2022八年级数学教案

20222022 八年级数学教案八年级数学教案八年级数学教案 1教学目标：1.驾驭三角形内角和定理及其推论;2.弄清三角形按角的分类,会按角的大小对三角形进行分类;3.通过对三角形分类的学习,使学生了解数学分类的基本思想,并会用方程思想去解决一些图形中求角的问题。4.通过三角形内角和定理的证明，提高学生的逻辑思维实力，同时培育学生严谨的科学态5.通过对定理及推论的分析与探讨，发展学生的求同和求异的思维实力，培育学生联系与转化的辩证思想。教学重点：三角形内角和定理及其推论。教学难点：三角形内角和定理的证明教学用具：直尺、微机教学方法：互动式，谈话法第1 1页共5959页教学过程：1、创设情境，自然引入把问题作为教学的动身点，创设问题情境，激发学生学习爱好和求知欲，为发觉新学问创建一个最佳的心理和认知环境。问题 1 三角形三条边的关系我们已经明确了，而且利用上述关系解决了一些几何问题，那么三角形的三个内角有何关系呢?问题 2 你能用几何推理来论证得到的关系吗?对于问题 1 绝大多数学生都能回答出来(小学学过的)，问题2 学生会感到困难，因为这个证明需添加协助线，这是同学们第一次接触的新学问“协助线”。老师可以趁机告知学生这节课将要学习的一个重要内容(板书课题)新课引入的好坏在某种程度上关系到课堂教学的成败，本节课从旧学问切入，特殊是从学问体系考虑引入，“学习了三角形边的关系，自然想到三角形角的关系怎样呢?”使学生感觉本节课学习的内容自然合理。2、设问质疑，探究尝试(1)求证：三角形三个内角的和等于让学生剪一个三角形，并把它的三个内角分别剪下来，再拼成一个平面图形。这里老师设计了电脑动画显示详细情景。然后，围绕问题设计以下几个问题让学生思索，老师进行学法指导。问题 1 视察：三个内角拼成了一个第2 2页共5959页什么角?问题 2 此试验给我们一个什么启示?(把三角形的三个内角之和转化为一个平角)问题3 由图中AB与CD的关系，启发我们画一条什么样的线，作为解决问题的桥梁?其中问题 2 是解决本题的关键，老师可引导学生分析。对于问题 3 学生经过思索会画出此线的。这里老师要重点讲解“协助线”的有关学问。比如：为什么要画这条线?画这条线有什么作用?要让学生知道“协助线”是以后解决几何问题有力的工具。它的作用在于充分利用条件;恰当转化条件;恰当转化结论;充分提示题目中各元素间的一些不明显的关系，达到化难为易解决问题的目的。(2)通过类比“三角形按边分类”，三角形按角怎样分类呢?学生回答后，电脑显示图表。(3)三角形中三个内角之和为定值，那么对三角形的其它角还有哪些特别的关系呢?问题 1 直角三角形中，直角与其它两个锐角有何关系?问题 2 三角形一个外角与它不相邻的两个内角有何关系?问题 3 三角形一个外角与其中的一个不相邻内角有何关系?其中问题 1 学生很简单得出，提出问题 2 之后，先给出三角形外角的定义，然后让学生经过分析探讨，得出结论并书写证明过程。第3 3页共5959页这样支配的目的有三点：第一，理解定理之后的延长推论，培育学生良好的学习习惯。其次，仿照定理的证明书写格式，加强学生书写实力。第三，提高学生敏捷运用所学学问的实力。3、三角形三个内角关系的定理及推论引导学生分析并严格书写解题过程八年级数学教案 2第 11 章平面直角坐标系11。1 平面上点的坐标第 1 课时平面上点的坐标（一）教学目标1。知道有序实数对的概念，相识平面直角坐标系的相关学问，如平面直角坐标系的构成：横轴、纵轴、原点等。2。理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系，能写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标。已知点的坐标，能在平面直角坐标系中描出点。3。能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系来描述点的位置。1。结合现实生活中表示物体位置的例子，理解有序实数对和平面直角坐标系的作用。2。学会用有序实数对和平面直角坐标系中的点来描述物体的第4 4页共5959页位置。通过引入有序实数对、平面直角坐标系让学生体会到现实生活中的问题的解决与数学的发展之间有联系，感受到数学的价值。重点难点相识平面直角坐标系，写出坐标平面内点的坐标，已知坐标能在坐标平面内描出点。理解坐标系中的坐标与坐标轴上的数字之间的关系。教学过程一、创设情境、导入新知师：假如让你描述自己在班级中的位置，你会怎么说？生甲：我在第 3 排第 5 个座位。生乙：我在第 4 行第 7 列。师：很好！我们买的电影票上写着几排几号，是对应某一个座位，也就是这个座位可以用排号和列号两个数字确定下来。二、合作探究，获得新知师：在以上几个问题中，我们依据一个物体在两个相互垂直的方向上的数量来表示这个物体的位置，这两个数量我们可以用一个实数对来表示，但是，第5 5页共5959页假如（5，3）表示 5 排 3 号的话，那么（3，5）表示什么呢？生：3 排 5 号。师：对，它们对应的不是同一个位置，所以要求表示物体位置的这个实数对是有序的。谁来说说我们应当怎样表示一个物体的位置呢？生：用一个有序的实数对来表示。师：对。我们学过实数与数轴上的点是一一对应的，有序实数对是不是也可以和一个点对应起来呢？生：可以。老师在黑板上作图：我们可以在平面内画两条相互垂直、原点重合的数轴。水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向;竖直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向;两轴交点为原点。这样就构成了平面直角坐标系，这个平面叫做坐标平面。师：有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序实数对来表示了。现在请大家自己动手画一个平面直角坐标系。学生操作，老师巡察。老师指正学生易犯的错误。老师边操作边讲解：如图，由点 P 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足 M 在 x 轴上的坐标是 3，垂足 N 在 y 轴上的坐标是 5，我们就说 P 点的横坐标是第6 6页共5959页3，纵坐标是 5，我们把横坐标写在前，纵坐标写在后，（3，5）就是点 P 的坐标。在 x 轴上的点，过这点向 y 轴作垂线，对应的坐标是 0，所以它的纵坐标就是 0;在 y 轴上的点，过这点向 x 轴作垂线，对应的坐标是 0，所以它的横坐标就是 0;原点的横坐标和纵坐标都是 0，即原点的坐标是（0，0）。