这种技术提供给使用者除了机 器本身运动功能之外的一些其他额外的运动功能。直到现在，这种功能也只有在很昂贵的、 应用于理疗的举重机上才可以获得。在最近的交易展销会上，举重机的现场演示引起了交易者浓厚的兴趣，实际上,BFI现 在收到的订单数量已经超过了这个时期BFI的生产能力。管理部门决定开始这两种器械的 生产.这两种器械分别被BFI公司命名为BodyPluslOO和BodyPlus200，由不同的原材料生 产而成。BodyPluslOO由一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置组成。生产一个框架需 要4小时机器制造和焊接时间， 2小时喷涂和完工时间；每个压力装置需要2小时机器制造 和焊接时间， l 小时喷涂和完工时间，每个提升一下拉装置需要2小时机器制造和焊接时间， 2小时喷涂和完工时间.另外，每个BodyPluslOO还需要2小时用来组装、测试和包装.每个框 架的原材料成本是45O美元，每个压力装置的成本是3OO美元，每个提升一下拉装置是25O 美元。包装成本大约是每单位5O美元。BodyPlus2OO 包括一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置和一个腿部拉伸装置。 生产一个框架需要5小时机器制造和焊接时间， 4小时喷涂和完工时间；生产一个压力装置 需要 3 小时机器制造和焊接时间， 2 小时喷涂和完工时间;生产每个提升一下拉装置需要 2 小时机器制造和焊接时间,2小时喷涂和完工时间，另外，每个BodyPlus2OO还需要2小时用 来组装、测试和包装。每个框架的原材料成本是65O美元，每个压力装置的成本是4OO美元， 每个提升一下拉装置是25O美元,每个腿部拉伸装置的成本是2OO美元。包装成本大约是每 单位 75 美元.在下一个生产周期，管理部门估计有6OO小时机器和焊接时间，45O小时喷涂和完工时 间，14O小时组装、测试和包装时间是可用的。现在的每小时劳动力成本是机器制造和焊接 时间2O美元，喷涂和完工时间15美元，组装、测试和包装12美元。虽然对于BFI来说由 于新机器的独特功能可能还会获得一些价格的灵活性，但 BodyPluslOO 的市场建议价格是 24OO美元,BodyPlus2OO是35OO美元.授权的BFI销售商可以以市场价格的7O%来购买产品。BFI的总裁相信BodyPlus2OO的独特功能可以帮助BFI成为高端锻炼器械的领导者。 所以，他认为 BodyPlus2OO 的数量至少会占到整个生产数量的 25。管理报告分析BFI的生产问题，为公司的总裁准备一份报告，告诉他们你的发现和建议报告包括 以下几个方面（不仅于此）:（1）BodyPluslOO和BodyPlus2OO的建议生产数量是多少？（2）BodyPlus2OO 的数量占生产数量至少 25%的要求会怎样影响利润？（3）为了增加利润应扩展哪方面的努力？把你的线性规划模型和图形解作为你报告的附录部分。二、问题分析与模型建立根据案例对好身体公司（BFI）两种器械产品BodyPlus1OO和BodyPlus2OO的描述，用表 格形式列举出该两种产品的各项基本信息，表格如下：零件产品原材料成本（美兀）BodyPlus100BodyPlus200BodyPlus100BodyPlus200框架4254450650压力装置2 132300400提升/下拉2 22 2250250组装22腿拉200包装5075总共用时（h）8510 8总成本（美兀）10501575机器/焊接（h）60020喷涂/完工（h）450劳动成本（美元/h）15组、测、包（h）14012售价（美元）24003500表 1.1仃）BodyPluslOO和BodyPlus200的建议生产数量是多少？设BodyPluslOO的建议生产数量是xl, BodyPlus200的建议生产数量是x2,总利润是乙 则目标函数：maxz=2400x1+3500x220（8x1+10x2）15（5x1+8x2）12 （2x1+2x2） =2l4lxl+3l56x2约束条件：（8x1+10x2 600彳 5x1+8x2 4502x1+2x2 140、x1,x2 n 0（2）BodyPlus200 的数量占生产数量至少 25% 的要求会怎样影响利润？设BodyPlus100的建议生产数量是x1, BodyPlus200的建议生产数量是x2,总利润是Z, 则 目标函数： maxz=2400x1+3500x220（8x1+10x2）15（5x1+8x2）12（2x1+2x2）=2141x1+3156x2约束条件：（8x1+10x2 6005x1+8x2 4502x1+2x2 140x1 -3x20x1,x2 n 0三、模型求解与结果解释根据已经建立的模型，运用图解法对该问题进行求解。建立直角坐标系，用横轴代表 x1,纵轴代表x2。仃）BodyPlus100和BodyPlus200的建议生产数量是多少？根据问题（1）约束条件：作 8x1+10x2 = 600 直线，令 x1=0,则 x2=60；令 x2=0，则 x1=75同理，作 5x1+8x2=450,2x1+2x2=140 两直线得图形如下：图1。1由图可知，阴影部分即为可行域范围，且当 x1=150/7, y=300/7 时，z 最大，此时 maxz=181135。