内容光波与电磁波麦克斯韦方程组

上节课的内容：光波与电磁波 麦克斯韦方 程组 1. 电磁波谱 2. 麦克斯韦电磁方程 3. 物质方程 5. 光电磁场的能流密度 4. 波动方程 1.2 几种特殊形式的光波 (Several light waves with special forms ) 3. 柱面光波 (Cylindrical light wave) 1. 平面光波 (Plane light wave) 2. 球面光波 (Spherical light wave) 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 上节得到的交变电场 E 和交变磁场 H 所满足的波动 方程，可以表示为如下的一般形式： 1.2 几种特殊形式的光波 这是一个二阶偏微分方程，根据边界条件的不同，解 的具体形式也不同，例如 ， 可以是平面光波、球面光 波、柱面光波或高斯光束 。 2 2 22 1 0 ( 1 8 ) t ff 2 2 22 2 2 22 1 0 ( 13 ) 1 0 E E t H H t 首先说明，光波中包含有 电场矢量和磁场矢量 ，从 波的传播特性来看，它们处于同样的地位，但是从 光与介质的相互作用来看，其作用不同。 在通常应用的情况下，磁场的作用远比电场弱，甚 至不起作用。因此，通常把光波中的电场矢量 E 称 为光矢量 ， 把电场 E 的振动称为光振动，在讨论光 的波动持性时，只考虑电场矢量 E 即可。 1. 平面光波 (Plane light wave) 1）波动方程的平面光波解 2 2 2 2 2 2 2x y z 在直角坐标系中，拉普拉斯算符的表示式为 为简单起见，假设 f 不含 x、 y 变量，则波动方程为 22 2 2 2 1 0 ( 1 9 ) zt ff 1. 平面光波 (Plane light wave) 1）波动方程的平面光波解 11( ) ( ) 0 z t z t f 为了求解波动方程，先将其改写为 令 p z t q z t 可以证明 11 () 2 11 () 2 p z t q z t 1）波动方程的平面光波解 因而，上面的方程变为 2 0pq f 求解该方程， f 可表示为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 0 )p q z t z t 2 1 2f f f f f 对于式中的 f1 (z - t)， (z - t)为常数的点都处于相 同的振动状态。如图所示， t 0 时的波形为 I， t t1时的波形 相对于波形 I 平移了 t1 , 。 1）波动方程的平面光波解 f1(z - t) 表示的是沿 z 方向、以 速度传播的波。 类似地，分析可知 f2(z + t) 表示的是沿 - z 方向、以速度 传播的波。 f t z t = 0 t1 t2 t1 波阵面：将某一时刻振动 相位相同 的点连接起来， 所组成的曲面叫波阵面。 由于此时的波阵面是垂直 于传播方向 z 的平面，所以 fl 和 f2 是平面光波。 1）波动方程的平面光波解 O x y z k 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 0 )p q z t z t 2 1 2f f f f f 在一般情况下，沿任一方向 k、以速度 v 传播的平 面波，如右图所示。 1）波动方程的平面光波解 z O x y k 2）单色平面光波 （ 1） 单色平面光波的三角函数表示 c o s ( ) s i n ( )t k z t k z f A B (20)式是波动方程在 平 面光波情况下的一般解形式， 根据具体条件的不同，可以采取不同 的 具体 函 数表 示。 最 简单、最普遍采用的是三角函数形式 ，即 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 0 )p q z t z t 2 1 2f f f f f （ 1） 单色平面光波的三角函数表示 若只计沿 + z 方向传播的平面光波，其电场表示式为 00 0 c o s ( ) c o s ( ) c o s 2 ( ) ( 2 1 ) z E E t k z E t tz E T ee e 这就是平面简谐光波的三角函数表示式。式中， e 是 E 振动方向上的单位矢量。 c o s ( ) s i n ( )t k z t k z f A B （ 1） 单色平面光波的三角函数表示 所谓单色，即指单频 。一个单色平面光波是一个在 时间上无限延续，空间上无限延伸的光波动，在时 间、空间中均具有周期性。 其时间周期性用周期 （ T） 、频率 （ v） 、圆频率 （ ） 表征，而由 （ 21） 式形式的对称性，其空间周期性 可用 、 1/ 、 k 表征，并分别可以称为 空间周期、 空间频率和空间圆频率 。 （ 1） 单色平面光波的三角函数表示 单色平面光波的时间周期性与空间周期性密切相关 , 并由 v / 相联系。 2 i ( / )( , ) e c o s 2 ( / ) i s in 2 ( / ) x v tx t A A x v t x v t 为便于运算，经常把平面简谐光波的波函数写成复 数形式。 例如，可以将沿 z 方向传播的平面光波写成 采用这种形式，就可以用简单的指数运算代替比较 繁杂的三角函数运算。 i ( )0 ( 22)t k ze EE （ 2）单色平面光波的复数表示 例如，在光学应用中，经常因为要确定光强而求振 幅的平方 E20，对此，只需将复数形式的场乘以它 的共轭复数即可， （ 2）单色平面光波的复数表示 * i ( ) i ( ) 20 0 0t k z t k zE E E e E e E 应强调的是，任意描述真实存在的物理量的参量都应 当是实数，在这里采用复数形式只是 数学上运算方便 的需要 。 由于对 （ 22） 式取实部即为 （ 21） 式所示的函数，所 以，对复数形式的量进行线性运算，只有取实部后才 有物理意义，才能与利用三角函数形式进行同样运算 得到相同的结果。 （ 2）单色平面光波的复数表示 i ( )0 ( 22)t k zE E e 00c o s( ) c o s 2 ( ) ( 2 1 ) tzE e E t k z e E T 此外，由于对复数函数 exp-i(t-kz)与 expi(t-kz) 两 种形式取实部得到相同的函数，所以对于平面简谐 光波，采用 ， exp-i(t-kz)和 expi(t-kz)两种形式完 全等效。 （ 2）单色平面光波的复数表示 exp-i(t-kz) expi(t-kz) （ 2）单色平面光波的复数表示 对于平面简诣光波的复数表示式，可以将时间相位 因子与空间相位因子分开来写： i i i0 ( 23 )k z t te e EeEE 式中 0 ( 24)i k zeEE 称为 复 振幅 。 （ 2）单色平面光波的复数表示 若考虑场强的初相位，复振幅为 0()0 ( 2 5 )i k ze EE 复振幅表示场振动的振幅和相位 随空间的变化 。在许 多应用中，由于 exp(-it) 因子在空间 各处都相同 ，所 以只考察场振动的空间分布。 （ 2）单色平面光波的复数表示 进一步，若平面简谐光波沿着任一波矢 k 方向传播 , 则其 三角函数形式和复数形式 表示式分别为 00c o s ( ) ( 2 6 )t E E k r 0i ( )0 ( 2 7 )te krEE 相应的复振幅为 0i ( )0 ( 2 8 )e krEE （ 2） 单色平面光波的复数表示 在信息光学中，经常遇到 相位共扼光波 的概念。所 谓相位共扼光波，是指两列同频率的光波，它们的 复振幅之间是 复数共轭 的关系。 0i i s in0 ( 2 9 )kxee EE 00* s in s in ( )00 ( 3 0 )i ik x i ik xe e e e E E E 0i ( )0 ( 2 8 )e krEE 0* 0 ( 3 1 )iiee krEE （ 2）单色平面光波的复数表示 假设有一个平面光波的波矢量 k 平行于 xOz 平面，在 z 0 平面上的 复 振幅 为 0i i s in0 ( 2 9 )kxee EE 式中的 为 k 与 z 轴的夹角。 x z E O x z E O 0 sin sinxx xz z k k k r k x k x k r k x k z （ 2）单色平面光波的复数表示 则相应的相位共扼光波复振幅为 此相位 共轭 光波是与 波来自同一 侧 的平面光波， 其波矢量平行于 xOz 平面 ， 与 z 轴夹角为 - 。 E 00* s in s in ( )00 ( 3 0 )i ik x i ik xe e e e E E E 0i i s in0 ( 2 9 )kxee EE （ 2）单色平面光波的复数表示 此相位 共轭 光波是与 波来自同一 侧 的平面光波， 其波矢量平行于 xOz 平面 ， 与 z 轴夹角为 - 。 E x z E * E O - E （ 2）单色平面光波的复数表示 如果对照 （ 30） 式，把 （ 28） 式的复数共扼写成 则这个沿 -k 方向，即与 波反向传播的平面光波 也是其相位共扼光波。 0* 0 ( 3 1 )iiee krEE 0i ( )0 ( 2 8 )e krEE E （ 2）单色平面光波的复数表示 一个各向同性的点光源，它向外发射的光波是球面 光波，等相位面是以点光源为中心、随着距离的增 大而逐渐扩展的同心球面。 球面波 r 光线 波阵面 2. 