老师多媒体出示：师：如图，请同学们写出 A、B、C、D 这四点的坐标。生甲：A 点的坐标是（5，4）。生乙：B 点的坐标是（3，2）。生丙：C 点的坐标是（4，0）。生丁：D 点的坐标是（0，6）。师：很好！我们已经知道了怎样写出点的坐标，假如已知一点的坐标为（3，2），怎样在平面直角坐标系中找到这个点呢？老师边操作边讲解：在 x 轴上找出横坐标是 3 的点，过这一点向 x 轴作垂线，横坐标是 3 的点都在这条直线上;在 y 轴上找出纵坐标是2 的点，过这一点向 y 轴作垂线，纵坐标是2 的点都在这条直线上;这两条直线交于一点，这一点既满意横坐标为 3，又满意纵坐标为2，所以这就是坐标为（3，2）的点。下面请同学们在方格纸中建立一个平面直角坐标系，并描出 A（2，4），B（0，5），C（2，3），D（5，6）这几个点。第7 7页共5959页学生动手作图，老师巡察指导。三、深化探究，层层推动师：两个坐标轴把坐标平面划分为四个区域，从 x 轴正半轴起先，按逆时针方向，把这四个区域分别叫做第一象限、其次象限、第三象限和第四象限。留意：坐标轴不属于任何一个象限。在同一象限内的点，它们的横坐标的符号一样吗？纵坐标的符号一样吗？生：都一样。师：对，由作垂线求坐标的过程，我们知道第一象限内的点的横坐标的符号为+，纵坐标的符号也为+。你能说出其他象限内点的坐标的符号吗？生：能。其次象限内的点的坐标的符号为（，+），第三象限内的点的坐标的符号为（，），第四象限内的点的坐标的符号为（+，）。师：很好！我们知道了一点所在的象限，就能知道它的坐标的符号。同样的，我们由点的坐标也能知道它所在的象限。一点的坐标的符号为（，+），你能推断这点是在哪个象限吗？生：能，在其次象限。四、练习新知师：现在我给出几个点，你们推断一下它们分别在哪个象限。老师写出四个点的坐标：A（5，4），B（3，1），C（0，第8 8页共5959页4），D（5，0）。生甲：A 点在第三象限。生乙：B 点在第四象限。生丙：C 点不属于任何一个象限，它在 y 轴上。生丁：D 点不属于任何一个象限，它在 x 轴上。师：很好！现在请大家在方格纸上建立一个平面直角坐标系，在上面描出这些点。学生作图，老师巡察，并予以指导。五、课堂小结师：本节课你学到了哪些新的学问？生：相识了平面直角坐标系，会写出坐标平面内点的坐标，已知坐标能描点，知道了四个象限以及四个象限内点的符号特征。老师补充完善。教学反思物体位置的说法和表述物体的位置等问题，学生在实际生活中常常遇到，但可能没有想到这些问题与数学的联系。老师在这节课上引导学生去想到建立一个平面直角坐标系来表示物体的位置，让学生参加到探究获得新知的活动中，主动学习思索，感受数学的魅力。在教学中我让学生由生活中的实例与坐标的联系感受坐标的好用性，增加了学生学习数学的爱好。第 2 课时平面上点的坐标（二）第9 9页共5959页教学目标进一步学习和应用平面直角坐标系，相识坐标系中的图形。通过探究平面上的点连接成的图形，形成二维平面图形的概念，发展抽象思维实力。培育学生的合作沟通意识和探究精神，体验通过二维坐标来描述图形顶点，从而描述图形的方法。重点难点理解平面上的点连接成的图形，计算围成的图形的面积。不规则图形面积的求法。教学过程一、创设情境，导入新知师：上节课我们学习了平面直角坐标系的概念，也学习了已知点的坐标，怎样在平面直角坐标系中把这个点表示出来。下面请大家在方格纸上建立一个平面直角坐标系，并在上面标出 A（5，1），B（2，1），C（2，3）这三个点。学生作图。第1010页共5959页老师边操作边讲解：二、合作探究，获得新知师：现在我们把这三个点用线段连接起来，看一下得到的是什么图形？生甲：三角形。生乙：直角三角形。师：你能计算出它的面积吗？生：能。老师挑一名学生：你是怎样算的呢？生：AB 的长是 52=3，BC 的长是 1（3）=4，所以三角形 ABC 的面积是34=6。师：很好！老师边操作边讲解：大家再描出四个点：A（1，2），B（2，1），C（2，1），D（3，2），并将它们依次连接起来看看形成的是什么图形？学生完成操作后回答：平行四边形。师：你能计算它的面积吗？生：能。老师挑一名学生：你是怎么计算的呢？生：以 BC 为底，A 到 BC 的垂线段 AE 为高，BC 的长为 4，AE第1111页共5959页的长为 3，平行四边形的面积就是43=12。师：很好！刚才是已知点，我们将它们顺次连接形成图形，下面我们来看这样一个连接成的图形：老师多媒体出示下图：八年级数学教案 3学问目标：理解函数的概念，能精确识别出函数关系中的自变量和函数实力目标：会用改变的量描述事物情感目标：回用运动的观点视察事物，分析事物重点：函数的概念难点：函数的概念教学媒体：多媒体电脑，计算器教学说明：留意区分函数与非函数的关系，学会确定自变量的取值范围教学设计：引入：信息 1：小明在 14 岁生日时，看到他爸爸为他记录的以前各年周岁时体重数值表，你能看出小明各周岁时体重是如何改变的吗?新课：问题：(1)如图是某日的气温改变图。第1212页共5959页 这张图告知我们哪些信息?这张图是怎样来展示这天各时刻的温度和刻画这铁的气温改变规律的?(2)收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和赫兹(KHz)为单位标刻的，下表中是一些对应的数：这表告知我们哪些信息?这张表是怎样刻画波长和频率之间的改变规律的，你能用一个表达式表示出来吗?一般的，在一个改变过程中，假如有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。假如当 x=a 时，y=b，那么b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值。范例：例 1 推断下列变量之间是不是函数关系：(5)长方形的宽肯定时，其长与面积;(6)等腰三角形的底边长与面积;(7)某人的年龄与身高;活动 1：阅读教材 7 页视察 1.后完成教材 8 页探究，利用计算器发觉变量和函数的关系思索：自变量是否可以随意取值例 2 一辆汽车的油箱中现有汽油 50L，假如不再加油，那么油箱中的油量 y(单位：L)随行驶里程 x(单位：km)的增加而削减，第1313页共5959页平均耗油量为 0.1L/km。(1)写出表示 y 与 x 的函数关系式.(2)指出自变量 x 的取值范围.(3)汽车行驶 200km 时，油箱中还有多少汽油?