2019年中考数学试卷

2019年中考数学试卷1、如图，在RtABC中，C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿BCA方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动（1）求AC、BC的长；（2）设点P的运动时间为x（秒），PBQ的面积为y（cm2），当PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点Q在CA上运动，并使PQAB时，以点B、P、Q为定点的三角形与ABC是否相似，请说明理由；（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由解：（1）设AC=4x，BC=3x，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，AC=8cm，BC=6cm；（2）当点Q在边BC上运动时，过点Q作QHAB于H，AP=x，BP=10x，BQ=2x，QHBACB，QH=x，y=BPQH=（10x）x=x2+8x（0x3），当点Q在边CA上运动时，过点Q作QHAB于H，AP=x，BP=10x，AQ=142x，AQHABC，即：，解得：QH=（14x），y=PBQH=（10x）（14x）=x2x+42（3x7）；y与x的函数关系式为：y=；（3）AP=x，AQ=14x，PQAB，APQACB，即：，解得：x=，PQ=，PB=10x=，当点Q在CA上运动，使PQAB时，以点B、P、Q为定点的三角形与ABC不相似；（4）存在理由：AQ=142x=1410=4，AP=x=5，AC=8，AB=10，PQ是ABC的中位线，PQAB，PQAC，PQ是AC的垂直平分线，PC=AP=5，当点M与P重合时，BCM的周长最小，BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16BCM的周长最小值为162、（12分） 如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、 D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M.(1)求证：ADPABQ；(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x, BM 2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；(3)若AD=10, AB=a， DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围。解：(1)证明： 四边形ABCD是矩形 ADP=ABC=BAD=90ABC+ABQ=18010x20-xNABQ=ADP =90AQAP PAQ=90QAB+ BAP=90又PAD+BAP=90PAD=QAB在ADP与ABQ中ADPABQ（2）如图，作MNQC，则QNM=QCD=90又MQN=PQCMQNPQC 点M是PQ的中点 又 ADPABQ 在RtMBN中，由勾股定理得：即： 108ABCPDQM10a10当即时，线段BM长的最小值. (3)如图，当点PQ中点M落在AB上时，此时QB=BC=10由ADPABQ得解得：随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围为：3、如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形的面积，求的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.24（14分）（2013温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0.8），点C的坐标为（0，m），过点C作CEAB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作CDEF（1）当0m8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当m=3时，是否存在点D，使CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值解答：解：（1）A（6，0），B（0，8）OA=6，OB=8AB=10，CEB=AOB=90，又OBA=EBC，BCEBAO，=，即=，CE=m；（2）m=3，BC=8m=5，CE=m=3BE=4，AE=ABBE=6点F落在y轴上（如图2）DEBO，EDABOA，=即=OD=，点D的坐标为（，0）（3）取CE的中点P，过P作PGy轴于点G则CP=CE=m（）当m0时，当0m8时，如图3易证GCP=BAO，cosGCP=cosBAO=，CG=CPcosGCP=（m）=mOG=OC+OG=m+m=m+根据题意得，得：OG=CP，m+=m，解得：m=；当m8时，OGCP，显然不存在满足条件的m的值（）当m=0时，即点C与原点O重合（如图4）（）当m0时，当点E与点A重合时，（如图5），易证COAAOB，=，即=，解得：m=当点E与点A不重合时，（如图6）OG=OCOG=m（m）=m由题意得：OG=CP，m=m解得m=综上所述，m的值是或0或或28、如图，过原点的直线l1：y=3x，l2：y=x点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动直线PQ交y轴正半轴于点Q，且分别交l1、l2于点A、B设点P的运动时间为t秒时，直线PQ的解析式为y=x+tAOB的面积为Sl（如图）以AB为对角线作正方形ACBD，其面积为S2（如图）连接PD并延长，交l1于点E，交l2于点F设PEA的面积为S3；（如图）（1）Sl关于t的函数解析式为_；（2）直线OC的函数解析式为_；（3）S2关于t的函数解析式为_；（4）S3关于t的函数解析式为_解：（1）由，得，A点坐标为（，）由得B点坐标为（，）S1=SAOPSBOP=t2（2）由（1）得，点C的坐标为（，）设直线OC的解析式为y=kx，根据题意得=，k=，直线OC的解析式为y=x（3）由（1）、（2）知，正方形ABCD的边长