7可得最优解为：x1=150/7,y=300/7综上所述，建议生产BodyPluslOO产品21台，生产BodyPlus200产品43台。该生产建议下各项约束条件情况如下：约束条件耗费时间可用时间机器/焊接(h)598600喷涂/完工(h)449450组、测、包(h)128140表1.2(2) BodyPlus200的数量占牛产数量至少25%的要求会怎样影响利润？根据问题(2)的约束条件，即在问题(1)的基础上增加x13x2 0这一项约束条件. 因此，我们在图1。1的基础上增加x13x2 =0直线，令 x1=0,则 x2=0；令 x1=90,则 x2=30得到图形如下：由图可知，阴影部分即为可行域范围。对比图1.1和图1.2可行域范围明显减小。 当由此约束条件的情况下，当x1=150/7, y=300/7时，z最大，此时maxz=181135。7 可得最优解为：x1=150/7, y=300/7此时的建议生产量仍为BodyPluslOO产品21台，生产BodyPlus200产品42台。 综上所述，有BodyPlus200的产量比例约束时最大利润无影响。(3) 为了增加利润应扩展哪方面的努力？根据表1。2,在最优解情况下各项约束条件情况来看，可以得出如下结论：1. 机器/焊接所用时间仅比可用时间少2小时；2. 喷涂/完工所用时间仅比可用时间少 1 小时;3. 组、测、包所用时间比可用时间少12个小时，在其他条件允许的情况下可以再组装 6 台器械.针对上述结论，为增加利润提出如下建议:1. 增加机器制造和焊接时间的可用时间；2. 增加喷涂和完工的可用时间。四、参考文献1 侯文华等译，数据、模型与决策：管理科学篇北京：机械工业出版社， 2O12数据模型与决策课程案例二 投资战略一、问题提出Jo D。威廉姆斯公司是一个投资质询公司，为大量的客户管理高达1.2亿美元的资金。 公司运用一个很有价值的模型，为每个客户安排投资，分别投资在股票增长基金、收入基金 和货币市场基金。为了保证客户投资的多元化，公司对这三种投资的数额加以限制。一般来 说，投资在股票方面的资金占总投资 2040%之间，投资在收入基金上的资金应确保在 20%-50%之间，货币市场方面的投资至少应该占30%。此外，公司还尝试着引入了风险承受能力指数，以迎合不同投资者的需求.比如，威廉 姆斯的一位新客户希望投资800000 美元。对其风险承受能力进行评估得出其风险指数为0 。 05.公司的风险分析人员计算出，股票市场的风险指数是0.10，收入基金的风险指数是0.07， 货币市场的风险指数是0 。 01。整个投资的风险指数是各项投资所占总投资的百分率与其风 险指数乘积的代数和。此外公司预测，股票基金的年收益率是18%，收入基金的收益是12。 5%，货币市场基 金的收益是 7.5%。现在，基于以上信息，公司应该如何安排这位客户的投资呢？建立数字 模型,求出使总收益最大的解，并根据模型写出管理报告。管理报告（1）如何将800 000美元投资于这3 种基金。按照你的计划,投资的年收益是多少?（2）假设客户的风险承受指数提高到0.055,那么在投资计划更改后,收益将增加多少?（3）假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05,而股票成长基金的年收益率从18%下 降到 14，那新的最佳投资方案是什么？（4）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资于 股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金,那么新的最佳方案是什么？（5）当遇到预期收益变化时,你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作出 修改,那么这个模型的适用范围是什么?二、问题分析与模型建立根据案例对J.D。威廉姆斯公司三种基金股票增长基金、收入基金和货币市场基金的描述,用表格形式列举出三种基金的各项基本信息,表格如下:基金类型年收益率风险指数投资限额总投资额总风险指数股票基金18%0o 1020%40%8000000.05收入基金12.5%0o 0720 %-50%货币基金7.5%0o 01230%（1）如何将800 000美元投资于这3种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？ 设三种投资基金的数量分配分别为xl, x2, x3（单位为百万），投资的年收益为z,则目 标函数maxz=0o 18x1+0o 125x2+0。075x3约束条件：C x1+x2+x3W0。80.16Wx1W0.32 0o 16Wx2W0。4x3 20.240。125x1+0。0875x2+0.0125x3=0。05(2) 假设客户的风险承受指数提高到0.055,那么在投资计划更改后，收益将增加多少？ 设三种投资基金的数量分配分别为xl, x2,x3 (单位为百万)，投资的年收益为z,则目 标函数maxz=0。18x1+0.125x2+0。075x3 约束条件：C x1+x2+x3W0。80.16Wx1W0.32斗0。16Wx2W0。4x3 20.24 0。 125x1+0。 0875x2+0。 0125x3=0。 055(3) 假设客户的风险承受指数不变，仍然是0。05,而股票成长基金的年收益率从18% 下降到14%，那新的最佳投资方案是什么？