解：(1)y=50-0.1x(2)0500(3)x=200,y=30活动 2：练习教材 9 页练习小结：(1)函数概念(2)自变量，函数值(3)自变量的取值范围确定作业：18 页：2，3，4 题八年级数学教案 4一、学习目标1多项式除以单项式的运算法则及其应用。2多项式除以单项式的运算算理。二、重点难点重点：多项式除以单项式的运算法则及其应用。难点：探究多项式与单项式相除的运算法则的过程。三、合作学习（一）回顾单项式除以单项式法则第1414页共5959页（二）学生动手，探究新课1计算下列各式：（1）（am+bm）m；（2）（a2+ab）a；（3）（4x2y+2xy2）2xy。2提问：说说你是怎样计算的；还有什么发觉吗？（三）总结法则1多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以XXXXXXXXXXX，再把所得的商 XXXXXX2本质：把多项式除以单项式转化成 XXXXXXXXXXXXXX四、精讲精练例：（1）（12a36a2+3a）3a；（2）（21x4y335x3y2+7x2y2）（7x2y）；（3）（x+y）2y（2x+y）8x2x；（4）（6a3b3+8a2b4+10a2b3+2ab2）（2ab2）。随堂练习：教科书练习。五、小结1、单项式的除法法则2、应用单项式除法法则应留意：第1515页共5959页A、系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中留意单项式的系数饱含它前面的符号；B、把同底数幂相除，所得结果作为商的因式，由于目前只探讨整除的状况，所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；C、被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；D、要留意运算依次，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的依次进行；E、多项式除以单项式法则。八年级数学教案 5教学目标：(1)理解通分的意义，理解最简公分母的意义;(2)驾驭分式的通分法则，能娴熟驾驭通分运算。教学重点：分式通分的理解和驾驭。教学难点：分式通分中最简公分母的确定。教学工具：投影仪教学方法：启发式、探讨式教学过程：(一)引入(1)如何计算：第1616页共5959页由此让学生复习分数通分的意义、通分的依据、通分的法则以及最简公分母的概念。(2)如何计算：(3)何计算：引导学生思索，猜想如何求解?(二)新课1、类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.留意：通分保证(1)各分式与原分式相等;(2)各分式分母相等。2.通分的依据：分式的基本性质.3.通分的关键：确定几个分式的最简公分母.通常取各分母的全部因式的最高次幂的积作最简公分母，这样的公分母叫做最简公分母.依据分式通分和最简公分母的定义，将分式通分：最简公分母为：然后依据分式的基本性质，分别对原来的各分式的分子和分母乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为通分如下：xxx通过本例使学生对于分式的通分大致过程和思路有所了解。第1717页共5959页让学生归纳通分的思路过程。例 1 通分：xxx分析：让学生找分式的公分母，可设问“分母的系数各不相同如何解决?”，依据分数的通分找最小公倍数。解：最简公分母是 12xy2，小结：各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.解：最简公分母是 10a2b2c2，由学生归纳最简公分母的思路。分式通分中求最简公分母概括为：(1)取各分母系数的最小公倍数;(2)凡出现的字母为底的幂的因式都要取;(3)相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。八年级数学教案 6一、教材分析1、特点与地位：重点中的重点。本课是教材求两结点之间的最短路径问题是图最常见的应用的之一，在交通运输、通讯网络等方面具有肯定的好用意义。2、重点与难点：结合学生现有抽象思维实力水平，已驾驭基本概念等学情，以及求解最短路径问题的自身特点，确立本课的重点和难点如下：（1）重点：如何将现实问题抽象成求解最短路径问题，以及第1818页共5959页该问题的解决方案。（2）难点：求解最短路径算法的程序实现。3、教学支配：最短路径问题包含两种状况：一种是求从某个源点到其他各结点的最短路径，另一种是求每一对结点之间的最短路径。依据教学大纲支配，重点讲解第一种状况问题的解决。支配一个课时讲授。教材干脆分析算法，考虑实际应用须要，补充旅游景点线路选择的实例，实例中问题解决与算法分析相结合，逐步推动教学过程。二、教学目标分析1、学问目标：驾驭最短路径概念、能够求解最短路径。2、实力目标：（1）通过将旅游景点线路选择问题抽象成求最短路径问题，培育学生的数据抽象实力。（2）通过旅游景点线路选择问题的解决，培育学生的独立思索、分析问题、解决问题的实力。3、素养目标：培育学生讲究工作方法、与他人合作，提高效率。三、教法分析课前充分打算，研读教材，查阅相关资料，制作多媒体课件。教学过程中除了运用传统的“讲授法”以外，主要采纳“案例教学法”，同时辅以多媒体课件，以启发的方式绽开教学。由于本第1919页共5959页节课的内容属于图这一章的难点，考虑学生的接受实力，留意与学生沟通，依据学生的反应限制好教学进度是本节课胜利的关键。四、学法指导1、课前上次课结课时给学生布置任务，使其有针对性的预习。2、课中指导学生探讨任务解决方法，引导学生分析本节课学问点。3、课后给学生布置同类型任务，加强练习。五、教学过程分析（一）课前复习（35 分钟）回顾“路径”的概念，为引出“最短路径”做铺垫。教学方法及留意事项：（1）采纳提问方式，留意刚好小结，提问的目的是帮助学生回忆概念。（2）提示学生“温故而知新”，养成良好的学习习惯。（二）导入新课（35 分钟）以城市马路网为例，基于求两个点间最短距离的实际须要，引出本课教学内容“求最短路径问题”。教学方法及留意事项：（1）先讲实例，再指出概念，既可以吸引学生留意力，激发学习爱好，又可以实现教学内容的自然过渡。（2）此处运用案例教学法，不在于问题的求解过程，只是为了说明问题的存在，所以这里的例子只须要概述，能够说明问题第2020页共5959页即可。（三）讲授新课（2530 分钟）1、求某一结点到其他各结点的最短路径（重点）主要采纳案例教学法，提出旅游景点选择的例子，解决如何选择代价小、景点多的路途。