圆锥曲线定义、方程与性质

第 11讲 圆锥曲线定义、 方程与性质 第 11讲 圆锥曲线定义、方程与性质 主干知识整合 第 11讲 主干知识整合 1 圆锥曲线的统一性 ( 1 ) 从方程的形式看 ， 在直角坐标系中 ， 椭圆 、 双曲 线和抛物线这三种曲线的方程都是二元二次的 ， 所以也叫 二次曲线 ( 2 ) 从点的集合 ( 或轨迹 ) 的观点看 ， 它们都是与定点和 定直线距离的比是常数 e 的点的集合 ( 或轨迹 ) ， 这个定点 是它们的焦点 ， 定直线是它们的准线 ， 只是由于离心率 e 取值范围的不同 ， 而分为椭圆 、 双曲线和抛物线三种曲线 第 11讲 主干知识整合 ( 3 ) 这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得到 的截线 ， 因而才称之为圆锥曲线 ( 4 ) 圆锥曲线第二定义把 “ 曲线上的点 M ” 、 “ 焦点 F ” 、 “ 相应准线 l” 和 “ 离心率 e ” 四者巧 妙地联系起来 ， 所以在 圆锥曲线的问题中 ， 凡与准 线 、 离心率 、 焦点有关的问题应充分利用第二定义 第 11讲 主干知识整合 2 焦半径 圆锥曲线上一点与其焦点的连线段称为这一点的焦半 径 ， 下面是用的较多的焦半径公式 ： ( 1 ) 对于椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a b 0 ) 而言 ， | PF 1 | a ex 0 ， | PF 2 | a ex 0 . ( 2 ) 对于双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a 0 ， b 0 ) 而言 ， 若点 P 在右 半支上 ， 则 | PF 1 | a ex 0 ， | PF 2 | ex 0 a ； 若点 P 在左半支上 ， 则 | PF 1 | ( ex 0 a ) ， | PF 2 | ( ex 0 a ) ( 3 ) 对于抛物线 y 2 2 px ( p 0 ) 而言 ， | PF | x 0 p 2 . 第 11讲 主干知识整合 以上各式中 ， P ( x 0 ， y 0 ) 是曲线上的一点 ， F 1 、 F 2 分别是椭圆 、 双曲线的左 、 右焦点 ， F 是抛物线的焦 点 ， 在这里特别强调的是 ， 由于曲线方程的不同 ， 焦 半径公式也各不相同 第 11讲 主干知识整合 3 几个常用结论 ( 1 ) 椭圆的焦点三角形 ： 椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F 1 、 F 2 组成的三角形称为椭圆的焦点三角形 ， 解决与椭圆焦点三角形 有关的问题时 ， 应注意椭圆的定义 、 正弦和余弦定理的运用 ( 2 ) 关于抛物 线焦点弦的几个结论 ： 设 AB 为过抛物线 y 2 2 px ( p 0 ) 焦点的弦 ， A ( x 1 ， y 1 ) 、 B ( x 2 ， y 2 ) ， 直线 AB 的倾斜角为 ， 则 x 1 x 2 p 2 4 ， y 1 y 2 p 2 ； | AB | 2 p s i n 2 ； 以 AB 为直径的圆 与准线相切 ； 焦点 F 对 A 、 B 在准线上射影的张角为 9 0 ； 1 | FA | 1 | FB | 2 p . 要点热点探究 第 11讲 要点热点探究 例 1 已知两点 F 1 ( 2 , 0 ) ， F 2 ( 2 , 0 ) ， 曲线 C 上的动点 M 满足 | MF 1 | | MF 2 | 2| F 1 F 2 |， 直线 MF 2 与曲线 C 交于另一点 P . ( 1 ) 求曲线 C 的方程及离心率 ； ( 2 ) 设 N ( 4 , 0 ) ， 若 S M N F 2 S P N F 2 3 2 ， 求直线 MN 的 方程 探究点一 椭圆的标准方程与几何性质 第 11讲 要点热点探究 【解答】 ( 1 ) 因为 | F 1 F 2 | 4 ， | MF 1 | | MF 2 | 2| F 1 F 2 | 8 4 ， 所以曲线 C 是以 F 1 ， F 2 为焦点，长轴长为 8 的椭圆 曲线 C 的方程为 x 2 16 y 2 12 1 ，离心率为 1 2 . 第 11讲 要点热点探究 ( 2 ) 显然直线 MN 不垂直于 x 轴，也不与 x 轴重合或平行 设 M ( x M ， y M ) ， P ( x P ， y P ) ，直线 MN 的方程为 y k ( x 4) ，其中 k 0. 