设三种投资基金的数量分配分别为x1, x2,x3 (单位为百万)，投资的年收益为z,则目 标函数maxz=0.14x1+0。125x2+0。075x3约束条件：C x1+x2+x3W0。80。16Wx1W0.32斗 0.16Wx2W0。4x320。24 0.125x1+0.0875x2+0。0125x3=0。05(4) 假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资于 股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？设三种投资基金的数量分配分别为x1, x2, x3 (单位为百万)，投资的年收益为z,则 目标函数 maxz=0。18x1+0.125x2+0.075x3约束条件：C x1+x2+x3W0。80.16Wx1W0.32J 0.16Wx2W0。4 | x320。24x1 Wx2 I 0.125x1+0。 0875x2+0。 0125x3=0。 05(5) 当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作出 修改，那么这个模型的适用范围是什么？根据该问题的描述，可以理解为当预期收益率在一定范围内变化时，最佳投资方案是否 改变，即对目标函数的系数进行敏感度分析，确定当最优解不变时的预期收益率的范围.因此可基于问题(1)的模型，运用 LINGO 软件对其作敏感度分析，求解出该模型适用 的范围.设三种投资基金的数量分配分别为x1, x2, x3 (单位为百万)，投资的年收益为z,则目 标函数maxz=0。18x1+0。125x2+0。075x3约束条件:C xl+x2+x3W0。80。16Wx1W0。320.16Wx2W0.4x320。24I 0.125x1+0.0875x2+0。0125x3=0。05三、模型求解与结果解释(1)如何将800 000美元投资于这3种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少? 根据问题(1)的约束条件，利用LINGO软件对(1)的模型求解可得：dJaoa L Dp匚Sriial solur icin 0*11110.lira va丄ijp：Inta as ah 3 1 3 tiaa :TetehI ：1!口 JnhzuCi .24133 33E-口:LD.DQDOQD2Rode-1 ClassiLFTbcnlItBD3tlDnliiieiu v-uzi&blesLaIh匚E亡 c v-ati fib Leis.0nrtail uunahxHin.t :aNcrn L im hx oarutx 3 nha:aTtrEBil 130HEETCS5；13ntrnllne-ni nonEerDs;0/-uiableVdLlUA斑口4亡dL CoacS3D-fluOCODQ.lQuQDD-fluOCODS3 .3D11 111D-fluOCODSlnck or 3jrjjlusPUffll PtlGE1l-nonoaoV根据软件运行结果艮可知，该条件下三种基金最近分配方案为：基金类型股票基金收入基金货币基金投资额(万美兀)0.2490o 160.391即当 x1=0。249, x2=0o 16込3=0。391 时，z 最大，满 maxz=09413（万美元）(2) 假设客户的风险承受指数提高到0.055,那么在投资计划更改后，收益将增加多少？ 根据问题(2)的约束条件，利用LINGO软件对(2)的模型求解可得： Lindo Iodel - Lingo 1. L8K14-O . 125W2+0.075m3stK14-JC2 4-JC3=0.16Zl=0.16Z2=02呛Q 12 5x1十口口S75k2+口口125z3 = 0 口55endSd1uoh. Hepoirt Li-ng：fi 1G-lob-al 口jjtjjnaj. salutEnuocLCtijecclve丄uesinfeas ib i 丄 _it xes zTocal aolver IceraDloiistOrgSBODOOE-OlD-UOOOauaHodEl C 10.55 2LFTotal var 1 ata 1 es s3工 vox . Ab les 2JInteger var lab 1 es :Total coils匚工aiii已勻 iaNonlinear conaccaljaxsilToc&l norLEeioa:14H口口linear 口口门疋巴匚口三：Var iafcileValueReduced Coat5110.2939393OuOOOuDOKZleonnnnOrOnononX39466667OuOOOuDORdv丄BLck 口匚 uxpluaDufll Price1D.98B 口口 CiE-CH1-口口口口根据软件运行结果匡可知，该条件下二种基金最近分配方案为：基金类型股票基金收入基金货币基金投资额(万美兀)0.2930.160o 347即当 x1=0。293, x2=0o 16, x3=0347 时，z 最大，满 maxz=0.988 （万美元）(3) 假设客户的风险承受指数不变，仍然是0。05,而股票成长基金的年收益率从18% 下降到14%，那新的最佳投资方案是什么？根据问题(3)的约束条件，利用LINGO软件对(3)的模型求解可得：Lingo 1珀. L4k1+0.12Ex2+O . 