（1）将实际问题抽象成图中求任一结点到其他结点最短路径问题。（35 分钟）教学方法及留意事项：主要采纳讲授法，将实际问题用图形表示出来。语言描述转换的方法（用圆圈加标号表示某一景点，用箭头表示从某景点到其他景点是否存在旅游线路，并且将旅途费用写在箭头的旁边。）一边用语言描述，一边在黑上画图。留意示范画图只进行一部分，让学生独立思索、自主完成余下部分的转化。刚好总结，原型抽象（景点作为图的结点，景点间的线路作为图的边，旅途费用作为边的权值），将案例求解问题抽象成求图中某一结点到其他各结点的最短路径问题。利用多媒体课件，向学生展示一张带权有向图，并略作说明，为后续教学做打算。教学方法及留意事项：启发式教学，如何实现按路径长度递增产生最短路径？结合案例分析求解最短路径过程中（重点）留意此处借助第2121页共5959页黑板，根据算法思想的步骤。同样，也是只示范一部分，余下部分由学生独立思索完成。（四）课堂小结（35 分钟）1、明确本节课重点2、提示学生，这种方式形成的图又可以解决哪类实际问题呢？（五）布置作业1、书面作业：复习本次课内容，打算一道备用习题，敏捷把握时间支配。六、教学特色以旅游路途选择为主线，敏捷采纳案例教学、示范教学、多媒体课件等多种手段协助教学，使枯燥的理论讲解生动起来。在顺当开展教学的同时，体现所讲内容的好用性，提高学生的学习爱好。八年级数学教案 7学问结构：重点与难点分析：本节内容的重点是等腰三角形的判定定理.本定理是证明两条线段相等的重要定理，它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，此定理为证明线段相等供应了又一种方法，这是本节的重点.推论 1、2 供应证明等边三角形的方法，推论 3 是直角三角形的一条重要性质，在直角三角形中找边和角的第2222页共5959页等量关系常常用到此推论.本节内容的难点是性质与判定的区分。等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理，题设与结论正好相反.学生在应用它们的时候，常常混淆，帮助学生相识判定与性质的区分，这是本节的难点.另外本节的文字叙述题也是难点之一，和上节结合让学生逐步驾驭解题的思路方法.由于学问点的增加，题目的困难程度也提高，肯定要学生真正理解定理和推论，才能在解题时从条件得到用哪个定理及如何用.教法建议:本节课教学方法主要是“以学生为主体的探讨探究法”。在数学教学中要避开过多告知学生现成结论。提倡老师激励学生探讨解决问题的方法，引导他们探究数学的内在规律。详细说明如下：(1)参加探究发觉，领会学问形成过程学生学习过互逆命题和互逆定理的概念，首先提出问题：等腰三角形性质定理的逆命题的什么?找一名学生口述完了，接下来问：此命题是否为真命?等同学们证明完了，找一名学生代表发言.最终找一名学生用文字口述定理的内容。这样很自然就得到了等腰三角形的判定定理.这样让学生亲自动手实践，主动参加发觉，满打满算了学生的相识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得熬炼机会，对定理的产生过程，真正做到心照不宣。第2323页共5959页(2)采纳“类比”的学习方法，获得学问。由性质定理的学习，我们得到了几个推论，自然想到：依据等腰三角形的判定定理，我们能得到哪些特别的结论或者说哪些推论呢?这里先让学生发表看法，然后大家共同分析探讨，把一些有价值的、甚至就是教材中的推论板书出来。假如学生提到的不完整，老师可以做适当的点拨引导。(3)总结，形成学问结构为了使学生对本节课有一个完整的相识，便于今后的应用，老师提出如下问题，让学生思索回答：(1)怎样判定一个三角形是等腰三角形?有哪些定理依据?(2)怎样判定一个三角形是等边三角形?一.教学目标：1.使学生驾驭等腰三角形的判定定理及其推论;2.驾驭等腰三角形判定定理的运用;3.通过例题的学习，提高学生的逻辑思维实力及分析问题解决问题的实力;4.通过自主学习的发展体验获得数学学问的感受;5.通过学问的纵横迁移感受数学的辩证特征.二.教学重点：等腰三角形的判定定理三.教学难点：性质与判定的区分四.教学用具：直尺，微机第2424页共5959页五.教学方法：以学生为主体的探讨探究法六.教学过程：1、新课背景学问复习(1)请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论。(2)等腰三角形的性质定理的内容是什么?并检验它的逆命题是否为真命题?启发学生用自己的语言叙述上述结论，老师稍加整理后给出规范叙述：1.等腰三角形的判定定理：假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称“等角对等边”).由学生说出已知、求证，使学生进一步熟识文字转化为数学语言的方法.已知：如图，ABC 中，B=C.求证：AB=AC.老师可引导学生分析：联想证有关线段相等的学问知道，先需构成以 AB、AC 为对应边的全等三角形.因为已知B=C，没有对应相等边，所以需添协助线为两个三角形的公共边，因此协助线应从 A 点引起.再让学第2525页共5959页生回想等腰三角形中常添的协助线，学生可找出作BAC 的平分线 AD 或作 BC 边上的高 AD 等证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC.留意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.(2)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形.(3)判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.2.推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论 2：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形.要让学生自己推证这两条推论.小结：证明三角形是等腰三角形的方法：等腰三角形定义;等腰三角形判定定理.证明三角形是等边三角形的方法：等边三角形定义;推论1;推论 2.3.应用举例例 1.求证：假如三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.