球面光波 (Spherical light wave) 球面光波所满足的波动方程仍然是 （ 18） 式，只是 由于球面光波的球对称性，其波动方程仅与 r 有关， 与坐标 、 无关，所以球面光波的振幅只随距离 r 变化。若忽略场的矢量性，采用标量场理论，可将 波动方程表示为 2 2 22 1 0 ( 3 2 )ff t 式中 ， 。 ( , )f f r t 2. 球面光波 (Spherical light wave) 2 2 22 1 0 ( 1 8 ) t ff 对于球面光波，利用球坐标讨论比较方便。此时 ， （ 32） 式可表示为 2. 球面光波 (Spherical light wave) 即 2 2 2 2 2 11( ) 0 ( 3 3 )ffr rrrt 22 2 2 2 ( ) 1 ( ) 0rf rf rt 因而其解为 12( ) ( )f r t f r tf rr f1 (r -t) 代表从原点沿 r 正方向向外发散的球面光波， f2 (r +t) 代表向原点传播的会聚球面光波。球面波 的振幅随 r 成反比例变化。 2. 球面光波 (Spherical light wave) 1 c o s ( ) ( 3 5 )AE t k r r 其复数形式为 最简单的简谐球面光波 单色球面光波的波函数为 i ( )1 ( 3 6 )t k rAEe r 复振幅为 i1 ( 3 7 )krAEe r 上面三式中的 A1 为离开点光源单位距离处的振幅值。 2. 球面光波 (Spherical light wave) 一个各向同性的 无限长线光源 ，向外发射的波是柱面 光波，其等相位面是以线光源为中心轴、随着距离的 增大而逐渐展开的 同轴圆柱面 ，如图所示。 z r 3. 柱面光波 (Cylindrical light wave) 柱面光波所满足的波动方程可以采用以 z 轴为对称 轴、不含 z 的圆柱坐标系形式描述： 2 22 11( ) 0 ( 3 8 )ffr r r r t 式中， 。这个方程的解形式比较复杂，此 处不详述。但可以证明，当 r 较大（远大于波长） 时，其单色柱面光波的表示式为 22r x y i ( )1 ( 3 9 )t k rAEe r 3. 柱面光波 (Cylindrical light wave) 复振幅为 i1 ( 4 0 )krAEe r 可以看出，柱面光波的振幅与 成反比。 r i ( )1 ( 3 9 )t k rAEe r 3. 柱面光波 (Cylindrical light wave) 由激光器产生的激光束既不是上面讨论的均匀平面光 波，也不是均匀球面光波，而是一种 振幅和等相位面 都在变化的高斯球面光波 ，亦称为高斯光束。 在由激光器产生的各种模式的激光中，最基本、应用 最多的是基模（ TEM00）高斯光束，因此，在这里仅 讨论基模高斯光束。有关这种高斯光束的产生、传输 特性的详情，可参阅激光原理教科书。 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 从求解波动方程的观点看，基模高斯光束仍是波动方 程（ 18）式在激光器谐振腔条件下的一种特解。它是 以 z 轴为柱对称的波，其表达式内包含有 z，且大体 朝着 z 轴的方向传播。 2 2 22 1 0 ( 1 8 ) t ff 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 考虑到高斯光束的柱对称性，可以采用 圆柱坐标系 中的波动方程形式： 2 2 2 2 2 2 2 11( ) 0 ( 4 1 )E rrr z t 其解的一般函数形式为 ( , , )E E r z t 可以证明，下面的表达式满足上述波动方程： 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 22 2 i ( ) a r c t a n 2 ( ) j()0 00 ( , , ) ( 4 2 )() rzr kz R z f tzEE r z t e e e z 式中 E0 常数，其余 符号的意义为 2 2 2 2 0 2 2 0 2 ( ) 1 ( ) ( 4 3 ) () r x y k z z f f R z z z f 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 这里， 0=(z = 0) 为基模高斯光束的 束腰半径 ； f 为高斯光束的共焦参数或 瑞利长度 ； R(z) 为与传播 轴线相交于 z 点的高斯光束 等相位面的曲率半径 ； (z) 是与传播轴线相交于 z 点高斯光束等相位面上 的 光斑半径 。 4. 