07-53 stX14-x2 4-jc3=0.16Zl=0 16X2=0E吐0 . 12 5x1 十口 .廿 FExE 十.12于戈：3 = 121.05|end? Solution IBLcpdiX - LingoiGL口tal apilJTial 曰口丄uclan 工口 utudLcTotalaaLwc 1 T；er sc Lciiis s0 DOOiJLiaModelLPTot-slvox icb 丄已n :Infeaa jiiIxt;iNotillneaL vsl iafcilea :Inte-gef variatiies :To cal cansrcsirLca :IfotiiuLeaTr onstraitits:Total 也口nze-tos:NonLiJiesx coijzeza:VariableKedmced f 口吐K：1,LbOODnn0,000000Z0.2933333D.QOOOODX30,：3666i570,000000Edw口忙 Sux p 1Dual Price1O,S5O6 6i57E-Ol1,000000根据软件运行结果匡可知，该条件下二种基金最近分配方案为：基金类型股票基金收入基金货币基金投资额(万美兀)0.160.2930。347即当 x1=016,x2=0。293, x3=0347 时，z 最大，满 maxz=0。8507 （万美元）(4) 假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资 于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？根据问题(4)的约束条件，利用LINGO软件对(4)的模型求解可得：G丄口bal 口p t ina1 soluti口n inund. Cbie匚biw已 value;Infeaslbl Holes sTotal aolvier iterations:K口Uwl.;Total varieJtilea eNanlltiear variaiies!；Integer vnrlahles:Total cciiisitrei：iJir.ssHom in亡m cDJiar ramcs sTotal noKze 匚：;o.saoebdE-oi0,0000003LP316ZNonlliieax House losax i=ib J已Va 1 ueRe du匚匕d CostEl0.2133333DuDODODO駝0.21333330,000000K30.3733333,00000PjOWSl-si匚k oi SurplusDiqal Pc ice1a.gsuefieTE-oi1DODODO根据软件运行结果艮可知，该条件卜二种基金M最近分配方案为：基金类型股票基金收入基金货币基金投资额（万美兀）0.2130o 2130.373即当 x1=0。213, x2=0o 213, x3=0。373 时，z 最大，满 maxz=0。9307 （万美元）（5）当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作出 修改，那么这个模型的适用范围是什么？根据问题（5）的约束条件，利用LINGO软件对该模型进行RANGE操作可得：nx石FLcpazt Ling.a II-Tn/xRanges La which, che Jaasla Is unchanaedsObjective Coeficient PcingeB；CurrHnt：占 1 loKib leA丄丄口HableV-sriableCaef f iui 上口上Inccessee-cre-sseKILL1000000II1FENIT?IJ .SDuOLCOE-aiK2LL12-50000o.aoDDaaoE-oiIWFIMTTK30.75000001-010 匸 1ij-eDuOLCOE-ai恥口hthnndSj-de flRQge:Current111 口和曰上i J.亡血丄丄口Mrb丄丘ACWIncceueLccre-ase2OuSOOuDDOD-auDDQOUQ 13 60OJLI3.lGOODDOLbSSBeaayE-oiINFIilLTY4Uu320uDD0INFDJIT?0.7111LL1E-0L5.lGOODDaD-13339930.1D666676OuOOuDDOINFINITY0.24000JLI7.240ODD0LM51111LINFIJJLTYBLkSOOOuDaf-DlLbaouoaouE-02O.LDOOOJLiE-aL根据软件运行结果可知，该条件下三种基金的年收益范围为：基金类型当年年收益率允许增加量允许减少量股票基金0.18+ S0。03收入基金0。1250。02-S货币基金0.750.1050.06通过以上适用范围可得该模型的适用范围为:基金类型股票基金收入基金货币基金投资额（万美兀）0 15-+s-s-0.1450。0150.18注：各系数的允许范围需要其他系数不变，即股票基金的允许范围需要收入基金和货币基金的收益分别为0。125和0.75。四、参考文献1 侯文华等译，数据、模型与决策:管理科学篇.北京：机械工业出版社，20122 谢金星，薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件.北京：清华大学出版社, 2005