我对数学教学的一些认识

改变学生学习方式的关键是改善教师的教学行为我对数学教学的一些认识（发言稿）陶维林我是1968年开始当教师的，至今已37年了。教了这么多年书总会有些想法，下面把我对数学教学的体会、对数学教学的理解向老师们做一个汇报。诸多不当之处，敬请谅解或批评。“课改”的关键是改变学生的学习行为，而关键的关键是改善教师的教学行为。没有教师教学行为的改善，不可能有学生学习行为的改变。一不要培养恨数学的人，让学生喜欢你的课我经常这样告戒自己。我以为，是数学教师使学生恨数学的。我收集到了一些证据。有一些题目很刁钻，考细枝末节，犄角旮旯，考技巧。比如：1设f（x）2sin（x+4）+2x2+2x+cosx的最大值是M，最小值是m，求Mm。2f（x）是（0，）上的减函数，f（4）)=1,f（xy）1，求x2y22x2y的最小值。这些题目都是高手想出来的。最近，一个高一学生来问我一道题：“求ylog2（2x23x1）的单调区间。”她说，老师在课上讲了，还是没听懂。我问她，老师在这之前还讲过类似于这样的题吗？她说：没有。在学生初学函数、对数函数，没有学习过一元二次不等式的情况下老师讲这样的题，结果只能促使学生对数学产生畏惧心理，挫伤了学生学习数学的积极性。一份试卷的均分不及格，教师又做了一次动员学生恨数学的事。到底是谁不及格？教之道在于度！如果由于我的教学使学生恨数学了，那我一辈子都干了些什么？多教一个学生，这个世界上就多一个恨数学的人，少教一个学生，这个世界上就少一个恨数学的人。人生的价值成了什么？你喜欢数学吗？你不喜欢数学就无法让学生喜欢数学。如果你喜欢数学，那为什么要把学生弄得恨数学呢？让学生喜欢你的课，盼着你这个老师来上课，应该成为我们的追求。去年，毕业20年回学校的一个校友对我说，是你教数学使我喜欢上了数学。怎样让学生对你的教学感兴趣？例1 勾股树勾股定理的教学。例2 一个轨迹问题椭圆概念的运用。创设有利于引起学生兴趣的情境，改变教学内容的呈现方式；逻辑性强的问题可以引发求知心理（如统计内容的逻辑性）；让学生感受到所学内容的必要性（如概念产生的必要性）；通过矛盾引发认知冲突（虚数的产生）；一些具有挑战性的问题常常让人欲罢不能（一张纸如果折叠100次该多厚）；设置悬念，让学生先猜一猜，想一想，不要轻易“捅破窗户纸”（转动的正方形）等等。学生对你教的这门课有兴趣，课后就乐意做课外练习、看课外书、思考与这门课有关的问题，甚至将来走上了研究这门科学的道路。有人说，好的教师不是在教数学，而是能激发学生自已去学数学。教学的目的是引导学习。有人认为，激发学习兴趣是教学的第一“公理”，是教学的“不变量”。“知之者不如好知者，好知者不如乐知者。”（孔子论语雍也）只有学生“乐学”，才会主动地学。还有，关心学生，让学生喜欢你这个人。今年教师节学生给我发了一张优秀教师合格证书，还说了一大堆理由。让学生喜欢你这个人，喜欢你上的这门课，喜欢你来上课。二是谁在学习？数学学习是怎样进行的我认为，从一个优秀的大学毕业生到一个合格的教师，琢磨学生是怎样学习的，怎样改变知识结构、发展认识能力的十分重要，也就是了解一些认知心理学的知识非常重要。是谁在学习？你的回答肯定是正确的。问题在于，许多时候我们忘记了这一点。把这一点想清楚，很多事就知道该怎么办好。造成教学质量低的原因很多，忘记“是谁在学习”是其中之一。我以为，经常想一想“体育老师是怎样上课的”，很有好处。至少我经常这样想。你见过体育老师说“同学们站好，我在跑道上跑五圈给你们看看”吗？没有。而“在跑道上跑五圈”给学生看看的数学教师并不缺少。体育老师很清楚，要让学生锻炼身体，要增强学生的体质。有的老师说：“我都已经讲过n遍了，他们怎么还没有学会？”