分析:让学生画图，写出已知求证，启发学生遇到已知中有外角时，经常考虑应用外角的两个特性它与相邻的内角互补;它第2626页共5959页等于与它不相邻的两个内角的和.要证 AB=AC，可先证明B=C，因为已知1=2，所以可以设法找出B、C 与1、2 的关系.已知：CAE 是ABC 的外角，1=2，ADBC.求证：AB=AC.证明：(略)由学生板演即可.补充例题：(投影展示)1.已知：如图，AB=AD，B=D.求证：CB=CD.分析：解详细问题时要突出边角转换环节，要证 CB=CD，需构造一个以 CB、CD 为腰的等腰三角形，连结 BD，需证CBD=CDB，但 已 知 B=D，由 AB=AD 可 证 ABD=ADB，从 而 证 得CDB=CBD，推出 CB=CD.证明：连结 BD，在 中，(已知)(等边对等角)(已知)即(等教对等边)小结：求线段相等一般在三角形中求解，添加适当的协助线构造三角形，找出边角关系.2.已知，在 中，的平分线与 的外角平分线交于 D，过 D 作第2727页共5959页DE/BC 交 AC 与 F，交 AB 于 E，求证：EF=BE-CF.分析：对于三个线段间关系，尽量转化为等量关系，由于本题有两个角平分线和平行线，可以通过角找边的关系，BE=DE,DF=CF 即可证明结论.证明：DE/BC(已知)，BE=DE,同理 DF=CF.EF=DE-DFEF=BE-CF小结：(1)等腰三角形判定定理及推论.(2)等腰三角形和等边三角形的证法.七.练习教材 P.75 中 1、2、3.八.作业教材 P.83 中 1.1)、2)、3);2、3、4、5.九.板书设计八年级数学教案 8教学目标：1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。第2828页共5959页2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。教学重点：算术平方根的概念。教学难点：依据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。教学过程一、情境导入请同学们观赏本节导图，并回答问题，学校要实行金秋美术作品竞赛，小欧很兴奋，他想裁出一块面积为 25 的正方形画布，画上自己的得意之作参与竞赛，这块正方形画布的边长应取多少?假如这块画布的面积是?这个问题事实上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题?这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容.这节课我们先学习有关算术平方根的概念.二、导入新课：1、提出问题：(书 P68 页的问题)你是怎样算出画框的边长等于 5dm 的呢?(学生思索并沟通解法)这个问题相当于在等式扩=25 中求出正数 x 的值.一般地，假如一个正数 x 的平方等于 a，即=a，那么这个正第2929页共5959页数 x 叫做 a 的算术平方根.a 的算术平方根记为，读作根号 a，a叫做被开方数.规定：0 的算术平方根是 0.也就是，在等式=a(x0)中，规定 x=.2、试一试：你能依据等式：=144 说出 144 的算术平方根是多少吗?并用等式表示出来.3、想一想：下列式子表示什么意思?你能求出它们的值吗?建议：求值时，要根据算术平方根的意义，写出应当满意的关系式，然后根据算术平方根的记法写出对应的值.例如 表示 25的算术平方根。4、例 1 求下列各数的算术平方根：(1)100;(2)1;(3);(4)0.0001三、练习P69 练习 1、2四、探究：(课本第 69 页)怎样用两个面积为 1 的小正方形拼成一个面积为 2 的大正方形?方法 1：课本中的方法，略;方法 2：可还有其他方法，激励学生探究。问题：这个大正方形的边长应当是多少呢?大正方形的边长是，表示 2 的算术平方根，它究竟是个多大第3030页共5959页的数?你能求出它的.值吗?建议学生视察图形感受 的大小.小正方形的对角线的长是多少呢?(用刻度尺测量它与大正方形的边长的大小)它的近似值我们将在下节课探究.五、小结:1、这节课学习了什么呢?2、算术平方根的详细意义是怎么样的?3、怎样求一个正数的算术平方根六、课外作业：P75 习题 13.1 活动第 1、2、3 题八年级数学教案 9教学目标：1、驾驭平均数、中位数、众数的概念，会求一组数据的平均数、中位数、众数。2、在加权平均数中，知道权的差异对平均数的影响，并能用加权平均数说明现实生活中一些简洁的现象。3、了解平均数、中位数、众数的差别，初步体会它们在不怜悯境中的应用。4、能利和计算器求一组数据的算术平均数。教学重点：体会平均数、中位数、众数在详细情境中的意义和应用。第3131页共5959页教学难点：对于平均数、中位数、众数在不怜悯境中的应用。教学方法：归纳教学法。教学过程：一、学问回顾与思索1、平均数、中位数、众数的概念及举例。一般地对于 n 个数 X1，Xn把（X1+X2+Xn）叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数。如某公司要招工，测试内容为数学、语文、外语三门文化课的综合成果，满分都为 100 分，且这三门课分别按 25%、25%、50%的比例计入总成果，这样计算出的成果为数学，语文、外语成果的加权平均数，25%、25%、50%分别是数学、语文、外语三项测试成果的权。中位数就是把一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的数（或最中间两个数据的平均数）叫这组数据的中位数。众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据。如 3，2，3，5，3，4 中 3 是众数。2、平均数、中位数和众数的特征：（1）平均数、中位数、众数都是表示一组数据“平均水平”的平均数。（2）平均数能充分利用数据供应的信息，在生活中较为常用，但它简单受极端数字的影响，且计算较繁。第3232页共5959页（3）中位数的优点是计算简洁，受极端数字影响较小，但不能充分利用全部数字的信息。（4）众数的牢靠性较差，它不受极端数据的影响，求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，相宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”。3、算术平均数和加权平均数有什么区分和联系：算术平均数是加权平均数的一种特别状况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数。