CB=t=，S2=CB2=（）2=（4）设直线PD的解析式为y=k1x+b，由（1）知，点D的坐标为（t，），将P（t，0）、D（）代入得，解得直线PD的解析式为y=由，得E点坐标为（，）S3=SEOPSAOP=tttt=t225（10分）（2013天津）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，4），点E在OB上，且OAE=0BA（）如图，求点E的坐标；（）如图，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连接AB、BE设AA=m，其中0m2，试用含m的式子表示AB2+BE2，并求出使AB2+BE2取得最小值时点E的坐标；当AB+BE取得最小值时，求点E的坐标（直接写出结果即可）考点：相似形综合题3718684分析：（）根据相似三角形OAEOBA的对应边成比例得到=，则易求OE=1，所以E（0，1）；（）如图，连接EE在RtABO中，勾股定理得到AB2=（2m）2+42=m24m+20，在RtBEE中，利用勾股定理得到BE2=EE2+BE2=m2+9，则AB2+BE2=2m24m+29=2（m1）2+27所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E的坐标是（1，1）时，AB2+BE2取得最小值解答：解：（）如图，点A（2，0），点B（0，4），OA=2，OB=4OAE=0BA，EOA=AOB=90，OAEOBA，=，即=，解得，OE=1，点E的坐标为（0，1）；（）如图，连接EE由题设知AA=m（0m2），则AO=2m在RtABO中，由AB2=AO2+BO2，得AB2=（2m）2+42=m24m+20AEO是AEO沿x轴向右平移得到的，EEAA，且EE=AABEE=90，EE=m又BE=OBOE=3，在RtBEE中，BE2=EE2+BE2=m2+9，AB2+BE2=2m24m+29=2（m1）2+27当m=1时，AB2+BE2可以取得最小值，此时，点E的坐标是（1，1）如图，过点A作ABx，并使AB=BE=3易证ABAEBE，BA=BE，AB+BE=AB+BA当点B、A、B在同一条直线上时，AB+BA最小，即此时AB+BE取得最小值易证ABAOBA，=，AA=2=，EE=AA=，点E的坐标是（，1）点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握17、（12分）（2013雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，ADF的面积为S求S与m的函数关系式；S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由解：（1）由题意可知：解得：抛物线的解析式为：y=x22x+3；（2）PBC的周长为：PB+PC+BCBC是定值，当PB+PC最小时，PBC的周长最小，点A、点B关于对称轴I对称，连接AC交l于点P，即点P为所求的点AP=BPPBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BCA（3，0），B（1，0），C（0，3），AC=3，BC=；（3）抛物线y=x22x+3顶点D的坐标为（1，4）A（3，0）直线AD的解析式为y=2x+6点E的横坐标为m，E（m，2m+6），F（m，m22m+3）EF=m22m+3（2m+6）=m24m3S=SDEF+SAEF=EFGH+EFAC=EFAH=（m24m3）2=m24m3；S=m24m3=（m+2）2+1；当m=2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为（2，2）16、（12分）（2013南昌）已知抛物线yn=（xan）2+an（n为正整数，且0a1a2an）与x轴的交点为An1（bn1，0）和An（bn，0），当n=1时，第1条抛物线y1=（xa1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为（ ， ）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（ ， ）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 ；（3）探究下列结论：若用An1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An1An；是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由解：（1）当n=1时，第1条抛物线y1=（xa1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0），0=（0a1）2+a1，解得a1=1或a1=0由已知a10，a1=1，y1=（x1）2+1令y1=0，即（x1）2+1=0，解得x=0或x=2，A1（2，0），b1=2由题意，当n=2时，第2条抛物线y2=（xa2）2+a2经过点A1（2，0），0=（2a2）2+a2，解得a2=1或a2=4，a1=1，且已知a2a1，a2=4，y2=（x4）2+4a1=1，b1=2，y2=（x4）2+4（2）抛物线y2=（x4）2+4，令y2=0，即（x4）2+4=0，解得x=2或x=6A1（2，0），A2（6，0）由题意，当n=3时，第3条抛物线y3=（xa3）2+a3经过点A2（6，0），0=（6a3）2+a3，解得a3=4或a3=9a2=4，且已知a3a2，a3=9，y3=（x9）2+9y3的顶点坐标为（9，9）由y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，顶点坐标满足的函数关系式是：y=x（3）A0（0，0），A1（2，0），A0A1=2yn=（xn2）2+n2，令yn=0，即（xn2）2+n2=0，解得x=n2+n或x=n2n，An1（n2n，0），An（n2+n，0），即An1An=（n2+n）（n2n）=2n存在设过点（2，0）的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，得b=2k，y=kx2k设直线y=kx2k与