这正说明，他们要学会不是光靠你讲。下面的一些话我们应该耳熟能详。陆游说：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”不是自己的知识是无用的知识。你对数学知识掌握得再好，如果不能成为学生的，那么，对于学生来说就是无用的。带着对数学学习本质的认识来设计你的数学教学。学习是学习者自己的感受、体验和思考、感悟，是任何其他人都代替不了的。让学习者亲自动手、动口、动脑，亲自去做。“饭要亲自吃，觉要亲自睡”。没有学习者的体验、感悟的概括是无效的概括。这样的教学是无效的教学。有一次，一位老师来校试讲，内容是“平均变化率”他先举了三个例子，有反映温度变化快慢的，有投资效率的，有反映运动速度的，等等形式上也注意图形、表格、表达式兼顾然后就告诉学生，象这几个例子那样，在数学中就称为“平均变化率”，给出平均变化率的概念，然后就是计算平均变化率的练习教师可能认为，我已经把这个概念告诉你了，你该知道了但是，数学教学不是“告诉教学”，概念不能靠学生“复制”，概念需要的是理解一定要让学生参与举例，参与概括，参与定义，参与对原理的解释。（比如，平均变化率的概括，数列的概念，倾斜角的定义，数学归纳法的解释）只有设法使学生卷入其中，强化亲身体验，启发内心感悟，激发心理共鸣，才能真正转化为认识客观规律、解决实际问题的强大武器。经常想一想，学生离开你怎么办？外因只有通过内因才能起作用。在教与学的问题上，教师永远是外因。下面的一些教学行为是需要改善的。抢学生的话头，打断学生的发言，代替学生讲，代替学生写，代替学生想。剥夺学生锻炼的机会。不愿留给学生思考的时间。学生的观察、思考尚未开始（或者刚刚开始），教师就开始提问，或者自己“分析”起来。学生讲，教师写，当学生的“秘书”。为什么不让学生自己讲，自己写。即便暂时不会，写不出来，那就待会写的时候再来写。要多让学生发表意见，在关键点上让学生有机会提出自己的见解。教师多听少讲，参与到学生的活动中去。学习是一个循序渐进的过程，从初步了解，到理解，到掌握，到运用，到灵活运用有一个比较长的过程。初学阶段，就要求会做综合性强的题，不妥，也没有必要。而初学阶段就对能力要求过高，对知识运用的要求过高是普遍现象。（如刚学习过对数函数就要求学生做“求ylog2（x23x1）的单调区间”这样的题目。）当学生做不出来的时候教师总是埋怨学生，却不主动检查自己。那能“一口吃成了胖子”，“一锹挖个井”？ 弗赖登塔尔认为，数学教育方法的核心是学生的再创造。教师应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。奥苏伯尔认为，学生有意义的接受学习，并不是将现成知识简单地“登记”到原有认知结构中去，而是要经过一系列的积极的思维活动。因此，有意义接受学习是一个主动的过程。可见，有意义的学习不是一个被动接受知识、强化储存的过程，而是用原有知识处理各项新的学习任务，通过“同化”和“顺应”等心理活动和变化，不断地构建和完善认知结构的过程。三必须培养学生主动学习的习惯我们学校的校长提出，要培养将来社会领跑的人？什么样的人将来能够领跑呢？一个等待他人布置任务才知道有事干的人，不会成为领跑的人；一个人云亦云、不愿意独立思考的人不会成为领跑的人。要让我们的学生将来成为领跑的人，就必须培养他们学会自己制定学习计划，自己安排学习生活，而不仅仅是等老师来布置学习任务。要学生自己安排学习生活，我们就应该给学生一些自主安排的时间以及作出必要的指导。比如，能否多安排一些自习课。南京师大附中学生的特点是：会自己找事干。要逼着学生主动学习。因为，主动学习是有效的学习。