4、利用计算器求一组数据的平均数。利用科学计算器求平均数的方法计算平均数。二、例题讲解：例 1，某公司销售部有营销人员 15 人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这 15 人某月的销售量如下：每人销售件数 1800 510 250 210 150 120人数 113532（1）求这 15 位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；（2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为平均数，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由。例 2，某校规定：学生的平常作业、期中练习、期末考试三第3333页共5959页项成果分别按 40%、20%、40%的比例计入学期总评成果，小亮的平常作业、期中练习、期末考试的数学成果依次为 90 分，92 分，85 分，小亮这学期的数学总评成果是多少？三、课堂练习：复习题 A 组四、小结：1、驾驭平均数、中位数与众数的概念及计算。2、理解算术平均数与加权平均数的联系与区分。五、作业：复习题 B 组、C 组（选做）八年级数学教案 10教学目标：学问目标：1、初步驾驭函数概念，能推断两个变量间的关系是否可看作函数。2、依据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值。3、会对一个详细实例进行概括抽象成为数学问题。实力目标：1、通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点相识现实世界的意识和实力。2、经验详细实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维实力。第3434页共5959页情感目标：1、经验函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想。2、让学生主动地从事视察、操作、沟通、归纳等探究活动，形成自己对数学学问的理解和有效的学习模式。教学重点：驾驭函数概念。推断两个变量之间的关系是否可看作函数。能把实际问题抽象概括为函数问题。教学难点：理解函数的概念。能把实际问题抽象概括为函数问题。教学过程设计：一、创设问题情境，导入新课师：同学们，你们看下图上面那个像车轮状的物体是什么？生：摩天轮。师：你们坐过吗？师：当你坐在摩天轮上时，人的高度随时在改变，那么改变是否有规律呢？生：应当有规律。因为人随轮始终做圆周运动。所以人的高度过一段时间就会重复依次，即转动一圈高度就重复一次。第3535页共5959页师：分析有道理。摩天轮上一点的高度h 与旋转时间 t 之间有肯定的关系。请看下图，反映了旋转时间 t（分）与摩天轮上一点的高度 h（米）之间的关系。大家从图上可以看出，每过 6 分钟摩天轮就转一圈。高度 h完整地改变一次。而且从图中大致可以推断给定的时间所对应的高度 h。下面依据图 51 进行填表：t/分0 1 2 3 4 5 h/米t/分 0 1 23 4 5 h/米 3 11 37 4537 11 师：对于给定的时间 t，相应的高度 h 确定吗？生：确定。师：在这个问题中，我们探讨的对象有几个？分别是什么？生：探讨的对象有两个，是时间 t 和高度 h。师：生活中充溢着许很多多改变的量，你了解这些变量之间的关系吗？如：弹簧的长度与所挂物体的质量，路程的距离与所用时间了解这些关系，可以帮助我们更好地相识世界。下面我们就去探讨一些有关变量的问题。二、新课学习做一做（1）瓶子或罐子盒等圆柱形的物体，经常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何改变的？第3636页共5959页填写下表：层数 n 1 2 3 4 5 物体总数 y 1 3 6 1015 师：在这个问题中的变量有几个？分别师什么？生：变量有两个，是层数与圆圈总数。（2）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行 S 米，一般地有阅历公式,其中 V 表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）计算当 fenbie 为 50，60，100 时，相应的滑行距离S 是多少？给定一个 V 值，你能求出相应的 S 值吗？解：略议一议师：在上面我们探讨了三个问题。下面大家探讨一下，在这三个问题中的共同点是什么？不同点又是什么？生：相同点是：这三个问题中都探讨了两个变量。不同点是：在第一个问题中，是以图象的形式表示两个变量之间的关系；其次个问题中是以表格的形式表示两个变量间的关系；第三个问题是以关系式来表示两个变量间的关系的。师：通过对这三个问题的探讨，明确“给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共性。函数的概念第3737页共5959页在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一各变量（自变量）的值，相应地就确定另一个变量（因变量）的值。一般地，在某个改变过程中，有两个变量 x 和 y，假如给定一个 x 值，相应地就确定了一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。三、随堂练习书 P152 页 随堂练习 1、2、3四、本课小结初步驾驭函数的概念，能推断两个变量间的关系是否可看作函数。在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数的值。函数的三种表达式：图象；（2）表格；（3）关系式。五、探究活动为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过 10 吨时，水价为每吨 1.2 元；超过 10 吨时，超过的部分按每吨 1.8 元收费，该市某户居民 5 月份用水 x吨（x10），应交水费y 元，请用方程的学问来求有关x 和 y 的关系式，并推断其中一个变量是否为另一个变量的函数？（答案：Y=1.8x-6 或）第3838页共5959页六、课后作业习题 6.1八年级数学教案 11一、内容和内容解析1.内容三角形中相关元素的概念、按边分类及三角形的三边关系.2.