拓扑学范围

一、单项选择题（考20题）1、设X = a, b, c,下列集族中，（ ）是乂上的拓扑. T = X,a,a,b,c T = X,a,a,b,a,c T = X,a,b,a,c T = X, ,a,b,c答案：2、已知X = a,b,c,d，下列集族中，（ ）是乂上的拓扑. T = X, ,a,a,b,a,c,d T = X,a,b,c,a,b,d T = X,a,b,a,c,d T = X,a,b答案：3、在实数空间中，有理数集Q的内部Q。是（ ）Q R -QR答案：4、在实数空间中，有理数集Q的边界3（Q）是（ ）Q R -QR答案：5、 在实数空间中，整数集Z的内部Z。是（）ZR-ZR答案：6、 在实数空间中，区间0,1）的边界是（） 0,1 0,1 （0,1）答案：7、在实数空间中，区间0,1）的内部是（ ） 0,1 0,1 （0,1）答案：8、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中正确的是（d (A) = X - A d (A) = Ad (A) = X答案：9、离散空间的任一子集为（开集闭集即开又闭非开非闭答案：10、平庸空间的任一非空真子集为（ 开集闭集即开又闭）非开非闭答案：11、实数空间R中的任一单点集是（开集闭集既开又闭）非开非闭答案：12、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（整数集 a, b）有理数集 无理数集答案：13、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）整数集Z有理数集无理数集整数集Z的补集Z答案：14、设X是一个拓扑空间，A,B u X，且满足d（A） u B u A，则B是（）开集闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案：15、设X = 123, T= X,1,2,1,3,1,2是X 的拓扑，A = 1，则X 的子空间A的拓扑为（ T =仙,1 T =仙,A,1,2 T =仙,X,1,3,1,3 T =仙,X,1答案：16、设 X = 1,2,3, T= 札X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑，A = 2,则 X 的子空间A的拓扑为（） T = g,2,1,2答案：17、实数空间R （）仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对答案：18、 有理数集Q作为实数空间R的子空间（）仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对答案：19、 下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）平庸性连通性离散性第一可数性公理答案：20、 下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）第一可数性公理连通性第二可数性公理平庸性答案：21、 下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）第一可数性公理可分性第二可数性公理离散性答案：22、 设X = 1,2，T = X,0 ,1，则（X,T ）是（）T空间T空间T空间以上都不对0 1 2答案：23、设X是一个拓扑空间，若X的每一个有限子集都是闭集，则乂是（）正则空间正规空间 T空间 T空间14答案：24、设X是一个拓扑空间，若对Vx e X及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V，使得V u U，则乂是（ ）正则空间正规空间 T空间 T空间14答案：25、设X是一个拓扑空间，若对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个开邻域V,使得V u U，则乂是（）正则空间正规空间 T空间 T空间14答案：二、填空题(考10题)1、 设X = a,b，则X的平庸拓扑为 ；答案：T = X,2、 设X = a,b,c，则X的平庸拓扑为 ；答案：T = X,3、 设X = a,b,c，则X的离散拓扑为 ；答案：T = X,0 ,a,b,c,a,b,a,c,b,c4、f : X T Y是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集f (X)的一个同胚，则称映射f是一个 .答案：嵌入5、设X, Y是两个拓扑空间，f : X T Y是一个映射，若X中任何一个开集U的象集f (U)是Y中的一个开集，则称映射f是一个 ；答案：开映射6、设X, Y是两个拓扑空间，f : X T Y是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集f (U)是Y中的一个闭集，则称映射f是一个 ；答案：闭映射7、若拓扑空间X存在两个非空的开子集A, B,使得A n B = 0, A u B = X，则X是一个 ；答案：不连通空间8、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z u X满足Y u Z u Y，则Z也是X的一个 ；答案：连通子集9、如果一个拓扑空间具有性质P，那么它的任何一个子空间也具有性质P，则称性质P为 ；答案：可遗传性质10、设X是一个拓扑空间，如果则称X是一个T空间；0答案：X中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点11、设X是一个拓扑空间，如果则称X是一个T空间；1答案：X中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另 一占八、三判断（考5题）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（）答案：V理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f : X t Y是连续映射，因为对任意A u Y，都有f A） u X ,由于X中的任何一个子集都是开集，从而 f -1（A）是X中的开集，所以f : X t Y是连续的.2、设T ,T是集合X的两个拓扑，则T nT不一定是集合X的拓扑（）1 2 1 2答案：X理由：因为（1 ） T ,T是X的拓扑，故XT1，XT ，从而12八八2X 朕 T n T ；1 2（2）对任意的A,B gTnT?,则有A,B gT且A,B g，由于5，t2是X的拓扑，故AnB gt且AnB gt，从而AnB g t nt ；1 2 1 2由于T, T2是X的拓扑,(3)对任意的 Tu T n T，则 Tu T ,Tu T，1 2 1 2从而UugTUgt, uugTUgT2，故uugTUg tnt综上有t1 n t也是X的拓扑.1 23、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（）答案：V理由：设f : X t Y是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,Q ,易知它们在f下的原象分别是X,Q ,均为X中的开集，从而f : X t Y连续.4、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集A,B ,使得AnB=札AuB=X ()答案：V理由：设X是一个不连通空间，设A,B是X的两个非空的隔离子集使得AuB二X,显然A B =0，并且这时有：B = B n X = (B n A) u (B n B) = B从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了 A,B满足 A n B = 0, A u B = X .5、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间 ( )答案：V理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令B = A，则A, B都是X中的非空闭子集，它们满足A u B = X,易见A, B是隔离子集， 所以拓扑空间X是一个不连通空.6、设拓扑空间X满足第二可数性公理，则X满足第一可数性公理() 答案：V理由：设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基，对于每一个 x e X,易知B = B g B| x g B是点x处的一个邻域基，它是B的一个子族所x以是可数族，从而X在点x处有可数邻域基，故X满 足第一可数性公理.四，证明题(考2题)P55 定理 2.2.1P72 定理 2.4.10P75 定理 2.5.3P119 定理 4.1.4 定理 4.1.5