由 x 2 16 y 2 12 1 y k x 4 ，得 (3 4 k 2 ) y 2 24 ky 0. 解得 y 0 或 y 24 k 4 k 2 3 . 依题意 y M 24 k 4 k 2 3 ， x M 1 k y M 4 16 k 2 12 4 k 2 3 . 因为 S M N F 2 S P NF 2 3 2 ， 所以 | MF 2 | | F 2 P | 3 2 ， 则 MF 2 3 2 F 2 P . 第 11讲 要点热点探究 于是 2 x M 3 2 x P 2 ， 0 y M 3 2 y P 0 ， 所以 x P 2 3 2 x M 2 24 k 2 2 4 k 2 3 ， y P 2 3 y M 16 k 4 k 2 3 . 因为点 P 在椭圆上 ， 所以 3 24 k 2 2 4 k 2 3 2 4 16 k 4 k 2 3 2 48. 整理得 48 k 4 8 k 2 21 0 ， 解得 k 2 7 12 或 k 2 3 4 ( 舍去 ) ， 从而 k 21 6 . 所以直线 MN 的方程为 y 21 6 ( x 4 ) 第 11讲 要点热点探究 【点评】 解决椭圆 ， 双曲线 ， 抛物线的问题 ， 要牢牢 抓住其定义和性质 ， 一些看起来很复杂 ， 没有头绪的问题 ， 如果从定义上来考虑 ， 往往会迎刃而解 一定不可脱离基 本概念 ， 过分去追求技巧方法 本题的第二问需要把面积 问题转化为方程问题 ， 用方程思想解决 ， 对运算化简能力 要求较高 第 11讲 要点热点探究 已知线段 CD 2 3 ， CD 的中点为 O ， 动点 A 满足 AC AD 2 a ( a 为正常数 ) ( 1 ) 求动点 A 所在的曲线方程 ； ( 2 ) 若存在点 A ， 使 AC AD ， 试求 a 的取值范围 ； ( 3 ) 若 a 2 ， 动点 B 满足 BC BD 4 ， 且 AO OB ， 试求 A O B 面积的最大值和最小值 第 11讲 要点热点探究 【解答】 ( 1 ) 以 O 为圆心， CD 所在直线为轴建立平面 直角坐标系 若 AC AD 2 a 2 3 ，即 0 a 2 3 ，即 a 3 ，动点 A 所在的曲线方 程为 x 2 a 2 y 2 a 2 3 1. 第 11讲 要点热点探究 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 a 3 ， 要存在点 A ， 使 AC AD ， 则以 O 为 圆心 ， OC 3 为半径的圆与椭圆有公共点 故 3 a 2 3 ， 所以 a 2 6 ， 所以 a 的取值范围是 3 1 ) ，则 S 2 t 2 4 t 2 9 t 9 2 1 9 t 2 9 t 4 . 令 g ( t ) 9 t 2 9 t 4 9 1 t 1 2 2 25 4 ( t 1 ) ， 所以 4 g ( t ) 25 4 ，即 4 5 S 0 ) 的一个焦点 ， A ( a , 0 ) ， B ( 0 ， b ) ， 双曲线的离心率为 2 ， 点 C 在 x 轴上 ， BC BF 0 ， B ， C ， F 三点所确定的圆 M 恰 好与直线 l： x 3 y 3 0 相切 ， 求双曲线的方程 图 5 11 1 探究点二 双曲线的标准方程与几何性质 第 11讲 要点热点探究 【解答】 依题意，设双曲线的半焦距为 c ，由离心 率 e 2 c a ，得 c 2 a ， b 3 a ， B (0 ， 3 a ) ， F ( 2 a, 0) 设 C ( x, 0) ，故 BC ( x ， 3 a ) ， BF ( 2 a ， 3 a ) ，由 BC BF 0 ，得 x 3 a 2 ，所以 C 3 a 2 ， 0 . 易知 FC 是 B ， C ， F 三点所确定的圆 M 的直径，圆 心 M a 4 ， 0 ，直径为 3 a 2 ( 2 a ) 7 a 2 . 第 11讲 要点热点探究 又圆 M 恰好与直线 l ： x 3 y 3 0 相切，则 a 4 3 1 2 3 2 7 a 4 ，即 a 4 3 7 a 2 ，得 a 4 5 . 双曲线的方 程为 x 2 16 25 y 2 48 25 1 ，即 25 x 2 16 25 y 2 48 1. 第 11讲 要点热点探究 【点评】 江苏高考对双曲线要求不高 ， 本题以双曲 线为载体 ， 实质是对直线与圆的知识的考查 第 11讲 要点热点探究 例 3 设抛物线 y 2 4 ax ( a 0 ) 的焦点为 A ， 以点 B ( a 4 , 0 ) 为圆心 ， | BA |为半径 ， 在 x 轴上方画半圆 ， 设抛物线与半圆相 交于不同的两点 M 、 N ， 点 P 是 MN 的中点 ( 1 ) 求 | AM | | AN |的值 ； ( 2 ) 是否存在实数 a ， 恰使 | AM |、 | AP |、 | AN |成等差数列 ？ 