内容解析三角形是一种最基本的几何图形，是相识其他图形的基础，在本章中，学好了三角形的有关概念和性质，为进一步学习多边形的相关内容打好基础，本节主要介绍与三角形的的概念、按边分类和三角形三边关系，使学生对三角形的有关学问有更为深刻的理解.本节课的教学重点：三角形中的相关概念和三角形三边关系.本节课的教学难点：三角形的三边关系.二、目标和目标解析1.教学目标(1)了解三角形中的相关概念，学会用符号语言表示三角形中的对应元素.(2)理解并且敏捷应用三角形三边关系.2.教学目标解析(1)结合详细图形，识三角形的概念及其基本元素.第3939页共5959页(2)会用符号、字母表示三角形中的相关元素，并会按边对三角形进行分类.(3)理解三角形两边之和大于第三边这一性质，并会运用这一性质来解决问题.三、教学问题诊断分析在探究三角形三边关系的过程中，让学生经验视察、探究、推理、沟通等活动过程，培育学生的和推理实力和合作学习的精神.四、教学过程设计1.创设情境，提出问题问题回忆生活中的三角形实例，结合你以前对三角形的了解，请你给三角形下一个定义.师生活动：先让学生分组探讨，然后各小组派代表发言，针对学生下的定义，给出各种图形反例，如下图，指出其不完整性，加深学生对三角形概念的理解.三角形概念的获得，要让学生经验其描述的过程，借此培育学生的语言表述实力，加深学生对三角形概念的理解.2.抽象概括，形成概念动态演示“首尾顺次相接”这个的动画，归纳出三角形的定义.师生活动：第4040页共5959页三角形的定义：由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.让学生体会由抽象到详细的过程，培育学生的语言表述实力.补充说明：要求学生学会三角形、三角形的顶点、边、角的概念以及几何表达方法.师生活动：结合详细图形，老师引导学生分析，让学生学会由文字语言向几何语言的过渡.进一步加深学生对三角形中相关元素的认知，并进一步熟识几何语言在学习中的应用.3.概念辨析，应用巩固如图，不重复，且不遗漏地识别全部三角形，并用符号语言表示出来.1.以 AB 为一边的三角形有哪些?2.以D 为一个内角的三角形有哪些?3.以 E 为一个顶点的三角形有哪些?4.说出 BCD 的三个角.师生活动:引导学生从概念动身进行思索，加深学生对三角形中相关元素概念的理解.4.拓广延长，探究分类我们知道，根据三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，假如要根据边的大小关系对三第4141页共5959页角形进行分类，又应当如何分呢?小组之间同学进行沟通并说说你们的想法.师生活动：通过探讨，学生类比按角的分类方法按边对三角形进行分类，接着引出等腰三角形及等边三角形的概念，引导学生了解等腰三角形与等边三角形的联系，强化学生对三角形按边分类的理解.八年级数学教案 12一、学生起点分析学生已经了勾股定理，并在从前其他内容学习中已经积累了肯定百度一下的逆向思维、逆向探讨的阅历，如：已知两直线平行，有什么样的结论?反之，满意什么条件的两直线是平行?因而，本课时由勾股定理动身逆向思索获得逆命题，学生应当已经具备这样的意识，但详细探讨中可能要用到反证等思路，对现阶段学生而言可能还具有肯定困难，须要老师适时的引导。二、学习任务分析本节课是北师大版数学八年级(上)第一章勾股定理第 2节。教学任务有：探究勾股定理的逆定理并利用该定理依据边长推断一个三角形是否是直角三角形，利用该定理解决一些简洁的实际问题;通过详细的数，增加对勾股第4242页共5959页数的直观体验。为此确定教学目标：学问与技能目标1.理解勾股定理逆定理的详细内容及勾股数的概念;2.能依据所给三角形三边的条件推断三角形是否是直角三角形。过程与方法目标1.经验一般规律的探究过程，发展学生的抽象思维实力;2.经验从试验到验证的过程，发展学生的数学归纳实力。情感与看法目标1.体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的亲密联系，激发学生学数学、用数学的爱好;2.在探究过程中体验胜利的喜悦，树立学习的自信念。教学重点理解勾股定理逆定理的详细内容。三、教法学法1.教学方法：试验猜想归纳论证本节课的教学对象是初二学生,他们的参加意识较强,思维活跃,对通过试验获得数学结论已有肯定的体验但数学思维严谨的同学总是心存疑虑，利用逻辑推理的方式，让同学心服口服显得特别迫切，为了实现本节课的教学目标,我力求从以下三个方面对学生进行引导:第4343页共5959页(1)从创设问题情景入手,通过学问再现,孕育教学过程;(2)从学生活动动身,通过以旧引新,顺势教学过程;(3)利用探究,探讨手段,通过思维深化,领悟教学过程。2.课前打算教具：教材、电脑、多媒体课件。学具：教材、笔记本、课堂练习本、文具。四、教学过程设计本节课设计了七个环节。第一环节：情境引入;其次环节：合作探究;第三环节：小试牛刀;第四环节：登高望远;第五环节：巩固提高;第六环节：沟通小结;第七环节：布置作业。第一环节：情境引入内容：情境：1.直角三角形中，三边长度之间满意什么样的关系?2.假如一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢?意图：通过情境的创设引入新课，激发学生探究热忱。效果：从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础。第4444页共5959页其次环节：合作探究内容 1：探究下面有三组数，分别是一个三角形的三边长，5，12，13;7，24，25;8，15，17;并回答这样两个问题：1.这三组数都满意 吗?2.分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?学生分为 4 人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。意图：通过学生的合作探究，得出若一个三角形的三边长，满意，则这个三角形是直角三角形这一结论;在活动中体验出数学结论的发觉总是要经验视察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由特别一般特别的发展规律。效果：经过学生充分探讨后，汇总各小组试验结果发觉：5，12，13 满意，可以构成直角三角形;7，24，25 满意，可以构成直角三角形;8，15，17 满意，可以构成直角三角形。