写完题目，闭你的上嘴！学生思考需要安静的环境。不要帮学生读题目。留下让学生思考的时间，待学生有了自己的思考后再组织交流。“头发”与“脸庞”你要哪一个？写完题目，转过身子，你看到的应该是头发，而不是等待你告诉答案的脸庞。“合作交流”在当前的课堂教学中很时髦，但是数学学习首先提倡独立思考。张奠宙先生、赵小平先生在文章中说：数学不同于其他学科，需要进行逻辑化、符号化、数量化，其过程必定经历独立的、个性化的思考，因此，在“合作”之前必须先“独立”。文章中还说：“我们应该用自己的眼睛看合作学习，研究怎样合作才有效？怎样合作则无效？但没有人研究过，只是听别人说，把别人说的话当绝对真理。”因为指导青年教师的缘故，现在，我给青年教师提出的教学的基本过程是：提出问题留下时间，让学生自己想一想、画一画、做一做（先尝试着自己解决）组织交流（上讲台讲，上黑板写，提问）挖掘解决问题背后的思维过程（问一问“你是怎么想到的？”“你凭什么这么说？”）归纳、小结，形成共识，形成结论，这样五个步骤。企图“先有形后无形，从有招到无招”。有人说“告诉学生3515不是数学教学，问学生35等于几是数学教学”，就是指，让学生先想一想，自己去获得结论。数学特级教师邱学华先生（常州）的“尝试教学法”只有四个字“先练后讲”。你先试试，不会的我再讲，你会了我还要讲什么呢？启发要恰时恰点。打个比方，请学生到火车站去买张火车票。任务提出后，让他去设法完成（步行，骑车，坐公交）。他若向北走，你就启发一下，火车站在南面（让他自己发现火车站在南面更好）。而实际的做法是，你拉着他的手，一起去火车站。皮亚杰认为，认知发展的一个最主要的方面是儿童的能动作用，是认知主体的主动建构。指导学生指定学习计划，指导学生学会组织学习。应该经常检查学生学习计划的制订。四教会思考，教会学习教什么比怎样教更重要。到底要教学生什么？首先是教数学，教数学知识，这是毫无疑问的。但是“授人以鱼，不如授人以渔”，要教学生学会思考，学会想问题，学会研究问题，学会学习数学。解题教学是数学教学的内容之一。教会思考解题教学必须做的事。我以为，研究怎样解题，让学生学会分析问题，学会跟数学题打交道的招招式式，掌握解题规律，可以少做些题，也能学好数学。减轻学生过重的课业负担，我们可以有所作为。建议大家看一看数学世界名著乔治波利亚的怎样解题、数学的发现。链接：波利亚著怎样解题.PDF。有人说，差的教师做给学生看，好的教师“想给学生听”。埋头解题是非常有害的解题训练不等于思维训练只有当学生掌握了与数学题打交道的招招式式，掌握了解题规律之后，才能见到题目不害怕，从容面对。许多时候，题目做不出来的原因是习惯不好，不会（逻辑地）思考，该做的事没做。比如，条件有哪些？你清楚吗？要干什么？你知道吗？条件与结论的差异在哪里？（解题的过程也是缩小差异的过程）等等。只有教师解题教学的行为的改变，才可能改变学生的解题行为。教师要关注学生的解题行为。比如，他们花多少时间读题？他们经常画图吗？为结果而教（甚至追求结果），忽视过程的教育价值，仍然是当前教学中的普遍现象。如果从“结果”这个意义上讲，点到直线的距离公式的教学，诱导公式的教学都可以简略。而这些内容的教学承载着数学方法。没有过程，没有学生自己的亲身体验、感受、概括，就不可能领悟数学思想，掌握数学方法。数学思想、数学方法都不是靠教师告诉的。我曾经跟高三的老师调侃：“你讲的那道题不会做看来不行，但是，会做又怎么样呢？”你一定会说：“阴阳怪气，你是什么意思？”我的意思是，不要仅要获得结果，还要追求获得结果产生的过程，尤其是思维过程，一定要反思，反思解题过程（分哪几个层次？条件用哪了？方法的评价，等等），解一道题就真正发挥一道题的作用，在“质”上下工夫，而不仅是数量。