若存在 ， 求出 a ； 若不存在 ， 说明理由 探究点三 抛物线的标准方程与几何性质 第 11讲 要点热点探究 【解答】 设 M 、 N 、 P 在抛物线的准线上的射影分别为 M ， N ， P ， 由抛物线定义得 ： | AM | | A N | | M M | | N N | x M x N 2a ， 又圆的方程 为 x (a 4 ) 2 y 2 16 ， 将 y 2 4 a x 代入得 x 2 2 ( 4 a ) x a 2 8a 0 ， x M x N 2 ( 4 a ) ， 所以 | AM | | A N| 8. ( 2 ) 假设存在这样的 a ， 使得 ： 2 | AP | | AM | | A N |， | AM | | A N| | M M | | N N | 2 | P P | ， | AP | | P P |. 由定义知点 P 必在抛物线上 ， 这与点 P 是弦 MN 的中点矛 盾 ， 所以这样的 a 不存在 第 11讲 要点热点探究 【点评】 本题的 “ 几何味 ” 特别浓 ， 这就为本题注入 了活力 圆锥曲线的有关问题常常与平面几何知识相结合 ， 这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视 ， 也只有这样 才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目 第 11讲 规律技巧提炼 1 当椭圆的焦点位置不明确 ， 而无法确定其标准方 程时 ， 可设方程为 x 2 m y 2 n 1 ( m 0 ， n 0 且 m n ) ， 这样 可以避免讨论和繁杂的运算 ， 椭圆与双曲线的标准方程 均可用简单形式 mx 2 ny 2 1 ( mn 0 ) 来表示 ， 所不同的 是 ： 若方程表示椭圆 ， 则要求 m 0 ， n 0 且 m n ； 若方 程表示双曲线 ， 则要求 mn 0 ， 利用待定系数法求标准方 程时 ， 应注意此方法的合理使用 ， 以避免讨论 规律技巧提炼 第 11讲 规律技巧提炼 2 双曲线是具有渐近线的曲线，复习中要注意以下两个问题： ( 1 ) 已知双曲线方程，求它的渐近线方程，将双曲线的标准方 程 x 2 a 2 y 2 b 2 1 中的常数 “ 1 ” 换成 “ 0 ” ，即得 x 2 a 2 y 2 b 2 0 ，然后分解因式 即可得到其渐近线方程 x a y b 0 ；若求中心不在原点，对称轴平行于 坐标轴的双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程 x ， y 分别配方， 然后将常数 “ 1 ” 换成 “0” ，再分解因式，则可得渐近线方程， 例如双 曲线 ( x 2) 2 y 2 3 2 1 的渐近线方程为 ( x 2) 2 y 2 3 2 0 ，即 y 3 ( x 2) ，因此，如果双曲线的方程已经确定，那么它的渐近线方程也就 确定了 第 11讲 规律技巧提炼 ( 2 ) 求已知渐近线的双曲线方程 ： 已知渐近线方程 为 ax by 0 时 ， 可设双曲线方程为 a 2 x 2 b 2 y 2 ( 0 ) ， 再利用其他条件 确定 的值 ， 求法的实质是 待定系数法 ， 如果已知双曲线的渐近线 ， 双曲线方程 却不是唯一确定的 第 11讲 规律技巧提炼 3 在建立抛物线的标准方程的坐标系时 ， 以抛 物线的顶点为坐标原点 ， 对称轴为一条坐标轴建立坐 标系 ， 这样不仅具有对称性 ， 而且曲线过原点 ， 方程 不含常数项 ， 形式更为简单 ， 便于应用 江苏真题剖析 第 11讲 江苏真题剖析 2 0 1 0 江苏卷 在平面直角坐标系 x O y 中 ， 双 曲线 x 2 4 y 2 12 1 上一点 M 的横坐标是 3 ， 则 M 到双 曲线右焦点的距离是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 第 11讲 江苏真题剖析 【答案】 4 【解析】 MF d e 4 2 2 ， d 为点 M 到右准线 x 1 的距离， d 2 ， MF 4. 【点评】 本题是考查双曲线的定义 ， 只要审题清 楚 ， 准确计算不难解决 对于双曲线与抛物线 ， 江苏高 考只是 A 级要求 ， 平时复习要关注对课本习题的变式训 练 ， 不要随意加大试题的难度