从上面的分组试验很简单得出如下结论：假如一个三角形的三边长，满意，那么这个三角形是直角三角形内容 2：说理第4545页共5959页提问：有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发觉。你认为这个发觉正确吗?你能给出一个更有劝服力的理由吗?意图：让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必牢靠，须要进一步通过说理等方式使学生确信结论的牢靠性，同时明晰结论：假如一个三角形的三边长，满意，那么这个三角形是直角三角形满意 的三个正整数，称为勾股数。留意事项：为了让学生确认该结论，须要进行说理，有条件的班级，还可利用几何画板动画演示，让同学有一个直观的相识。活动 3：反思总结提问：1.同学们还能找出哪些勾股数呢?2.今日的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢?3.到今日为止,你能用哪些方法推断一个三角形是直角三角形呢?4.通过今日同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发觉要经验哪些过程呢?意图：进一步让学生相识该定理与勾股定理之间的关系第三环节：小试牛刀内容：第4646页共5959页1.下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长?请说明理由。9，12，15;15，36，39;12，35，36;12，18，22解答：2.一个三角形的三边长分别是，则这个三角形的面积是()A 250 B 150 C 200 D 不能确定解答：B3.如图 1：在 中，于，则 是()A 等腰三角形 B 锐角三角形C 直角三角形 D 钝角三角形解答：C4.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，(图 1)得到的三角形是()A 直角三角形 B 锐角三角形C 钝角三角形 D 不能确定解答：A意图：通过练习，加强对勾股定理及勾股定理逆定理相识及应用效果每题都要求学生独立完成(5 分钟)，并指出各题分别用了哪些学问。第四环节：登高望远第4747页共5959页内容：1.一个零件的形态如图 2 所示，按规定这个零件中 都应是直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图 3 所示，这个零件符合要求吗?解答：符合要求，又，2.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行 240 海里时方位仪坏了，凭阅历，船长指挥船左传 90，接着航行 70 海里，则距动身地 250 海里，你能推断船转弯后，是否沿正西方向航行?解答：由题意画出相应的图形AB=240 海里,BC=70 海里,，AC=250 海里;在ABC 中=(250+240)(250-240)=4900=即 ABC 是 Rt答:船转弯后,是沿正西方向航行的。意图：利用勾股定理逆定理解决实际问题，进一步巩固该定理。效果：学生能用自己的语言表达清晰解决问题的过程即可;利用三角形三边数量关系 推断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将 作适当变形()，以便于计算。第五环节：巩固提高内容：第4848页共5959页1.如图 4，在正方形 ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何推断的?与你的同伴沟通。解答：4 个直角三角形，它们分别是ABE、DEF、BCF、BEF2.如图 5，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由?图 4 图 5解答：是直角三角形，不是直角三角形意图：第一题考查学生充分利用所学学问解决问题时，考虑问题要全面，不要漏解;其次题在于考查学生如何利用网格进行计算，从而解决问题。效果：学生在对所学学问有肯定的熟识度后，能够快速做答并能简要说明理由即可。留意防漏解及网格的应用。第六环节：沟通小结内容：师生相互沟通总结出：1.今日所学内容会利用三角形三边数量关系推断一个三角形是直角三角形;满意 的三个正整数，称为勾股数;2.从今日所学内容及所作练习中总结出的阅历与方法：数学是源于生活又服务于生活的;数学结论的发觉总是要经验视第4949页共5959页察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由特别一般特别的发展规律;利用三角形三边数量关系 推断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将 作适当变形，便于计算。意图：激励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史;敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用学问解决问题的胜利阅历，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信念和实力，初步形成主动参加数学活动的意识。效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出利用三角形三边数量关系 推断一个三角形是直角三角形从古至今在实际生活中的广泛应用。第七环节：布置作业课本习题 1.4 第 1，2，4 题。五、教学反思：1.充分敬重教材，以勾股定理的逆向思维模式引入假如一个三角形的三边长，满意，是否能得到这个三角形是直角三角形的问题;充分引用教材中出现的例题和练习。2.注意引导学生主动参加试验活动，从中体验任何一个数学结论的发觉总是要经验视察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵第5050页共5959页循由特别一般特别的发展规律。3.在利用今日所学学问解决实际问题时，引导学生擅长对公式变形，便于简便计算。4.注意对学习新知理解应用偏困难的学生的进一步关注。5.对于勾股定理的逆定理的论证可依据学生的实际状况做适当调整，不做要求。由于本班学生整体水平较高，因而本设计教学容量相对较大，教学中，应留意依据自己班级学生的状况进行适当的删减或调整。附：板书设计能得到直角三角形吗情景引入 小试牛刀：登高望远八年级数学教案 13学习目标1、在同始终角坐标系中，感受图形上点的坐标改变与图形的改变(