抛物线yn=（xn2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，联立两式得：kx2k=（xn2）2+n2，整理得：x2+（k2n2）x+n4n22k=0，x1+x2=2n2k，x1x2=n4n22k过点F作FGx轴，过点E作EGFG于点G，则EG=x2x1，FG=y2y1=（x2n2）2+n2（x1n2）2+n2=（x1+x22n2）（x1x2）=k（x2x1）在RtEFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2，即：EF2=（x2x1）2+k（x2x1）2=（k2+1）（x2x1）2=（k2+1）（x1+x2）24x1x2，将x1+x2=2n2k，x1x2=n4n22k代入，整理得：EF2=（k2+1）4n2（1k）+k2+8k，当k=1时，EF2=（1+1）（1+8）=9，EF=3为定值，k=1满足条件，此时直线解析式为y=x2存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x215（2012义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？解答：解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，k=2，y=2x（2012义乌市）OA=（3分）（2）是一个定值，理由如下：如答图1，过点Q作QGy轴于点G，QHx轴于点H当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，此时；当QH与QM不重合时，QNQM，QGQH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，MQH=GQN，又QHM=QGN=90QHMQGN（5分），当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 （7分）（3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FCOA于点C，过点A作ARx轴于点RAOD=BAE，AF=OF，OC=AC=OA=ARO=FCO=90，AOR=FOC，AORFOC，OF=，点F（，0），设点B（x，），过点B作BKAR于点K，则AKBARF，即，解得x1=6，x2=3（舍去），点B（6，2），BK=63=3，AK=62=4，AB=5 （8分）；（求AB也可采用下面的方法）设直线AF为y=kx+b（k0）把点A（3，6），点F（，0）代入得k=，b=10，（舍去），B（6，2），AB=5（8分）（其它方法求出AB的长酌情给分）在ABE与OED中BAE=BED，ABE+AEB=DEO+AEB，ABE=DEO，BAE=EOD，ABEOED（9分）设OE=x，则AE=x （），由ABEOED得，（）（10分）顶点为（，）如答图3，当时，OE=x=，此时E点有1个；当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个当时，E点只有1个（11分）当时，E点有2个（12分）已知一个直角三角形纸片OAB，其中AOB=90，OA=2，OB=4，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D。（）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OB=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使BDOB，求此时点C的坐标。解：（）如图（1），折叠后点B与点A重合，连接AC，则ACDBCD，设点C的坐标为（0，m）（m0），则BC=OB-OC=4-m，于是AC=BC=4-m，在RtAOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，即（4-m）2=m2+22，解得m=，点C的坐标为；（）如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B连接BC，BD，则BCDBCD，由题设OB=x，OC=y，则BC=BC=OB-OC=4-y，在RtBOC中，由勾股定理，得BC2=OC2+OB2，（4-y）2=y2+x2，即，由点B在边OA上，有0x2，解析式（0x2）为所求，当0x2时，y随x的增大而减小，y的取值范围为；（）如图（3），折叠后点B落在OA边上的点为B，连接BC，BD，BDOB，则OCB=CBD，又CBD=CBD，CB=CBD，CBBA，RtCOBRtBOA，有，得OC=20B，在RtBOC中，设OB=x0（x00），则OC=2x0，由（）的结论，得2x0=，解得x0=，x00，x0=，点C的坐标为。12、在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2经过原点的抛物线y=mx2x+n的对称轴是直线x=2（1）求出该抛物线的解析式（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C现在利用图2进行如下探究：将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在的旋转过程中，是否存在点F，使DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由（1）抛物线y=mx2x+n经过原点，n=0对称轴为直线x=2，=2，解得m=抛物线的解析式为：y=x2x（2）的值不变理由如下：如答图1所示，过点P作PGx轴于点G，则PG=AO=2PEPF，PAPG，APE=GPF在RtPAE与RtPGF中，APE=GPF，PAE=PGF=90，RtPAERtPGF=存在抛物线的解析式为：y=x2x，令y=0，即x2x=0，解得：x=0或x=4，D（4，0）又y=x2x=（x2）21，顶点M坐标为（2，1）若DMF为等腰三角形，可能有三种情形：（I）FM=FD如答图2所示：过点M作MNx轴于点N，则MN=1，ND=2，MD=设FM=FD=x，则NF=NDFD=2x在RtMNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2，即：（2x）2+1=x2，解得：x=，FD=，OF=ODFD=4=，F（，0）；（II）若FD=DM如答图3所示：此时FD=DM=，OF=ODFD=4F（4，0）；（III）若FM=MD由抛物线对称性可知，此时点F与原点O重合而由题意可知，点E与点A重合后即停止运动，故点F不可能运动到原点O此种情形不存在综上所述，存在点F（，0）或F（4，0），使DMF为等腰三角形如图1，两块等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，ABC =DEF = 90，AB = 1，DE = 2将直线EB绕点E逆时针旋转45，交直线AD于点M将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为x11、（第11题图1）CDEAFMlB（第11题图2）DEF(C)ABMl请你和艾思轲同学一起尝试探究下列问题：（1）当点C与点F重合时，如图2所示，可得的值为 ；在平移过程中，的值为 （用含x的代数式表示）；（2）艾思轲同学将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变当点A落在线段DF上时，如图3所示，请你帮他补全图形，并计算的值；（3）艾思轲同学又将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，原题中的其他条件保持不变请你计算的值（用含x的代数式表示）（第11题备用图）DEFl（第11题图3）DEF(C)lAB11解：（1） 1 （2分） （2分）（2）联结AE，补全图形如图1所示（1分）ABC和DEF是等腰直角三角形，ABC =DEF = 90，AB = 1，DE = 2，BC = 1，EF = 2，DFE =ACB = 45，EFB = 90，点A为DF的中点（1分）EADF，EA平分DEFMAE = 90，AEF = 45，MEB =AEF = 45，MEA =BEFRtMAERtBFE（1分），（1分）（第25题图1）DEF(C)lABM（第25题图2）DEAFMlCBG，（1分）（3）如图2，过点B作BE的垂线交直线EM于点G，联结AGEBG = 90，BEM = 45，BGE = 45BE = BG（1分）ABC =EBG = 90，ABG =CBE（1分）又BA = BC，ABGCBE（1分）AG = CE = x，AGB =CEBAGB +AGM =CEB +DEM = 45，AGM =DEM，AGDE（1分）（1分）注：第（3）小题直接写出结果不得分10、如图，抛物线：yax2bx4与x轴交于点A(2，0)和B(4，0)、与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)T是抛物线对称轴上的一点，且ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标； 3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行当点M原点时，点Q立刻掉头并以每秒3/2个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动过点M的直线l轴，交AC或BC于点P求点M的运动时间t(秒)与APQ的面积S的函数关系式，并求出S的最大值（1)、9、 如图 (1)，ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，ABEF9，BACDEF90，固定ABC，将EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止，不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图(2). (1)问：始终与AGC相似的三角形有( )及( )； (2)设CGx，BHy，求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情况说明理由）； (3)问：当x为何值时，AGH是等腰三角形？解：(1)HGA及HAB； (2)由(1)可知AGCHAB 即，所以，y (3)当CGBC时，GACHHAC， ACCH AGAC，AGAG,AHGH 此时，AGH不可能是等腰三角形； 当CG=BC时，G为BC的中点，H与C重合， AGH是等腰三角形; 此时，GC=，即x= 当CGBC时，由(1)可知AGCHGA， 所以，若AGH是等腰三角形，只可能存在AGAH 若AGAH，则ACCG，此时x9 综上，当x9或时，AGH是等腰三角形8、如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴 交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC (1)点A的坐标为_ ，点C的坐标为_ ； (2)线段AC上是否存在点E，使得EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?28解：（1）A（0，4），C（8，0）2分（2）易得D（3，0），CD=5设直线AC对应的函数关系式为，则 解得 3分 当DE=DC时，OA=4，OD=3DA=5，（0，4） 4分当ED=EC时，可得（，）5分当CD=CE时，如图，过点E作EGCD，则CEG CAO，即，（，）6分综上，符合条件的点E有三个：（0，4），（，），（，）（3）如图，过P作PHOC，垂足为H，交直线AC于点Q设P（m，），则Q（，）当时， PQ=（）()=，7分； 8分当时， PQ=（）()=，9分故时，相应的点P有且只有两个10分7、如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B （1）求抛物线的解析式（2）在抛物线上求点M，使MOB的面积是AOB面积的2倍；（3）点C在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点P，使以O、B、P、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由。