高斯光束 (Gaussian beams) (z) 0 R(z) z 0 (42) 式的波场就是基模高斯光束的标量波形式，由它 可以研究： 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 22 2 i ( ) a r c t a n 2 ( ) j()0 00 ( , , ) ( 4 2 )() rzr kz R z f tzEE r z t e e e z (1) 光强分布的特征 ; (2) 空间相移特征 ; (3) 发散角的特征： （ 1）基模高斯光束在横截面内的 光电场振幅分布 按 照高斯函数的规律从中心（即传播轴线）向外平滑 地下降，如图所示。 1/e z 0 1 exp-r2/2(z) (z) (z) 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 2 0( ) 1 ( ) ( 4 4 ) zz f 由中心振幅值下降到 1/e ( 1/2.718281828459=0.3678)点 所对应的宽度，定义为 光斑半径 。 22 2 i ( ) a r c t a n 2 ( ) j()0 00 ( , , ) ( 4 2 )() rzr kz R z f tzEE r z t e e e z 2 0( ) 1 ( ) zz f （ 1）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布 2 0( ) 1 ( ) ( 4 4 ) zz f 可见，光斑半径随着坐标 z 按 双曲线的规律扩展 ，即 22 22 0 () 1 ( 4 5 )zz f 在 z 0 处， (z)=0，达到极小值， 称为束腰半径 。 （ 1）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布 由（ 45）式可见，只要知道高斯光束的束腰半径 0 ， 即可确定任何 z 处的光斑半径 .0 是由激光器谐振腔 决定的 , 改变激光器谐振腔的结构设计 , 即可改变 0 值 . (z) 0 R(z) z 0 22 22 0 () 1 ( 4 5 )zz f 2 0f （ 1）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布 (2) 基模高斯光束场的相位因子 2 00 ( , ) a r c ta n ( 4 6 )2 ( ) rzr z k z R z f 22 2 i ( ) a r c t a n 2 ( ) j()0 00 ( , , ) ( 4 2 )() rzr kz R z f tzEE r z t e e e z 决定了基模高斯光束的空间相移特性。 (2) 基模高斯光束场的相位因子 (a) kz 描述了高斯光束的几何相移； (b) arctan(z/f ) 描述了高斯光束在空间行进距离 z 处、 相对于几何相移的附加相移； (c) 因子 kr2/(2R(z) 则表示与横向坐标 r 有关的相 移，它表明高斯光束的等相位面是以只 R(z) 为半 径的球面。 2 00 ( , ) a r c ta n ( 4 6 )2 ( ) rzr z k z R z f 2 2 2r x y （ 2） 基模高斯光束场的相位因子 2 ( ) ( 4 7 )fR z z z R(z) 随 z 的变化规律为 2 2 0 () f R z z z f （ 2） 基模高斯光束场的相位因子 可见： 当 z 0 时， R(z) ， 表明束腰所在处的等相位 面为平面； 当 z 时， R(z)z ， 表明离束腰无限远 处的等相位面亦为平面，且曲率心就在束腰处； 当 z f 时， R(z) 2f，达到极小值； 2 ( ) ( 4 7 )fR z z z （ 2） 基模高斯光束场的相位因子 当 0 z f 时， R(z) 2f，表明等相位面的曲率中 心在 （ ， f） 区间上 ； 当 z f 时， z R(z) z f，表明等相位面的曲率中 心在 （ f， 0） 区间上。 2 ( ) ( 4 7 )fR z z z (z) R(z) z 0 f - f 基模高斯光束既非平面波，又非均匀球面波，它的发 散度采用 远场发散角表征 。远场发散角 1/e2定义为 z 时，强度为中心的 1/e2 (0.135335) 点所夹角的全 宽度，即 21/ 0 2 ( ) 2l im ( 4 8 ) e z z z 显然，高斯光束的发散度由束腰半径 0 决定。 （ 3）基模高斯光束发散角 2 0 2 0 ( ) 1 ( ) z z f f 基模高斯光束在其传播轴线附近，可以看作是一种 非 均匀的球面波 ，其等相位面是曲率中心不断变化的球 面， 振幅和强度在横截面内保持高斯分布 。 (z) 0 R(z) z 0 4. 高斯光束 (Gaussian beams) 1/e z 0 1 exp-r2/2(z) (z) (z)