解题教学不等于思维教学，解题训练不等于思维训练。必须把思维教学落到实处。链接：数学教学是思维的教学。有些学生误认为，学好数学就是拼命做题。学好数学必须多解题，这并不错。训练是十分必要的，但傻练不是科学训练。解决问题，更要研究问题。要重视获得结果的过程的教育价值（哪怕是失败的）；一定要反思、回顾，关注“算法”，帮助学生提炼，画龙要点睛，找出万变不离其宗的东西（减轻负担的途径之一）。掌握方法，领会思想（尤其是思想方法），积累经验，把解决问题的原理交给学生。经常问一问“你是怎么想到的？”“你凭什么这么说？”挖掘解题背后的思维过程。数学是思维科学，数学教学是思维教学。只有把思考当乐趣的人才能学好数学。思考是数学学习的核心。没有思考就没有真正的数学学习。要学生学会思考，教师更要深入思考。多采用变式教学（概念变式，问题变式），开放问题，给学生提出问题以示范，给学生以提出问题的机会，教学生自己提出问题，真正使学生的思维能力得到发展。把研究问题的方法交给学生。在由指数函数产生对数函数之后，我问：我们应该怎样来研究这个对数函数，先列个计划。经过交流，大家认为，应该：先定义域，然后再画图象，接着是值域，奇偶性，单调性，图象是否过什么定点，等等。“学会运用函数的图象理解和研究函数的性质。”（课程标准语）教“学”，包含教学生“会学”。然后各自去研究。你们是怎么研究的？了解解决问题的过程。归纳得到：一方面，紧紧抓住与指数函数的关系，另一方面，利用对数的性质，对获得的结论加以解释。让学生亲自去做， 教师越俎代庖的事做得太多。而“学生力所能及的事让学生自己去做”是教学的一条基本原则。哪些是该教师做的，哪些应该让学生去做？要想清楚。教师主导在哪里？然后再提出对数函数是指数函数的反函数。再问“反在哪里？”因为此刻他们已经有了许多关于“反”的体验，给出反函数的意义就顺理成章，“自然流淌”。关键是感受、体验，而不是为了名称。再比如，平均变化率的概念。平均变化率主要是因研究变速运动在某一个时刻的瞬时速度而引起，是变化率的近似表示是对平均速度，气球平均膨胀率，婴儿体重变化快慢，等等不同的事例的平均变化率抽象概括数学的特点，由具体到抽象，由特殊到一般再加上几何直观，学生很容易理解教学重心不是会计算平均变化率，40分钟当中有几分钟就够了教学中，不重视基本概念的教学也是普遍现象。而数学玩的是概念，不是技巧。中国科学院院士李邦河要让学生学会学习，就要让学生参与教学过程。参与概念的定义过程，参与数学意义建构的过程，参与思路寻找的过程，参与解题策略制订的过程经历科学研究的一般过程，掌握科学研究的一般方法，学会研究问题，学会学习。这是因为，在学校所学习的内容始终落后于社会的发展。学生走上社会靠什么生存？就是“会学习”。会学习新的知识，会掌握新的技能。培养会学习的能力十分重要。这样，学生离开了学校，离开了老师，面对新的环境，新的知识，由于会学习，就会很快适应新的环境。国际21世纪教育委员会向联合国教科文组织提出，把“学会认知、学会做事、学会合作、学会生存”作为教育的四大支柱。让学生参与概念的定义过程，让学生经历“再创造”。凡是讲概念，都必须讲必要性、合理性。让学生感受必要性，可以产生求知欲，增强学习的积极性；让学生参与定义，感受概念定义的合理性。链接：倾斜角的定义过程。孔子的启发式仍然是最好的教学方法。孔子的启发式教学只有八个字：不愤不启，不悱不发。(论语述而)就是通过问题把学生引入“愤”、“悱”境地，经过学生自己的思考与教师的启发，弄清问题，形成新的知识结构，提高认识能力。学习的过程就是一个不断地提出问题、解决问题的过程。以“问题链“的方式组织教学内容，是比较好的教学方法。