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2 2.3 3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性-2-知识梳理考点自诊1.函数的奇偶性f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点-3-知识梳理考点自诊2.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:T0;对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做f(x)的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数-4-知识梳理考点自诊1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.-5-知识梳理考点自诊2.周期性的几个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x(其中a0,且为常数):(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;(2)若f(x+a)=(mR且m0),则T=2a;(3)若f(x+a)=f(x-a),则T=2a;一般地,若f(x+a)=f(x-b),则T=|a+b|;(4)若f(x)的图像关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|;(5)若f(x)的图像关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|.3.对称性的四个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;-6-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)函数y=x2在区间(0,+)内是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.()(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称.()(4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-,0)上是减少的,则f(x)在(0,+)上是增加的.()(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期.()-7-知识梳理考点自诊2.(2018陕西宝鸡中学三模,2)函数的图像()A.关于原点对称B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称C3.(2018山东济宁一模,4)已知函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且当x0,2时,f(x)=2x-x2,则f(-5)的值为()A.-3B.-1C.1D.3B解析解析:函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=-f(1),又x0,2时,f(x)=2x-x2,则f(1)=21-12=1,f(-5)=-f(1)=-1,故选B.-8-知识梳理考点自诊4.已知偶函数f(x)在0,+)内是减少的,f(2)=0.若f(x-1)0,则x的取值范围是.5.函数f(x)的定义域为R,且对于xR,恒有f(x+2)=f(x).当x1,3时,f(x)=x2-2x,则f(2019)=.(-1,3)解析解析:作出函数f(x)的大致图像如图所示,因为f(x-1)0,所以-2x-12,解得-1x0时,-x0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);当x0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.-11-考点1考点2考点3考点4思考判断函数的奇偶性要注意什么?解题心得判断函数的奇偶性要注意两点:(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.(2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.-12-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练1判断下列函数的奇偶性:-13-考点1考点2考点3考点4解(1)由题意知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.(2)由可得函数的定义域为(-1,1.因为函数的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.(3)函数的定义域为x|x0,关于原点对称.当x0时,-x0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);当x0,此时f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)为奇函数.-14-考点1考点2考点3考点4函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 例2(1)(2018河北衡水中学九模,4)已知f(x)满足:对任意xR,f(-x)+f(x)=0,且x0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln5)的值为()A.4B.-4C.6D.-6(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)f(a),则实数a的取值范围是()A.(-,-1)(2,+)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)(3)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且,则函数f(x)的解析式为;AC-15-考点1考点2考点3考点4解析解析:(1)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.(2)因为f(x)是奇函数,所以当xf(a),得2-a2a,解得-2a0时,f(x)=x3-8,则x|f(x-2)0=()A.x|-2x2B.x|0 x4C.x|x0或2x4D.x|x2(3)(2018湖南衡阳二模,13)已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x+x,则f(log25)=.CB-18-考点1考点2考点3考点4解析解析:(1)由题意得f(0)=0,得20+0+2017+a=0,a=-2018,所以f(-1)=-f(1)=-3.(3)由函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x+x,可得f(-x)+g(-x)=2-x-x,即f(x)-g(x)=2-x-x,(2)当x=2时,有f(2)=0,又因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=0,作出f(x)的大致图像,由图像可知,当-2x-22,即0 x4时,有f(x-2)0,选B项.-19-考点1考点2考点3考点4函数周期性的应用函数周期性的应用例3(1)(2018全国2,理12)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=.若当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)=.C2.5-20-考点1考点2考点3考点4解析解析:(1)f(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f(x)的周期为4.f(x)为奇函数,f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.函数f(x)的周期为4.f(105.5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).22.53,f(2.5)=2.5.f(105.5)=2.5.-21-考点1考点2考点3考点4解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.-22-考点1考点2考点3考点4A.-1B.0C.1D.2(2)(2018山东济宁一模,8)已知函数f(x)是(-,+)上的奇函数,且f(x)的图像关于x=1对称,当x0,1时,f(x)=2x-1,则f(2017)+f(2018)的值为()A.-2B.-1C.0D.1BD-23-考点1考点2考点3考点4解析解析:(1)函数f(x)是R上的奇函数,f(0)=0,当x0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+1)=f(x)-f(x-1),f(x+1)=-f(x-2),f(x+3)=-f(x),f(x+6)=f(x),f(x)是周期为6的周期函数,f(2019)=f(3366+3)=f(3)=f(2)-f(1)=(f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=0.(2)由题意,f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x)=-f(-x),f(4-x)=-f(2-x)=f(-x),f(x)的周期为4.当x0,1时,f(x)=2x-1,f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=1+0=1.-24-考点1考点2考点3考点4函数性质的综合应用函数性质的综合应用例4(2018河北石家庄期末,8)已知奇函数f(x),当x0时单调递增,且f(1)=0,若f(x-1)0,则x的取值范围为()A.x|0 x2B.x|x2C.x|x3D.x|x1D解析解析:f(x)为奇函数,x0时递增,x0时,也递增,由f(1)=0,得f(-1)=0,解得0 x1,x的取值范围为0 x2,故选A.-25-考点1考点2考点3考点4思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略:(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.-26-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4(1)(2019河北邢台月考四,5)设函数f(x)=e-x-ex-5x,则不等式f(x2)+f(-x-6)0的解集为()A.(-3,2)B.(-,-3)(2,+)C.(-2,3)D.(-,-2)(3,+)(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且f(x)在区间0,2上是增加的,则()A.f(-25)f(11)f(80)B.f(80)f(11)f(-25)C.f(11)f(80)f(-25)D.f(-25)f(80)f(11)DD-27-考点1考点2考点3考点4解析:(1)f(x)是奇函数,f(x2)+f(-x-6)0f(x2)-f(-x-6)=f(x+6).又f(x)是减函数,f(x2)x+6,故不等式f(x2)+f(-x-6)0的解集为(-,-2)(3,+).(2)因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间0,2上是增加的,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间-2,2上是增加的,所以f(-1)f(0)f(1),即f(-25)f(80)f(11).-28-考点1考点2考点3考点41.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价形式:3.函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.-29-考点1考点2考点3考点44.求函数周期的方法-30-考点1考点2考点3考点41.判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域.2.函数f(x)是奇函数,必须满足对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同样偶函数也是如此.
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