数学教学应当从问题开始。上课开始，莫过于提一个问题。在教学中，教师最主要的任务之一就是提出问题，以及引导学生提出问题。教师最重要的也是最困难的，就是“提好问题”与“提好问题”。捕捉来自学生的问题更是一件困难的事情。要练好基本功。正确认识“教学任务”。毫无疑问，每一堂都应该有教学目的、要求，有教学任务。什么是“教学任务”？除了数学知识的教学任务之外还有能力培养的任务，除了显性任务之外还有隐性任务。尤其要注意“育人”这个大目标，而不能仅关注“知识”这个目标。教学是一个动态生成的过程，有的事课前没有估计到但课堂上发生了，有的事课前有准备而课堂上并没有发生。在“预设”与“生成”发生矛盾的时候，我会毫不犹豫地选择“生成”，只要对发展学生的知识、能力有利。比如，在函数概念教学中，同学们在“射击时脱靶是否有成绩”上发生争论，而它的讨论，对认识概念中的关键词“每一个”、“唯一确定”很有意义，这样的讨论值得。在讨论、交流活动中，同学们边讲边想，边想边讲，训练了思维，学会了概括，加深了对知识的理解，又培养了说理、表达的能力，还学会了倾听，学会了尊重，身心健康得到发展。教学越民主，越尊重学生认知过程的课堂，“教学任务没有完成”的事就越容易发生。为了某些知识目标暂时不能达成而赶“任务”，中断有意义的活动，那才得不偿失。五正确使用提问与板演这两个教学手法怎样使学生参与教学过程，也就是用什么办法让学生来参与、感受、体验？要研究教学方法。正确使用“提问”这一教学方法。提问是教师组织下的全班的教学活动。是教师与全体同学的交流，不是两个人之间的对话。当然也有学生与学生之间的交流。提问后，要舍得留下学生思考的时间。要鼓励学生独立思考，也可以合作、交流，以便回答老师的问题。教师提出问题后不要滔滔不绝，启发个不停，打搅别人的思考。不要一旦有人举手就请他来回答，让知道的告诉还不知道的，代替教师来告诉。否则，会遮盖其他学生还不会的真实情况。在多数同学还没有得到认真思考，还没有结果的情况下更不能这样做。教师要耐心倾听学生的回答，让人完整地表达意见，让人把话讲完。不要发现他的意见与自己的“预设”相左就不高兴。甚至打断他的发言，把教师的想法强加于他，强加于全体同学。要尊重学生的思维过程，尊重他们的思维特点。待他说完了后问：“你说完了吗？说完了请坐下。”学生说完后，面向全体问“大家都听清楚了吗？”“你们有什么不同意见，需要补充的吗？”等等，组织交流。教师不仅自己要注意听，还要关注其他学生是否都在注意听他讲。问题应该有一定的思维价值。不能变“满堂灌”为“满堂问”。不需要问的教师就自己讲，并且讲好它。正确使用“板演”这一教学方法。南京市教学研究室原主任特级教师王永健先生（今年有80岁了）说：解放后，我在南京市第一女子中学教书，这所学校的前身是一所教会学校学校教室四面都有黑板，这些黑板不是为出黑板报用的，而是为了让学生上黑板练习用的，一堂课可以让两三批学生上黑板，每批七八人，加起来有半数左右学生有练习的机会。（见2005数学通报第5期，我对“精讲多练”的理解”）板演就是学生在黑板上做练习。显然，板演的人多一些好，而不是一两个。这样，教师可以通过学生的板演了解学生学习的情况，以便调整教学策略。让大家都来评价板演，来“当老师”，自己教育自己。在教师的引导下，对板演做出小结，形成共识，实现教学目的。教师要注意利用板演，利用“生成”，作为教育的材料，进行再教学。我以为，“理解数学，理解学生，理解教学”，其中“理解学生”我们考虑得太少。我是1982年1月大学毕业后到附中工作的。这个学校有着优良的教学传统。当时，老教师告戒我们：不当教书匠，要当教育家。我想，当不了教育家，也不当教书匠。这就需要多学习，多开展教学研究。